0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Другий спосіб. Обчислимо циркуляцію векторного поля за формулою Стокса. Для цього розглянемо верхню сторону площини σ (трикутник АВС) і відповідний цій стороні додатний напрям АВСА. Маємо

Підставляючи ці значення у формулу Стокса (2.42′) і користуючись формулою (2.55), дістаємо

Ц= ∫ xzdx + yxdy + zydz = ∫∫ ydxdy + zdydz + xdzdx.

Виразимо поверхневий інтеграл через подвійні інтеграли по областях, які є проекціями П на координатні площини:

231

z = 0 в додатному напрямі.

Розв’язання. Перший спосіб (безпосереднє обчислення). Запишемо рівняння заданого кола L у параметричному вигляді:

Другий спосіб (за формулою Стокса). Поверхня σ , обмежена заданим колом, круг x2 + y2 ≤ 1 , вона лежить у площині Оху, отже, одночасно є проекцією D поверхні на цю площину. За формулами (2.55) і (2.42′) маємо:

Ц = ∫∫ (1− (−1))dxdy = 2∫∫ dxdy = 2Sкруга = 2π.

σ D

7. Доведіть, що векторне поле

F = (3x2 y2 + 2xz3 )i + (2 yx3 − z2 ) j + (3x2 z2 − 2 yz + 4z3 )k

є потенціальним, і знайдіть його потенціал.

232

Розв’язання. Для доведення потенціальності поля достатньо показати, що rot F = 0 . Маємо

унапрямку вектора, що утворює з координатними осями Ох і Оу кути

α= 45° та β = 60° відповідно.

7. Знайдіть кут між градієнтами скалярного поля u = arctg xy , обчис-

леними в точках M1 (1; 0) та M2 (−1; 1) .

8.Знайдіть точки, в яких градієнт скалярного поля u = ln(x − y−1 ) дорівнює i + j.

9.Знайдіть векторні лінії поля F = (z − y)i + (x − z) j + ( y − z)k.

10.Знайдіть векторну лінію поля F = i − y2 j + z2k , що проходить через точку M (1; 2; 3).

11. Обчисліть потік векторного поля F = (x + 3y)i + ( y − z) j + (z + x)k

через верхню частину круга, що вирізається конусом x2 + y2 = z2 із площини z = 1 .

12. Обчисліть потік векторного поля F = xi + zk через бічну поверхню кругового циліндра x2 + y2 = 4 , обмеженого площинами z = 0 та z = 1 .

13. Обчисліть потік векторного поля F = (x + y)i + yzj + (x − z)k через замкненуповерхню, обмеженупараболоїдом z = 1− x2 − y2 таплощиною z = 0.

15. Обчисліть потік векторного поля F = (3x − 2)i − 5yj + (2z + 1)k через

зовнішню сторону конуса x2 + y2 = z2 ( 0 ≤ z ≤ 3 ), використовуючи для

цього метод добудови даної поверхні до замкненої поверхні і подальшого використання формули Остроградського—Гаусса.

Обчисліть циркуляціювекторногополя F вздовжзамкненого контураL.

ретином площини x + y + z = 3 з координатними площинами.

Обчисліть циркуляцію векторного поля F вздовж замкненого контуру L, використовуючи: а) безпосереднє інтегрування; б) формулу Стокса.

19.F = x2 y3i + j + zk , L — коло x2 + y2 = R2 , z = 0 .

20.F = zi − yk , L — еліпс x2 + y2 = 4, x + 2z = 5 .

234

21. F = x2 i + y2 j + z2 k , L — коло x2 + y2 + z2 = 10, z = 1 .

22. Знайдіть дивергенцію і ротор векторного поля радіус-вектора r = xi + yj + k .

Знайдіть ротор векторного поля F у точці M .

23.F = (x2 + y2 )i + ( y2 + z2 ) j + (z2 + x2 )k , M (−1; 2; 0).

24.F = (2x2 y − z)i + (3xz2 + 1) j + (x2 + y2 + z2 )k .

25.Доведіть, що векторне поле

F = (4x3 z + y2 − 3)i + (2xy + z2 + 1) j + (x4 + 2 yz)k

є потенціальним, і знайдіть його потенціал.

Відповіді

Т.5 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

5.1. Обчисліть потік вектора F(x, y, z) через зовнішню поверхню піраміди, що обмежена координатними площинами x = 0 , y = 0 , z = 0 та похилоюплощиною α , користуючисьформулоюОстроградського—Гаусса.

235

236

5.2. Обчисліть циркуляцію векторного поля F вздовж лінії перетину площини α з координатними площинами, використовуючи безпосереднє обчислення та формулу Стокса (напрям руху вздовж кривої відбувається проти годинникової стрілки, якщо дивитися з початку координат).

237

Обчисліть циркуляцію векторного поля F вздовж замкненої лінії L двома способами (безпосередньо та за формулою Стокса).

5.3. Доведіть, що векторне поле F є потенціальним, і знайдіть його потенціал.

5.3.1.F = (3x2 + y2 )i + (2xy + z) j + ( y + 3z2 )k.

5.3.2.F = (2x + y + z)i + (x + 2 y + z) j + (x + y + 2z)k.

5.3.3.F = (4x3 + yz)i + (4 y3 + xz) j + (xy + 4z3 )k.

5.3.4.F = (3x2 + y2 z3 )i + (−3y2 + 2xyz3 ) j + 3z2 (xy2 − 1)k.

5.3.5.F = ( y2 z2 + 2xy)i + (2xyz2 + x2 ) j + 2xy2 z2 k.

5.3.6.F = (2xyz3 − 1)i + (x2 z3 + 2) j + (3x2 yz2 + 3)k.

5.3.7.F = (x + y + 2z)i + (x + y + 3z) j + (2x + 3y + z)k.

5.3.8.F = (2x + 2)i + (2 y − 3) j + (2z + 4)k.

5.3.9.F = (x + y − z)i + (x − y + z) j + (z + y − x)k.

238

Загальна характеристика розділу. Теорія функцій ком-

плексної змінної є однією з найважливіших областей математичного аналізу. Її використовують при розв’язуванні різних задач фізики, електротехніки тощо.

СТРУКТУРА МОДУЛЯ

Тема 1. Комплексні числа (огляд). Функція комплексної змінної. Ряди з комплексними членами. Основні елементарні функції.

Тема 2. Диференціювання та інтегрування функції комплексної змінної.

Тема 3. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Ізольовані особливі точки, їх класифікація. Лишки та їх застосування.

Базисні поняття. 1. Комплексне число. 2. Функція комплексної змінної. 3. Умови Коші―Рімана. 4. Формула Коші. 5. Ряд Тейлора. 6. Ряд Лорана. 7. Ізольована точка. 8. Лишки.

Основні задачі. 1. Дії з комплексними числами. 2. Відшукання дійсної й уявної частини функції комплексної змінної. 3. Диференціювання функції комплексної змінної. 4. Відновлення аналітичної функції за однією з частин. 5. Інтегрування функції комплексної змінної. 6. Розкладання функції у ряд. 7. Класифікація ізольованих точок. 8. Застосування лишків до відшукання інтегралів.

ЗНАННЯ ТА ВМІННЯ, ЯКИМИ ПОВИНЕН ВОЛОДІТИ СТУДЕНТ

1.Знання на рівні понять, означень, формулювань

1.1.Комплексні числа та дії над ними (повторення).

1.2.Поняття функції комплексної змінної, границя та неперервність.

1.3.Ряди з комплексними членами, дослідження на збіжність.

1.4.Основні елементарні функції та їхні властивості.

1.5.Диференціювання функцій комплексної змінної. Умови Коші―Рімана. Аналітичні функції.

240