0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat
.pdf
МОДУЛЬНА ТЕХНОЛОГІЯ НАВЧАННЯ
У чотирьох частинах
Частина 3 Третє видання, стереотипне
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів
вищих навчальних закладів
Київ Видавництво Національного авіаційного університету
«НАУ-друк»
2009
УДК 51(075.8)
ББК В 11я7
В 558
Розповсюджувати та тиражувати без офіційного дозволу НАУ забороняється
Рецензенти:
В. І. Нікішов, д-р фіз.-мат. наук, проф., чл.-кор. НАН України (Інститут гідромеханіки НАН України)
Н. О. Вірченко, д-р фіз.-мат. наук, проф. (Національний технічний університет України «КПІ»)
В. Ф. Мейш, д-р фіз.-мат. наук, проф. (Національний аграрний університет)
Гриф надано Міністерством освіти і науки України
(Лист № 14/18.2-1389 від 21.06.2005).
Вища математика. Модульна технологія навчання : навч.
В558 посіб. : У 4 ч. Ч. 3./ В. П. Денисюк, В. К. Репета, К. А. Гаєва, Н. О. Клешня. — 3-тє вид., стереотип. — К. : Вид-во Нац.
авіац. ун-ту «НАУ-друк», 2009. — 444 с.
ISBN 978–966–598–515–0
ISBN 978–966–598–516–7 (частина 3)
У посібнику запропоновано модульну технологію вивчення вищої математики.
Викладено основні розділи курсу вищої математики (ряди, кратні, криволінійні, поверхневі інтеграли, теорія поля, теорія функції комплексної змінної, операційнечисленнятачисельніметоди), якітрадиційновивчаютьсянадругомукурсі.
Навчальний матеріал поділено на логічно завершені розділи — модулі, які складаються з тем (мікромодулів). Кожна тема містить стислі теоретичні відомості, практичну частину, у якій наведено приклади виконання типових вправ, завдання для аудиторної та самостійної роботи з відповідями, а також індивідуальні тестові завдання.
Для студентів вищих технічних навчальних закладів.
|
УДК 51(075.8) |
|
ББК В 11я7 |
ISBN 966–598–515–0 |
© Денисюк В. П., Репета В. К., |
Гаєва К. А., Клешня Н. О., 2006-2009 |
|
ISBN 966–598–516–7 (частина 3) |
© НАУ, 2009 |
ВСТУП
Упосібнику запропоновано модульну технологію вивчення курсу вищої математикинадругомукурсідлястудентівінженерних спеціальностей.
Пропонований матеріал поділяється на п’ять модулів: 1) ряди;
2) кратні, криволінійні, поверхневі інтеграли та теорія поля; 3) теорія функції комплексної змінної; 4) операційне числення; 5) чисельні методи.
Кожен модуль містить загальні положення, в яких сформульовані теми розділу, базисні поняття, основні задачі, вимоги до теоретичних та практичних знань і вмінь студентів, якими вони повинні володіти після вивчення даного модуля.
Тема (мікромодуль) містить: 1) теоретичну частину; 2) практичну частину;
3) індивідуальні тестові завдання.
Утеоретичній частині викладено у стислій формі необхідний матеріал для опанування розглядуваної теми (конспект лекції). Найважливіші питання обґрунтовані ретельно. До всіх тем подано посилання на літературу, що дасть можливість студентам у разі необхідності більш детально і ґрунтовно опанувати теоретичний матеріал.
Практична частина містить приклади розв’язання типових задач, які ілюструють теоретичний матеріал, а також вправи з відповідями для аудиторної і самостійної роботи студентів.
Наприкінці теми вміщено індивідуальні тестові завдання, які слугують для контролю засвоювання студентами матеріалу даного розділу. На кожному практичному занятті студент здає індивідуальне завдання попереднього мікромодуля, виконане у письмовій формі.
Варіанти тестових завдань є основою для формування модульних контрольних робіт, які проводяться безпосередньо після вивчення кожного модуля, а також для формування завдань семестрового контролю.
Враховуючи різну кількість годин, відведених за планом для вивчення вищої математики студентам різних спеціальностей, провідний викладач (лектор) може коригувати вміст модулів, кількість тестових завдань, які студент повинен виконати протягом семестру. Про ці заходи викладач повідомляє студентів на початку семестру.
3
Модуль |
|
1 |
РЯДИ |
|
Загальна характеристика розділу. Цей розділ є продов-
женням тем «Границя послідовності», «Фомула Тейлора». Ряди є важливим математичним апаратом для вивчення властивостей функцій і проведення наближених обчислень.
СТРУКТУРА МОДУЛЯ
Тема 1. Числові ряди. Тема 2. Функціональні ряди. Тема 3. Ряди Фур’є.
Тема 4. Інтеграл Фур’є.
Базисні поняття. 1. Числовий ряд. 2. Сума ряду. 3. Збіжність ряду. 4. Абсолютна й умовна збіжності. 5. Функціональний ряд. 6. Область збіжності функціонального ряду. 7. Степеневий ряд. 8. Ряди Тейлора і Маклорена. 9. Ряд Фур’є. 10. Інтеграл Фур’є.
Основні задачі. 1. Встановлення збіжності або розбіжності знакосталого числового ряду. 2. Встановлення абсолютної або умовної збіжності знакозмінних рядів. 3. Знаходження радіуса і області збіжності степеневого ряду. 4. Розкладання функції у степеневий ряд. 5. Використання рядів для наближених обчислень. 6. Розвинення функції у ряд Фур’є.
ЗНАННЯ ТА ВМІННЯ, ЯКИМИ ПОВИНЕН ВОЛОДІТИ СТУДЕНТ
1.Знання на рівні понять, означень, формулювань
1.1.Числовий ряд. Сума, частинна сума, залишок. Збіжність ряду.
1.2.Властивості збіжних рядів.
1.3.Альтерновний ряд.
1.4.Абсолютна й умовна збіжність.
1.5.Функціональний ряд. Область збіжності.
1.6.Степеневий ряд. Інтервал і радіус збіжності.
1.7.Властивості степеневих рядів.
1.8.Ряд Тейлора.
4
1.9.Застосування степеневих рядів для наближених обчислень значень функції, інтегралів, розв’язання диференціальних рівнянь.
1.10.Ортогональність тригонометричної системи функцій на відрізку
[−π; π].
1.11.Ряд Фур’є, коефіцієнти Фур’є функції f (x) для проміжків [−π; π] ,
[−l; l] .
1.12.Розкладання функції у ряд Фур’є за синусами і косинусами на про-
міжках [0; π] , [0; l] .
1.13.Інтеграл Фур’є.
2.Знання на рівні доведень та виведень
2.1.Необхідна умова збіжності.
2.2.Достатні ознаки збіжності знакододатних числових рядів (порівняння, Д’Аламбера, радикальна й інтегральна Коші).
2.3.Ознака Лейбніца.
2.4.Теорема Абеля.
2.5.Розкладання у степеневий ряд основних елементарних функцій.
3.Уміння в розв’язанні задач
3.1.Досліджувати числові ряди на збіжність.
3.2.Знаходити радіус і область збіжності степеневих рядів.
3.3.Розкладати функції у степеневий ряд.
3.4.Застосовувати ряди до наближених обчислень.
3.5.Обчислювати коефіцієнти і записувати ряд Фур’є для різних випадків задання функції.
3.6.Зображення функції інтегралом Фур’є.
Тема 1. ЧИСЛОВІ РЯДИ
Основні поняття та означення, збіжність. Необхідна умова збіжності. Властивості числових рядів. Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів (порівняння, Д’Аламбера, Коші). Альтерновні ряди. Теорема Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна й умовна збіжності.
Література: [3, розділ 5, п.п. 5.1—5.3], [9, розділ 9, §1], [14, розділ 3, §2], [15, розділ 13, п. 13.1], [16, розділ 16, §1—8], [17, розділ 4, §13—15].
5
|
Т.1 |
|
ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ |
|
||
|
|
|
1.1. Основні поняття та означення |
|
||
Нехай задано послідовність дійсних чисел |
|
|||||
|
|
|
|
{un } = {u1 , u2 , …, un , …} . |
|
|
Числовим рядом (або просто рядом) називають вираз |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un |
|
(1.1) |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
Числа u1 , u2 , |
... називають членами ряду; un — загальний член ряду. |
|||||
Ряд вважають заданим, якщо відома залежність загального члена ряду від
номера n, тобто un = f (n) . Суму
Sn = u1 + u2 + …+ un
перших n членів ряду називають п-ю частинною сумою ряду (1.1).
Якщо існує скінченна границя S = lim Sn , то ряд (1.1) називають збіж-
n→∞
ним, а число S — його сумою.
Якщо границя |
lim Sn не існує або |
lim Sn |
= ∞ , то ряд називають роз- |
|||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
||
біжним. Такий ряд суми не має. |
|
|
|
|
||
Різницю |
|
|
|
|
|
|
|
rn = S − Sn = un+1 + un+ 2 + ... |
|||||
називають п-м залишком ряду. |
|
|
|
|
||
Розглянемо приклади. |
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
1. Ряд 1+ 2 + 3 + |
…+ n + …= ∑ n розбігається. Справді, |
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
lim Sn = lim (1+ 2 + …+ n) = lim |
|
n(n + 1) |
= ∞ . |
|||
2 |
||||||
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
|
|||
|
|
∞ |
|
|
|
|
2. Ряд 1− 1+ 1− 1+ …+ (−1)n+1 + …= ∑ (−1)n+1 розбігається, оскільки по- |
||||||
n=1
слідовність частинних сум {Sn } = {1, 0, 1, 0,…} не має границі.
6
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
∞ |
1 |
|
3. Покажемо, що ряд |
+ |
|
+ …+ |
+ …= ∑ |
збіга- |
||||
|
|
3 |
n (n + 1) |
|
|||||
|
1 2 2 |
|
n=1 n (n + 1) |
|
|||||
ється, і обчислимо його суму. Розглянемо частинну суму:
Sn |
= |
|
1 |
+ |
1 |
|
|
+ …+ |
1 |
|
= |
1 |
− |
1 |
|
+ |
1 |
− |
|
1 |
|
+ …+ |
1 |
− |
1 |
|
|
= 1− |
1 |
|
. |
|||
|
|
3 |
n (n + 1) |
2 |
|
|
|
|
n + 1 |
n + 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 2 2 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Оскільки існує границя |
lim |
= lim 1− |
|
|
|
|
|
|
= 1, то ряд збіжний і йо- |
||||||||||||||||||||||||
|
n + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
го сума S = 1.
Зауваження. Корисно пам’ятати таке твердження. Якщо послідовність {un } можна подати у вигляді { f (n) − f (n + 1)} , тобто
u1 = f (1) − f (2), u2 = f (2) − f (3), …, un = f (n) − f (n + 1),
тоді
u1 + u2 + …+ un−1 + un = f (1) − f (2) + f (2) |
− f (3) + …+ |
+ f (n − 1) − f (n) + f (n) − f (n + 1) = f (1) |
− f (n + 1). |
4. Розглянемо ряд геометричної прогресії (або геометричний ряд):
|
a + aq + aq2 + …+ aqn−1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(a ≠ 0). |
|
|||||
|
+ …= ∑ aqn−1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
При q = 1 ряд розбіжний. Нехай q ≠ 1, |
тоді |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Sn = a + aq + aq2 + …+ aqn−1 = |
a(1− qn ) |
= |
a |
|
− |
aqn |
. |
|||||||||
|
|
1− q |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− q |
|
1− q |
|||||
Знайдемо границю цієї суми залежно від значення q : |
|
|
|
|||||||||||||
1) якщо | q |< 1, то lim qn = 0 , тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn |
= |
|
|
a |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
− q |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ряд збіжний і його сума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S = |
|
a |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1− q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) якщо | q |> 1, то lim qn = ∞ , тому |
|
lim Sn = ∞ , ряд розбіжний; |
||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
7
3) при q = −1 ряд набирає вигляду
a− a + a − a + …+ (−1)n+1 a + …
іє розбіжним (обґрунтуйте це самостійно).
Висновок. Ряд геометричної прогресії
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∑ aqn−1 ( a ≠ 0 ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||
збігається за умови | q |< 1 |
і розбігається, якщо | q |≥ 1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. У теорії рядів особливе місце посідає ряд |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
1+ |
+ |
+ …+ |
+ …= |
∑ |
1 |
, |
|
|||
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
n |
n=1 n |
|
|
|||||
який називають гармонічним рядом. Покажемо, що цей ряд розбіжний. Для доведення використаємо відому з першого семестру нерівність
|
|
1 |
n |
||
1 |
+ |
|
|
< e . |
|
n |
|||||
|
|
|
|
||
Звідси після логарифмування обох частин нерівності за основою е дістанемо:
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
n + 1 |
|
1 |
|
1 |
> ln(n + 1) |
− ln n. |
|||
n ln 1 |
+ |
|
|
< 1, |
ln 1 |
+ |
|
|
< |
|
, |
ln |
|
|
< |
|
, |
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
||
Тоді
Sn = |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
||
1+ |
|
+ |
|
+ …+ |
|
> (ln 2 − ln1) + (ln 3 − ln 2) + (ln 4 |
− ln 3) + |
|
|
2 |
3 |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
+ …+ (ln(n + 1) − ln n) = ln(n + 1) . |
|
|
||
Оскільки |
lim Sn |
= ∞ , то гармонічний ряд розбіжний. |
|
|
|||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1.2. Властивості числових рядів |
|
|
||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
1. Якщо ряд ∑ un збіжний і його сума дорівнює S , то ряд ∑ Cun |
та- |
||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
кож збіжний і його сума дорівнює CS (C = const ). Якщо ж ряд ∑ un |
роз- |
||||||||
n=1
∞
бігається і C ≠ 0 , то ряд ∑ Cun також розбігається.
n=1
8
∞ |
∞ |
2. Якщо числові ряди ∑ un |
та ∑ vn збіжні і Su та Sv — їхні суми |
n=1 |
n=1 |
∞
відповідно, тоді збіжні також ряди ∑ (un ± vn ) і їхні суми дорівнюють
n=1
Su ± Sv відповідно.
Зауваження. Сума (різниця) збіжного і розбіжного рядів є розбіжний ряд. Сума (різниця) двох розбіжних рядів може бути як збіжним, так
ірозбіжним рядом.
3.На збіжність ряду не впливає відкидання чи приєднання до нього скінченної кількості членів.
4.Ряд (1.1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжний (розбіжний) довільний його залишок. Крім того, якщо ряд збігається, то
lim rn = lim (un+1 + un+ 2 + ...) = 0 .
n→∞ n→∞
1.3. Необхідна ознака збіжності числового ряду
Часто потрібно встановити не суму ряду, а лише його збіжність чи розбіжність. У таких випадках відшукання частинної суми Sn стає не ефекти-
вним. Існує ряд ознак, які дають можливість вивчити ряд на збіжність без використання суми Sn . Важливу інформацію про поведінку ряду може да-
ти, зокрема, необхідна ознака збіжності числового ряду.
|
|
|
(необхідна ознака збіжності). Якщо ряд (1.1) збігається, |
|||
|
Теорема 1 |
|
||||
|
|
то його загальний член un прямує до нуля, тобто |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
lim un = 0 . |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
Доведення. |
Нехай ряд |
(1.1) |
збігається, |
причому lim Sn = S . Тоді і |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
lim Sn−1 = S . Враховуючи, що un |
= Sn − Sn−1 |
( n = 2, 3,…), дістанемо |
||||
n→∞ |
|
|
|
|
||
|
lim un = lim (Sn |
− Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0. |
||||
|
n→∞ |
n→∞ |
|
n→∞ |
n→∞ |
|
Наслідок (достатня ознака розбіжності ряду). Якщо lim un ≠ 0
n→∞
або ця границя не існує, то ряд (1.1) розбігається
9
Справді, якби ряд збігався, то за теоремою 1 виконувалась би гранична
рівність lim un = 0 , що суперечить умові. Отже, ряд розбігається.
n→∞
Зауваження. На практиці студенти часто роблять грубу помилку,
стверджуючи, що якщо lim un = 0 , то ряд збігається. Насправді, як-
n→∞
що lim un = 0 , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Проте якщо
n→∞
lim un ≠ 0 , то ряд — розбіжний.
n→∞
Наприклад, загальний член un = 1n гармонічного ряду прямує до нуля,
якщо n → ∞ , проте цей ряд розбіжний.
1.4. Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів
Ряди з невід’ємними членами називають знакододатними. Для дослідження збіжності таких рядів найчастіше використовують ознаки порівняння, Д’Аламбера, радикальну та інтегральну ознаки Коші.
1.4.1. Ознаки порівняння
Збіжність або розбіжність знакододатного ряду часто встановлюють за допомогою порівняння його з рядом, поведінка якого відома. Такі ряди називатимемо еталонними.
Теорема 2 Нехай задано два ряди з додатними членами
∞ |
|
|
|
∑ un = u1 |
+ u2 |
+ …+ un + … |
(1.2) |
n=1 |
|
|
|
і |
|
|
|
∞ |
|
|
|
∑ vn = v1 |
+ v2 |
+ …+ vn + …, |
(1.3) |
n=1 |
|
|
|
члени яких задовольняють нерівність |
|
|
|
0 ≤ un ≤ vn ( n = 1, 2,…). |
(1.4) |
||
Тоді:
а) якщо збігається ряд (1.3), то збігається і ряд (1.2); б) якщо розбігається ряд (1.2), то розбігається і ряд (1.3).
Доведення. Нехай Sn (u) , Sn (v) — п-і частинні суми рядів (1.2) і (1.3) відповідно. З нерівностей (1.4) випливає, що
10