Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta
.pdfЗа означенням
∞ |
dt |
|
a |
dt |
|
∞ |
|
dt |
|
|
a |
dt |
|
B |
|
dt |
|
|||
∫ |
|
|
= ∫ |
|
|
+∫ |
|
|
= lim |
∫ |
|
+ lim |
∫ |
|
, |
|||||
|
2 |
|
2 |
t |
2 |
|
2 |
t |
2 |
|||||||||||
−∞ t |
+1 |
−∞ t |
+1 |
a |
+1 |
A→−∞ |
A t |
+1 |
B→∞ a |
+1 |
де a — будь-яка точка з проміжку інтегрування. Обчислимо кожну з границь, що стоять у правій частині:
a dt lim ∫
A→−∞ A t2 +1
= lim |
|
arctg t |
a = arctg a − |
lim arctg A = arctg a + |
π |
; |
|||||||
A→−∞ |
|
|
|
A |
|
|
A→−∞ |
2 |
|
||||
B |
|
|
dt |
|
|
|
|
B |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim ∫ |
|
|
= lim |
arctg t |
= |
−arctg a . |
|
|
|||||
t |
2 |
+1 |
a |
2 |
|
|
|||||||
B→∞ a |
|
|
B→∞ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже,
|
|
|
∞ |
dt |
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∫ |
|
= π, тобто ∫ |
|
|
|
= π . |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
−∞ t |
|
+1 |
−∞ x |
|
− 6x + 10 |
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. ∫ |
ln x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ ln x |
|
|
A |
|
|
ln2 x |
|
|
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Розв’язання. ∫ |
|
|
|
|
dx = lim |
∫ ln xd(ln x) = lim |
|
|
|
|
|
= ∞ . |
||||||
|
x |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
A→∞ |
2 |
|
|
A→∞ |
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Інтеграл розбіжний.
Дослідіть інтеграли на збіжність.
∞dx
6.∫1 x − sin2 x .
Розв’язання. Напроміжкуінтегруваннясправедливанерівність x − sin2 x ≤ x,
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
||
тому |
|
|
|
≥ |
. І оскільки |
∫ |
dx |
— розбіжний ( p = 1 ), то і заданий ін- |
|||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
x − sin |
x |
x |
1 x |
|
|
|
||||||
теграл розбіжний (див. теорему 1). |
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
∫ |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Розв’язання. Підінтегральна функція |
cos x |
— знакозмінна при x ≥ 1. |
|||||||||||
x3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
||||
Оскільки |
|
cos x |
|
≤ 1, то |
≤ |
|
. Інтеграл ∫ |
збігається ( p = 3 > 1 ), |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
3 |
||||||||||||||||
|
|
∞ |
cos x |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тому інтеграл ∫ |
dx також збігається. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. ∫[ln(1+ x 2 ) − 2 ln x]dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Запишемо інтеграл у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
1+ x |
2 |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∫ ln |
dx = |
∫ ln(1+ |
|
)dx . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
Оскільки ∫ dx збігається
1 x 2
ний інтеграл також збігається.
2 |
|
|
dx |
|
9. ∫ |
|
|
. |
|
x |
2 |
+ 2x − 3 |
||
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
ln(1+ |
1 |
) |
|
|||
( p = 2 > 1) і k = lim |
x 2 |
= 1 , то зада- |
|||||
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|||
x→∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
x 2 |
|
|
Розв’язання. Маємо невласний інтеграл від необмеженої функції, тут x = 1 — особлива точка. Тому
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
d(x + 1) |
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
∫ |
|
|
= |
||||||||||||
x |
2 |
+ 2x − 3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(x + 1) |
2 |
− |
4 |
||||||||||||||||
1 |
|
|
ε→0 |
1+ε x |
|
+ 2x − 3 |
|
ε→0 |
1+ε |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
= lim |
1 |
ln |
|
x − 1 |
|
|
|
2 |
|
= |
|
1 |
lim(ln |
1 |
−ln |
|
|
ε |
|
) = |
∞ . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
4 |
+ε |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ε→0 |
|
|
|
|
|
|
1+ε |
|
|
ε→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Інтеграл розбіжний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Дослідіть на збіжність інтеграл ∫ |
|
|
залежно від λ . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Інтеграл має особливість у точці x = 0 . Нехай λ ≠ 1 . Тоді
1 dx |
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
x1−λ |
1 |
|
|
|
1 |
|
ε1−λ |
|
||||||||
∫ |
|
|
= lim |
∫ |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
− |
|
|
= |
|||||
|
λ |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
ε→0 |
x |
|
ε→0 |
1 |
− λ |
ε |
ε→0 |
|
1 |
− λ |
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
1− λ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε1−λ |
|
1 |
, якщо λ < 1, |
|
|||||||||||
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
− lim |
= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1− λ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1− λ |
1− λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ε→0 |
∞, |
якщо |
λ > 1. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
172
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Для λ = 1 маємо
1 |
dx |
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
= lim |
∫ |
= lim ln |
|
x |
|
|
= +∞ . |
|||
|
|
||||||||||
x |
x |
|
|
|
|||||||
0 |
ε→0 |
ε |
ε→0 |
|
|
|
|
ε |
|
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Висновок. Невласний |
інтеграл другого роду |
∫ |
збігається |
для |
|||||||||||||||
λ |
|||||||||||||||||||
λ < 1 і розбігається для λ ≥ 1 . |
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
dx |
|
|
b |
dx |
|
|
|
||
Зауваження. Невласні інтеграли другого роду |
∫ |
|
, |
∫ |
|
|
, |
||||||||||||
(x − a) |
λ |
(b − x) |
λ |
||||||||||||||||
де a < b , збіжні при λ < 1 і розбіжні при λ ≥ 1 . |
a |
|
|
a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Справді, поклавши |
x −a |
= t |
чи |
b−x |
= t , в обох випадках прийдемо |
||||||||||||||
b−a |
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
b −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
до невласного інтеграла (b − a)∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
1− cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. При x → 0 підінтегральна функція є необмеженою. Вра-
ховуючи еквівалентність |
1− cos x = |
2 sin x |
~ |
|
2 |
x |
при |
x → 0 , порівня- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
ємо підінтегральну функцію з функцією g(x) = |
|
: |
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k = lim |
1− cos x |
= |
lim |
xe x |
= lim |
|
|
xe x |
= lim |
2e x = 2 . |
||||||
x→0 |
|
1 |
|
|
x→0 |
1− cos x |
x→0 |
|
2 |
x |
|
x→0 |
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1
Оскільки ∫ dx є розбіжним, то й вихідний інтеграл також розбіжний.
0 x
Т.7 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Обчисліть невласні інтеграли або доведіть їх розбіжність.
∞ |
dx |
|
∞ |
dx . |
∞ |
|
1. ∫ |
. |
2. ∫ |
3. ∫ e−3x dx . |
|||
6 |
||||||
1 |
x |
1 |
5 x 2 |
0 |
173
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
∞ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
|
∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
5. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ x)x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
− 2x + 10 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
arctg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
|
∫ xe− x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
8. |
∫ x sin xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
∫ |
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
xdx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
11. ∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
12. ∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 4x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
1− x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
14. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. ∫ x ln xdx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Дослідіть збіжність інтегралів. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
∞ |
x3 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ln(1+ x 2 )dx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
16. ∫ |
|
|
. |
|
17. |
∫ |
dx . |
|
|
18. ∫ |
. |
19. |
|
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
1+ x |
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
e2 x ln ln x |
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
xdx |
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
20. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
21. |
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
22. ∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
23. ∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
1− x 4 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
x + |
3 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
x − 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповіді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
1 |
. |
|
2. Розбігається. |
3. |
|
1 |
. 4. Розбігається. |
5. |
|
|
π |
|
. 6. |
1 − ln 2 . 7. |
|
1 |
. |
8. Розбіга- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
3 |
3 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ється. |
9. |
π |
+ |
1 |
ln 2 . |
10. |
π |
. 11. Розбігається. 12. |
|
8 |
|
. 13. Розбігається. |
14. 1. 15. |
− |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
3 |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Збігається. 17. Розбігається. 18. Розбігається. 19. Розбігається. 20. Збігається. 21. Збігається. 22. Розбігається. 23. Збігається.
Т.7 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
7.1. Обчислітьневласніінтеграли першого родуабо доведітьїхрозбіжність.
∞ |
xdx |
|
|
∞ |
|
16xdx |
|
|
|
∞ |
x3dx |
|
|||||
7.1.1. ∫ |
|
|
|
. |
|
7.1.2. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
7.1.3. ∫ |
|
. |
|
16x |
4 |
+ 1 |
|
16x |
4 |
− |
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
16x4 + 1 |
|
|||||||
∞ |
xdx |
|
|
0 |
|
|
|
xdx |
|
∞ |
x2 dx |
|
|||||
7.1.4. ∫ |
|
. |
7.1.5. ∫ |
|
|
. |
7.1.6. ∫ |
. |
|||||||||
16x4 − 1 |
(x 2 + 4)3 |
3 (x3 + 8)4 |
|||||||||||||||
1 |
|
−∞ |
|
0 |
|
174
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
∞ |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
xdx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||
7.1.7. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
7.1.8. ∫ |
|
|
|
. |
|
|
7.1.9. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 4x + 5 |
|||||||||||||
0 4 (x |
2 + 16)5 |
|
|
|
4 |
|
x2 − 4x + 1 |
|
|
|
−1 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
∞ arctg 2xdx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.1.11. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7.1.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
7.1.12. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
−∫1 x2 |
|
+ 4x + 5 |
1/ 2 |
4x |
|
|
+ |
4x + 5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
4x |
|
+ 1 |
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
(x + 2)dx |
|
∞ |
3 − x2 |
|
|
|
||||||||||||||||
7.1.13. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 7.1.14. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
7.1.15. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||
|
4x |
2 |
+ 4x |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 4 |
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
3 (x2 + 4x + 1)4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
4dx |
|
|
|
|
|
∞ |
arctg 4x |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7.1.16. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
7.1.17. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
7.1.18. ∫ x sin xdx . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
16x |
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
x(1 + ln |
|
x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
−1 |
|
7dx |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
πdx |
|
|
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||
7.1.19. ∫ |
|
|
. |
7.1.20. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 7.1.21. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
−∞ x |
|
−4x |
|
|
|
|
1/ 3 |
(9x |
|
|
+ 1)arctg 3x |
1 |
|
|
|
x |
|
(x + 1) |
.
.
0 |
|
x2 |
x |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
∞ |
|
−3x |
|
|
|
|
|
||||||||
7.1.22. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 7.1.24. ∫ xe dx . |
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
− |
|
2 |
dx . 7.1.23. ∫ |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
−∞ x |
|
− 1 1 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
1 |
(6x |
|
|
− 5x + 1) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||
7.1.25. ∫ |
|
. |
|
7.1.26. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
7.1.27. ∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
2 |
2x |
2 |
− 2x + 1 |
|
x |
2 |
− 3x + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
x |
|
+2x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.1.28. |
|
|
|
|
. 7.1.29. |
|
|
|
|
|
|
|
. 7.1.30. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
e∫2 x(ln x − 1)2 |
|
|
|
∫1 9x2 − 9x + 2 |
|
|
|
2 (x2 + 4) |
arctg |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.2. Обчислітьневласніінтегралидругогородуабо доведітьїхрозбіжність.
|
1/ 3 e3 + 1/ x |
|
|
3 |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
||||||||
7.2.1. |
∫ |
|
|
|
|
dx . |
7.2.2. ∫ |
|
|
. |
7.2.3. ∫ |
3 |
|
|
|
|
. |
|
||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
x 2 − 6x + 9 |
|
0 |
|
2 − |
4x |
|
|||||||
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
ln(3x −1) |
|
|
3 |
|
|
dx |
|
||||||
7.2.4. |
∫ |
|
|
|
. |
7.2.5. ∫ |
dx . |
7.2.6. ∫ |
|
|
. |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1/ 4 |
20x |
|
− 9x + 1 |
1/ 3 3x −1 |
|
|
1 |
3 (3 − x)5 |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
ln 2 |
|
|
2 / 3 |
3 ln(2 − |
3x) |
|
1 |
|
xdx |
|
|
|
|||||
7.2.7. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx . 7.2.8. ∫ |
|
|
dx . |
7.2.9. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 − 3x |
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
1/ 2 (1− x) ln |
|
(1− x) |
0 |
|
|
0 1 − x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
π / 6 |
cos 3xdx |
1 |
2xdx . |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||
7.2.10. ∫ |
|
. 7.2.11. ∫ |
|
7.2.12. |
|
∫ |
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
0 |
6 (1− sin 3x)5 |
0 |
1 − x4 |
|
|
−1/ 3 |
|
|
1 + 3x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
1 |
|
|
1− |
2 |
arcsin x |
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
e |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
e tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||
7.2.13. ∫ |
|
|
|
|
dx . |
7.2.14. ∫ |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
7.2.15. |
∫ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
3 / 4 |
|
3 − |
4x |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
sin xdx . |
|
|
|
|
0 |
|
|
dx . |
||||||||||
7.2.16. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
7.2.17. ∫ |
|
|
|
|
|
7.2.18. |
∫ |
|
|
||||||||||||||
1 |
5 4x − x2 − 4 |
|
π / 2 |
|
7 cos2 x |
|
|
|
|
−3 / 4 |
|
4x + 3 |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
1/ 3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
9xdx . |
||||||||||||
7.2.19. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
7.2.20. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
7.2.21. ∫ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
(x2 |
− 1)3 |
|
9x |
2 |
− 9x + |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 3 9 − x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
π / 2 |
3sin 3 xdx . |
|
1 |
|
|
|
x4 dx . |
|
|
|
|
2 |
|
x2 dx . |
|||||||||||||||||||||
7.2.22. |
∫ |
|
|
7.2.23. ∫ |
|
|
|
|
|
|
7.2.24. ∫ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
0 |
3 1 − x5 |
|
|
|
|
|
0 |
64 − x6 |
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
|
1/ 4 |
|
|
dx |
|
|
|
||||||
7.2.25. ∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
7.2.26. ∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
7.2.27. ∫ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
9 |
1 − |
2x |
|
|
|
|
|
|
31(x3 |
|
|
3 |
1 − 4x |
||||||||||||||||||||||
1/ 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− 1) |
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
2xdx |
|
|
|
|
3 / 2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||
7.2.28. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
7.2.29. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 7.2.30. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
(16 − x2 )3 |
|
|
|
3x − x2 − 2 |
(2x − 1) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
Тема 8. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
Обчислення площ плоских фігур. Площа у прямокутних декартових координатах. Обчислення площі при параметричному заданні контура. Площа криволінійного сектора у полярних координатах.
Довжина дуги кривої. Об’єм тіла із заданим поперечним перерізом. Об’єм тіла обертання. Робота змінної сили. Координати центрів мас плоских областей та дуг кривих.
Література: [1, розділ 9], [2, розділ 2, п. 2.2], [4, розділ 7, § 24], [6, розділ 10], [7, розділ 12], [9, § 41].
Т.8 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
8.1.Обчислення площ плоских фігур
8.1.1.Площа у прямокутних декартових координатах
Нехай плоска фігура обмежена кривою y = f (x) , де f (x) ≥ 0 — неперервна на відрізку [a; b] функція, вертикальними прямими x = a , x = b та
176
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
y = 0 — віссю абсцис (рис. 2.5). Тоді площу криволінійної трапеції обчислюють за формулою
Якщо функція f (x) (рис. 2.6), тоді
y
y = f(x)
S
O a |
b |
b
S = ∫ f (x)dx.
a
скінченне число разів змінює знак на відрізку [a; b]
b
S = ∫ f (x)dx .
a
y
y = f(x)
x |
O a |
c |
d |
b x |
Рис. 2.5 Рис. 2.6
Площу плоскої фігури, обмеженої прямими |
x = a , x = b і кривими |
|||
y = f1 (x) , y = f 2 (x) , де f1 (x) ≤ f 2 (x) , x [a; b] |
(рис. 2.7), обчислюють за |
|||
формулою |
|
|
|
|
|
b |
[ f2 (x) − f1(x)]dx. |
|
|
|
S = ∫ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
Інколи прямі |
x = a , |
x = b |
можуть вироджуватись у точку перетину |
|||||||||||
кривих |
|
y = f1 (x) |
та |
y = f 2 (x) (рис. 2.8). У цьому випадку величини a і b |
||||||||||
знаходять як абсциси точок перетину вказаних кривих. |
|
|
||||||||||||
y |
|
y = f2(x) |
|
|
|
|
y |
y = f2(x) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
S |
|
|
|||
|
|
|
y = f1(x) |
|
|
|
|
|
y = f1(x) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
a |
|
|
b |
x |
O |
a |
b |
x |
|||||
|
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
|
Рис. 2.8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
177 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
В окремих випадках інтегрування зручніше проводити за змінною y. Так, якщо фігура обмежена прямими y = c , y = d та кривими x = g1 ( y) ,
x = g2 ( y) , де g1 ( y) ≤ g2 ( y) , y [c; d] (див. рис. 2.9 і 2.10), то її площу обчислюють за формулою
|
|
|
|
|
|
S = d∫[g2 ( y) − g1 ( y)]dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
||||||
d |
|
d |
|
|
x = g2(x) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
x = g2(x) |
x = g1(x) |
|
S |
|||||
|
|
||||||||||
|
x = g1(x) |
|
|
|
|||||||
|
|
с |
|
|
|
||||||
с |
|
|
|
|
|||||||
O |
x |
O |
|
|
x |
||||||
|
|
Рис. 2.9 |
|
|
|
Рис. 2.10 |
|||||
8.1.2. Обчислення площі при параметричному заданні контура |
|||||||||||
Нехай крива y = f (x) |
задана |
параметричними |
рівняннями x = x(t) , |
y = y(t) ≥ 0 , t [α; β] , тоді площу криволінійної трапеції, обмеженої цією
кривою, прямими x = a , x = b ( a < b ) та віссю абсцис (див. рис. 2.5), обчислюють за формулою
|
|
β |
β |
|
|
|
||
|
|
S = ∫ y(t)dx(t) = ∫ y(t)x′(t)dt, |
|
|
||||
|
|
α |
α |
|
|
|
||
де межі α та β задовольняють рівняння x(α) = a , |
y(β) = b . |
|||||||
8.1.3. Площа криволінійного сектора у полярних координатах |
||||||||
|
ρ = ρ(ϕ) |
Площу криволінійного сектора, обмеженого не- |
||||||
|
|
перервною кривою ρ= ρ(ϕ) та променями ϕ1 = α , |
||||||
|
|
ϕ 2 |
= β (рис. 2.11), обчислюють за формулою |
|||||
α |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
β |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
О |
|
|
|
S = |
∫ρ2 |
(ϕ) dϕ. |
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 2.11 |
|
2 |
α |
|
|
|||
178 |
|
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
8.2. Довжина дуги кривої
Якщо плоска крива задана рівнянням y = f (x) , x [a; b] і похідна f ′(x) неперервна, то довжина дуги цієї кривої виражається інтегралом
b
l = ∫ 1+ ( f ′(x))2 dx.
a
Якщо крива задана параметричними рівняннями x = x(t) , y = y(t) і по-
хідні |
x′(t) , y′(t) неперервні на проміжку [t1 ; t2 ] , то довжину дуги кривої |
||||
обчислюють за формулою |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
l = ∫ |
(x′(t))2 + ( y′(t))2 dt, |
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
де t1 , |
t2 — значення параметра t, що відповідають кінцям дуги ( t1 < t2 ). |
||||
Нарешті, якщо крива задана у полярних координатах рівнянням ρ = ρ(ϕ), |
|||||
то довжину дуги кривої визначають за формулою |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
ϕ 2 |
|
||
|
|
l = ∫ |
ρ2 (ϕ) + (ρ′(ϕ))2 dϕ, |
|
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
де ϕ1 , |
ϕ 2 — значення полярного кута ϕ в кінцях дуги (ϕ1 < ϕ2 ) . |
8.3. Об’єми тіл
Нехай S(x) — площа поперечного перерізу тіла кулярною до осі Ox у точці з абсцисою x , x [a, b] перервна функція на відрізку [a, b] (рис. 2.12). Тоді ється інтегралом
площиною, перпенди- , причому S(x) — необ’єм тіла V виража-
b
V = ∫ S(x)dx.
a
Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox криволінійної трапеції (рис. 2.13), обмеженої кривою y = f (x) ( f (x) ≥ 0 ), віссю абсцис та прямими x = a та x = b (a < b), визначається за формулою
179
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
b
V = π∫ f 2 (x)dx.
a
Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox криволінійної тра-
пеції, обмеженої кривими |
y = f1 (x) , y = f 2 (x) |
( 0 ≤ f1 (x) ≤ f 2 (x) ) та пря- |
||||||||||
мими x = a , x = b (a < b), |
обчислюють за формулою |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = π∫ f22 (x) − f12 (x) dx. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
y = f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S(x) |
|
|
|
|
а |
b |
|
х |
|||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
||||
О а |
х |
b |
х |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рис. 2.12 |
|
|
|
|
|
Рис. 2.13 |
|
|
|
Якщо крива задана параметрично чи у полярних координатах, то потрібно зробити відповідну заміну змінних у вказаних формулах.
8.4. Площа поверхні обертання
Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ox дуги кривої y = f (x) ( a ≤ x ≤ b ), визначається за формулою
b
P = 2π∫ f (x) 1+ ( f ′(x))2 dx.
a
Якщо крива, що утворює поверхню обертання, задана параметрично x = x(t) , y = y(t) ( α ≤ t ≤ β ), тоді
β
P = 2π∫ y(t) (x′(t))2 + ( y′(t))2 dt.
α
180
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/