Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta

.pdf

Скачиваний:

918

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

4.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2824 25 26 27 28 > Следующая >>>

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищих порядків, які допускають зниження порядку:

1) диференціальне рівняння

F(x, y (k ) , y (k +1) , ..., y (n) ) = 0,

яке не містить шуканої функції і похідних до (k − 1) -го порядку включно, підстановкою y (k ) = z(x) зводиться до рівняння

F(x, z, z′, ..., z (n−k ) ) = 0 ,

порядок якого дорівнює n − k; 2) диференціальне рівняння

F( y, y′, ..., y (n) ) = 0,

яке не містить явно незалежної змінної x , допускає зниження порядку на одиницю шляхом введення нової функції p( y) , яка залежить від змінної y :

y′ = p( y).

Тоді

y′′ =

dp( y)

= p′p;

dy dx

y′′′ =

d( p′p)

= ( p′′p + ( p′)2 ) p

і т. д.

Можна показати, що порядок усіх наступних похідних також знижується на одиницю.

В результаті дістанемо рівняння

Ф( y, p, p′, ..., p(n−1) ) = 0 .

2.3. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Лінійним диференціальним рівнянням n-го порядку називають рівняння вигляду

a0 (x) y(n) + a1 (x) y(n−1) +...+ an (x) y = f (x),

(3.20)

де a0 (x), a1 (x), ..., an (x), f (x) — задані функції, причому a0 (x) ≠ 0 . Іншими словами, лінійне рівняння — це рівняння, яке містить невідому

функцію y = y(x) і всі похідні лише в першому степені і, крім того, у рівняння відсутні їхні добутки.

231

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Рівняння (3.20) у випадку f (x) ≠ 0			називають неоднорідним. Якщо
f (x) ≡ 0 , то рівняння є однорідним і має вигляд
a	0	(x) y(n) + a (x) y (n−1)	+ ... + a	n	(x) y = 0.	(3.21)
	0	1		n
Сформулюємо деякі властивості лінійних рівнянь.
1. Рівняння (3.20) залишається лінійним після заміни x = ϕ(t),						де ϕ(t)	n
раз диференційовна функція незалежної змінної t .
2. Рівняння (3.20) залишається лінійним після перетворення
		y = a(x)z(x) + b(x),
де z(x) — нова невідома функція, a(x), b(x) — задані диференційовні							n
раз функції.

3.Якщо y1 — частинний розв’язок однорідного рівняння (3.21), то C1 y1 , де C1 — довільна стала, — також розв’язок цього рівняння.

4.Якщо y1 , y2 — частинні розв’язки рівняння (3.21), то сума y1 + y2 , а також лінійна комбінація C1 y1 + C2 y2 є розв’язками однорідного рівняння

(3.21).

Останнє твердження можна узагальнити: якщо y1 , y2 , ..., yn — частинні розв’язки рівняння (3.21), то їхня лінійна комбінація

y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn

також є розв’язком однорідного рівняння (3.21). Введемо поняття лінійно незалежної системи функцій.

Систему функцій y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)	називають лінійно незалеж-
ною на проміжку (a,b) , якщо тотожність
α1 y1 + α 2 y2 + ... + α n yn ≡ 0 ,		(3.22)
де α1 , α 2 , ..., α n — дійсні числа, справджується тоді і тільки тоді, коли
α1 = α 2 = ... = α n	= 0 .
Якщо хоча б одне з чисел α1 , α 2 , ..., α n	відмінне від нуля і виконуєть-
сятотожність(3.22), тофункції y1 , y2 , ..., yn	називаютьлінійнозалежними.

232

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Наприклад, функції y1 = sin2 x, y2 = cos2 x, y3 = 1 лінійно залежні, оскільки при α1 = 1, α 2 = 1, α 3 = −1 виконується тотожність

sin 2 x + cos 2 x − 1 ≡ 0, x (−∞; ∞).

Для визначення лінійної незалежності або залежності системи функцій y1 , y2 , ..., yn використовують визначник Вронського

		y1	y2	...	yn
W[ y1, y2	,..., yn ] =	y1′	y2′	...	yn′	.
W[ y1, y2	,..., yn ] =	...	...	...	...	.
		...	...	...	...
		y(n−1)	y(n−1)	...	yn(n−1)
		1	2

Для того, щоб функції y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) , неперервні разом зі свої-

ми похідними до (n – 1)-го порядку включно на (a, b), були лінійно незалежними на заданому проміжку, необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського не дорівнював нулю хоча б в одній точці даного проміжку.

Довільну систему з n лінійно незалежних розв’язків однорідного рівняння (3.21) називають фундаментальною системою.

Якщо y1 , y2 , ..., yn — фундаментальна система рівняння (3.21), то його загальний розв’язок має вигляд

y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn ,

де C1 , C2 , ..., Cn — довільні сталі.

Формула Абеля. Нехай y1 — ненульовий частинний розв’язок лінійного однорідного рівняння

y′′ + p(x) y′ + q(x) y = 0 ,

де p(x), q(x) — неперервні на (a, b) функції. Тоді загальний розв’язок рівняння задається формулою

	y = C1 y1 + C2 y1 ∫	e− ∫ p( x)dx
			dx,	(3.23)
		y2	dx,	(3.23)
		1
де C1 , C2 — довільні сталі.
				233

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Т.2 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Знайдіть загальний розв’язок рівняння

y′′′ = e2x + sin x.

Розв’язання. Послідовно дістанемо

y′′′ =

dy′′

= e

+sin x , y′′ = ∫(e

+ sin x)dx =

− cos x + C1 ,

+ C1x + C2 ,

y′ = ∫ y′′dx = ∫

− cos x + C1

− sin x

y = ∫ y′dx = ∫

− sin x

+ C1x + C 2 dx =

+ cos x +

+ C2 x + C3

де C1 , C2 , C3

— довільні сталі.

2. Розв’яжіть рівняння

y′′(1+ x2 ) = 2xy′.

Розв’язання. Дане рівняння не містить явно функцію

y(x), тому вико-

наємо підстановку

y′ = z(x) (див. табл. 3.1). Тоді y′′ = z′

і рівняння набуде

вигляду

z′(1 + x2 ) = 2xz.

Дістали рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Далі маємо

	dz	(1+ x2 ) = 2xz ,	dz	=		2x		dx ,
	dx		z		1 + x2
ln \| z \| = ln(1+ x2 ) + ln \| C \| , z = C (1+ x2 ) ,									dy	= C (1+ x2 ) ,
ln \| z \| = ln(1+ x2 ) + ln \| C \| , z = C (1+ x2 ) ,										= C (1+ x2 ) ,
1			1						dx		1
									dx
y = ∫C1 (1 + x2 )dx = C1 (x +						x3	) + C2 —

загальний розв’язок даного рівняння. 3. Розв’яжіть рівняння

( y′)2 + 2 yy′′ = 0.

234

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Розв’язання. Маємо рівняння другого порядку, яке не містить явно незалежної змінної x . Поклавши

y′ = p( y) , y′′ = p dpdy ,

зведемо дане рівняння до рівняння першого порядку:

+ 2 yp

= 0; p p +

= 0 ,

звідки дістанемо такі випадки:

1) p = 0 ,

= 0 , y = C ;

2) p + 2y

= 0 ,

+ln

= ln C

y p = C ,

= C ,

ydy =

C dx ,

= C x

+ C

— загальний інтеграл ви-

∫

хідного рівняння.

y = C можна дістати із загального інтеграла,

Зазначимо, що розв’язок

поклавши C1 = 0 .

4. Розв’яжіть рівняння

y ′′′−( y ′′)2 = 0 .

Розв’язання. Маємо рівняння третього порядку, яке не містить явно незалежної змінної x , шуканої функції у(х) та похідної y′ . Отже, порядок

даного рівняння

можна знизити за допомогою замін y ′′(x) = z(x) або

y′ = p( y) . Зручніше зробити заміну y′′(x) = z(x) , тоді

y′′′(x) = z′(x) і ви-

хідне рівняння зводиться до рівняння першого порядку

Далі маємо

z ′−z2 = 0 .

= z2 ,

= dx , −

= x +C , z =

y ′′ =

−x −C1

y′ = ∫

dx = − ln

+ C1

+ C2 ,

− x − C

y = ∫(− ln

x + C1

+ C2 )dx = − (x + C1) ln

x + C1

+ C2 x + C3 —

загальний розв’язок даного рівняння ( C1 , C2 , C3

— довільні сталі).

235

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

5. Покажіть, що функції y1 = 1, y2 = x, y3 = x 2 лінійно незалежні на проміжку (−∞, ∞) .

Розв’язання. Складемо визначник Вронського і обчислимо його. Маємо:

	1	x	x2
W[1, x, x2 ] =	0	1	2x	= 2 ≠ 0,
	0	0	2

звідки випливає лінійна незалежність функцій 1, x, x 2 .

6. Дослідіть на лінійну залежність систему функцій y1 = eαx cosβx, y2 = eαx sin βx ( β ≠ 0 ).

Розв’язання. Для перевірки лінійної залежності цих функцій знайдемо вронскіан (визначник Вронського):

W[ y1, y2 ] =		eαx cosβx
	eαx (α cosβx − β sin βx)
= e2αx		cosβx

		α cosβx − β sin βx α

eαx sin βx		=
eαx (α sin βx + β cosβx)
sin βx	=

sin βx + β cosβx

= e2αx (α cosβx sin βx + β cos2 βx − α cosβx

для всіх x (−∞, ∞).

Отже, дані функції лінійно незалежні на

sin βx + β sin 2 βx) = βe2αx ≠ 0

проміжку (−∞, ∞) .

7. Складіть лінійне однорідне рівняння за фундаментальною системою розв’язків

y1 = x , y2 = e x .

Розв’язання. Складаємо визначник Вронського для системи функцій

y1 = x ,

= e x ,

y . Цей визначник дорівнює нулю, оскільки система фун-

кцій y

, y

лінійно залежна ( y = C x + C

e x — загальний розв’язок

шуканого рівняння):

e x

W[x, e x , y] =

e x

y′

= e x

y′

= 0 .

e x

y′′

236

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Розклавшивизначникзаелементамитретьогостовпця, дістанеморівняння

(x − 1) y′′ − xy′ + y = 0 .

8. Знайдіть загальний розв’язок рівняння

y ′′+ (tg x −2 ctg x) y ′+ 2 ctg2 x y = 0 ,

якщо y1 = sin x — його частинний розв’язок.

Розв’язання. Лінійно незалежний з

розв’язок y2 даного рівняння

знаходимо за формулою Абеля (3.23) при C1 = 0 і C2 = 1 :

−

p(x)dx

y2 = y1 ∫

∫

dx .

y 2

Маємо:

−∫ p(x)dx = −∫(tg x − 2ctg x)dx = ln

cos x

+ 2 ln

sin x

;

y2 = sin x∫

cos x

+ 2ln

sin x

dx = sin x∫cos xdx = sin2 x .

sin

Отже,

sin 2 x —

y = C

sin x + C

загальний розв’язок вихідного рівняння.

Т.2 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Розв’яжіть рівняння

1.	y′′′ =	1	.	2.	y′′′ = 27e3x + 120x3 .

		x
3.	y′′′ = e5x − cos x .			4.	y′′′ = sin 2x + cos x .
5.	y′′′ = e x + x .			6.	y′′′ = x 2 + cos 3x .
7.	y′′ = ln x + x .			8.	y′′ = 5 x + 6x .
9.	y′′′ = 3x + cos x .			10.	y′′′ = 4 x + cos 3x + sin 5x .
11.	x2 y′′ + xy′ = 1 .			12.	y′′(ex + 1)+ y′ = 0 .
13. (1 − x2 ) y′′ − xy′ = 2 .				14.	y′′ = 5y′ .

237

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

15.	′′	′ 2	+ y	′	.	16.	y	′′	′	2	=	2e	− y	.
15.	y (1+ y) = (y )		+ y		.	16.	y		+ ( y )		=	2e		.
17.	y3 y′′ = −1.					18.	yy′′ = ( y′)2 .
19.	y′′ =	1 .				20.	y′′ = 10e y .
		y

Дослідіть на лінійну залежність систему функцій.

21.	y1	= 1, y2	= sin 2 x,		y3 = cos 2x .
22.	y1	= x 2 − x + 3,		y2	= 2x 2 + x, y3 = 2x − 4 .
23.	y1	= x + 2,	y2	= x − 2 .

Складіть лінійні однорідні диференціальні рівняння за фундаментальними системами розв’язків.

24.	y1	= x ,	y2	= x 2 , y3 = e x .
25.	y1	= 1,	y2	= cos x .

Знайдіть загальний розв’язок рівняння, якщо відомий один його частинний розв’язок.

26.

y′′ +

y′ + y = 0 ,

sin x

27. (1− ln x) y′′ +

y′ −

y = 0 , y = ln x .

28.

y′′ +

y′ −

y = 0 , y

= x3 .

29.

(x − 1) y′′ − xy′ + y = 0 ,

y1 = x .

30.

(x + 1)x2 y′′ − 2 y = 0 , y

= 1 +

Відповіді


1. y =				x2			ln x −		x2		+ C1	x2		+ C2x
1. y =					2		ln x −			4	+ C1	2		+ C2x
					2					4		2
+ sin x + C						x2		+ C		x + C .		4.			y =
+ sin x + C					2			+ C		x + C .		4.			y =
			1		2			2			3
+C	x2	+ C x + C . 6. y =											x5		−	1
1	2				2			3				60			27

238

+ C3 . 2. y = e3x + x6 + C1 + C2x + C3x2 . 3. y = 1251 e5x +

cos 2x − sin x + C1

+ C2x + C3

5. y = ex +

sin3x + C1

+ C2x + C3 . 7. y =

ln x −

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

+C x + C							.		8.			y =						5 x				+ x3 + C x + C												.	9.				y =	3x			− sin x + C										x2	+ C x + C .
+C x + C							.		8.			y =					(ln 5)2					+ x3 + C x + C												.	9.				y =	(ln3)3			− sin x + C										2	+ C x + C .
	1			2													(ln 5)2									1					2									(ln3)3										1			2		2			3
10. y =				4x						−		1			sin 3x +							1		cos5x + C						x2				+ C x + C .								11.					y =				ln2 x		+ C		ln x + C				.
10. y =			(ln 4)3							−		27			sin 3x +						125			cos5x + C					2					+ C x + C .								11.					y =			2			+ C		ln x + C				.
			(ln 4)3									27									125							1	2							2				3										2				1				2
12.	y = C						(x − e− x )+ C											2	.		13.				y = arcsin 2 x +C											1		arcsin x + C						2		.		14.				y = C e5x + C						2	.
				1														2																		1								2										1				2
15.	ln	C (y + 1) − 1												= C (x + C ), C ≠ 0;															y = C ;										y = −x + C .							16.			ey + C =					= (x + C )2 .
15.	ln	C (y + 1) − 1												= C (x + C ), C ≠ 0;															y = C ;										y = −x + C .							16.			ey + C =					= (x + C )2 .
		1															1					2			1										3																	1				2
17.	1+ C				1			y 2			= C x + C								2	.		18.			y = C		2	eC1x .								19. x + C					2	=			2		(		y − 2C )						y + C				).
17.	1+ C							y 2			= C x + C									.		18.			y = C			eC1x .								19. x + C						=					(		y − 2C )						y + C				).
												1																																3									1				1
																																												3
											1						20e y + C								−	C
20. x + C2 =											1		ln											1		1		.	21.						Лінійно					залежні.								22. Лінійно							залежні.
20. x + C2 =													ln				20e y + C											.	21.						Лінійно					залежні.								22. Лінійно							залежні.
										C1							20e y + C								+	C
																								1		1
23. Лінійно незалежні. 24. (x2 − 2x + 2) y′′′ − x2 y′′ + 2xy′ − 2y = 0 . 25.																																																				y′′ − y′ ctg x = 0 .
26.	y = C					sin x					− C					cosx				. 27. y = C ln x + C														x . 28.					y = C x3			+ C						1		. 29.			y = C x + C				ex .
26.	y = C										− C						x			. 27. y = C ln x + C														x . 28.					y = C x3			+ C								. 29.			y = C x + C				ex .
			1 x											2			x									1						2								1					2 x3										1	2
											1												1			2(x + 1)ln							x		+ 1
											1												1			2(x + 1)ln							x		+ 1
30.	y = C1						1		+			+ C2 x								+ 1		−			−												.
30.	y = C1						1		+		x	+ C2 x								+ 1		−		x	−			x									.
											x													x				x

Т.2 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

2.1. Проінтегруйте рівняння другого порядку

2.1.1. y′′ =	sin x	.	2.1.2. y′′(4 + x2 ) = 2 .

	cos2 x
2.1.3. y′′ = 4 cos2 x .			2.1.4. y′′ = 2xarctg x .
2.1.5. y′′ 1 − x2 + x = 0 .			2.1.6. y′′ = arctg x
2.1.7. y′′ = xe x .			2.1.8. y′′ 1 − x2 = 1 .
2.1.9. y′′ = x ln x .			2.1.10. y′′ = x sin 2 x .
2.1.11. y′′(1 − x2 ) = x3 .			2.1.12. y′′ = 3x2 + ln x .
2.1.13. y′′ x2 − 1 = x .			2.1.14. y′′ = x sin 2x .
2.1.15. y′′ = 6x arctg x .			2.1.16. y′′ = sin 3 x .
2.1.17. y′′ = cos3 x .			2.1.18. y′′ = xe2x .
2.1.19. y′′ = 4 sin 2 x .			2.1.20. xy′′ = 1 + x2 .

239

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

2.1.21. y′′ 1+ x = x .	2.1.22.	y′′ = x	x − 1 .
2.1.23. y′′ cos3 x = sin x .	2.1.24.	y′′ = ex (x + 1) .
2.1.25. y′′ = x + ln x .	2.1.26.	y′′ = cos 4 x .
2.1.27. x2 y′′ = ln x .	2.1.28.	y′′ = (x + 3)e x .
2.1.29. (x − 1)2 y′′ = x 2 − 2x .	2.1.30.	2 x (	x + 1)2 y′′ = 1 .

2.2. Проінтегруйте рівняння другого порядку, використовуючи заміну y′ = z(x) .

2.2.1. (9 + x 2 ) y′′ + 2xy′ = 0 .

2.2.3. y′′ − 2y′ ctg x = cos x . 2.2.5. y′′ − 2 ctg x y′ = sin3 x .

2.2.7. xy′′ + x( y′)2 − 2 y′ = 0 .

2.2.9. xy′′ − y′ = e x x2 . 2.2.11. xy′′ + y′ = ( y′)2 . 2.2.13. y′′x ln x = y′ .

2.2.15. y′′ − 2xy′ = 4x . 2.2.17. y′′−2 y′ctg x = 0 . 2.2.19. (x 2 + 1) y′′ = 2x( y′ + 1) . 2.2.21. (x2 + 1) y′′ = 4x( y′ − 1) . 2.2.23. xy′′ = y′ ln(y′ / x) . 2.2.25. xy′′ = y′ + x2 .

2.2.27. xy′′ + y′ = x . 2.2.29. x2 y′′ + xy′ = 1 .

2.2.2. xy′′ = y′ + x .

2.2.4. y′′(x 2 + x) = (4x + 2) y′ . 2.2.6. (2 + x 2 ) y′′ + 2xy′ = x 2

2.2.8. y′′ sin x − y′ cos x = sin x . 2.2.10. y′′ + 4(tg x) y′ = cos2 x .

2.2.12. xy′′ = y′ + x3 .

2.2.14. y′′ + 2(tg x) y′ = cos3 x .

2.2.16. xy′′ − y′ = x2 cos x . 2.2.18. xy′′ = y′ + xe x . 2.2.20. xy′′ = y′ + x2 sin x . 2.2.22. x(ln x + 2) y′′ = y′ . 2.2.24. (1− x2 ) y′′ = 2xy′ . 2.2.26. (1 + x2 ) y′′ = 2xy′ .

2.2.28. y′′ − 2(tg x) y′ = cos x .

2.2.30. y′′ − y′ /(x − 1) = x2 − x .

2.3. Проінтегруйте рівняння другого порядку, використовуючи заміну

y′ = p( y) .
2.3.1. yy′′ = ( y′)2 .	2.3.2. 2 yy′′ + ( y′)2	= 0 .
2.3.3. yy′′ = 2 y′ + ( y′)2 .	2.3.4. yy′′ + 2( y′)2	= 0 .
2.3.5. yy′′ − 2( y′)2 = 2y3 y′ .	2.3.6. y3 y′′ + 2 y′ = 0 .
2.3.7. yy′′ = 3( y′)2 .	2.3.8. y′′ = ( y′)2 + 2 y′ .
240

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2824 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019209.92 Кб1vidrodzhennya_u_frantsiyi.doc
#
28.08.2019288.77 Кб1Vidrodzhennya_v_nimechchini.doc
#
10.11.2019882.69 Кб33Vikova_psikhol_Konsp_Alp.doc
#
19.02.2016908.69 Кб55Vischa_geodeziya.docx
#
19.02.20168.29 Mб315Vischa_matematika_Chastina_1_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20164.86 Mб918Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20162.32 Mб223Vischa_matematika_Chastina_2_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20167.52 Mб410Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta.pdf
#
19.02.20161.68 Mб74Vitorskaya_N_Prichiny_Bolezn_Istoki_Zdorov_Pra.doc
#
26.08.201978.26 Кб0voprosy_1-10.docx
#
19.02.201650.69 Кб79Voprosy_na_ekzamen_TS.doc