функцію z = f (x, y) . Нагадаємо, що неперервну криву x = x(t), y = y(t) називають гладкою на деякому проміжку, якщо функції x(t) та y(t) мають на цьому проміжку неперервні похідні x′(t) та y′(t) , одночасно не рівні
нулю. Неперервну криву, яка складається із скінченного числа гладких кривих, називають кусково-гладкою. Розіб’ємо дугу AB на п довільних
частин точками А = A0, А1, |
А2, |
..., Ап = |
В, позначимо через lk |
довжину |
|
|
|
|
|
дуги Ak −1 Ak ( k = 1, 2,…, n ). |
На |
кожній |
дузі Ak −1 Ak виберемо |
довільну |
n
точку Мk(хk: уk) й утворимо суму Sn = ∑ f (xk , yk ) lk ,
k =1
інтегральною сумою для функції f (x, y) по дузі АВ. Нехай
найбільша з довжин елементарних дуг Ak −1 Ak .
Якщо при λ → 0 інтегральна сума Sn |
y |
має скінченну границю, яка не залежить ні |
від способу розбиття кривої AВ точками Ak |
|
на частини, ні від вибору точок Mk, то цю |
|
границю називають криволінійним інтег- |
|
ралом першого роду (або криволінійним |
|
інтегралом по довжині дуги кривої) від |
|
функції f (x, y) по кривій АВ і познача- |
О |
Ai–1 Мi
A1
М1 
А = A0
яку називають
λ = max lk —
1≤k ≤n
L An–1 Мn
Ai В=An
x
ють ∫ f (x, y)dl. |
|
Рис. 2.39 |
|
AB |
|
|
|
Отже, за означенням |
|
|
|
∫ |
|
n |
|
f (x, y)dl = lim |
∑ f (xk , yk ) lk . |
(2.22) |
AB |
λ→0 k =1 |
|
Якщо границя (2.22) існує, то функцію f (x, y) називають інтегровною
вздовж кривої АВ, криву АВ — контуром інтегрування, А — початковою, а В — кінцевою точками інтегрування.
Теорема 1 Якщо функція f (x, y) неперервна вздовж гладкої кривої АВ, то існує криволінійний інтеграл першого роду ∫ f (x, y)dl.
AB
Властивості криволінійного інтеграла першого роду аналогічні відповідним властивостям визначеного інтеграла (сформулюйте їх самостійно). Проте є одна властивість, яка суттєво відрізняється від відповідної властивості визначеного інтеграла.
Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напрямку проходження дуги АВ, тобто
161
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl,
AB BA
z f(x, y)
тоді як
b a
∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx.
a b
Межі інтегрування у криволінійному інтегралі першого роду завжди треба брати від меншої до більшої.
Геометричний зміст криволінійного інтеграла першого роду.
Криволінійний інтеграл першого роду ∫ f (x, y)dl , де f (x, y) ≥ 0 , чи-
AB
сельно дорівнює площі частини циліндричної поверхні, у якої напрямна АВ лежить у площині Оху, а твірні паралельні осі Оz, причому зверху
циліндрична поверхня обмежена поверхнею z = f (x, y) , а знизу ― площиною Оху (рис. 2.40).
3.2. Обчислення криволінійного інтеграла першого роду
Обчислення криволінійного інтеграла першого роду зводиться до обчислення визначеного інтеграла. Сформулюємо правила обчислення у випадках, коли крива інтегрування задана явно, параметрично й у полярних координатах.
І. Якщо криву АВ задано рівнянням |
y = y(x) , |
x [а; b] (а — абсциса |
точки А, b — абсциса точки В), де функції y(x) |
та y′(x) неперервні на |
відрізку [а; b], а функція |
f (x, y) неперервна у кожній точці АВ, тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y(x)) |
′ |
|
2 |
dx. |
|
(2.23) |
|
1+ ( y (x)) |
|
|
|
AB |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо криву АВ задано рівнянням x = x( y) , y [с; d] (c — ордината
точки А, d — ордината точки В), де функції |
x( y) та x′( y) |
неперервні на |
відрізку [с; d], а функція |
f (x, y) неперервна у кожній точці АВ, тоді |
|
d |
|
|
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x( y), y) |
1+ (x′( y))2 dy. |
(2.24) |
AB |
c |
|
|
162 |
|
|
|
II. Якщо криву АВ задано параметрично рівняннями x = x(t), |
y = y(t) , |
t [α, β] |
і функції x(t) , |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
, то |
y(t) , x (t) та |
y (t) неперервні на [α, β] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
′ |
2 |
|
′ |
|
2 |
dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.25) |
|
|
∫ f (x, y)dl = ∫ f (x(t), y(t)) (x (t)) |
|
+ ( y (t)) |
|
|
|
|
AB |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де значення параметра |
α відповідає точці A, а |
β |
— точці В і функція |
f (x, y) |
неперервна вздовж кривої АВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. Криволінійнийінтегралпершогородувідфункції f (x, y, z) 
уздовж просторової кривої АВ означують так само, як і криволінійний інтеграл першого роду від функції f (x, y) .
Нехай функція f (x, y, z) визначена і |
неперервна |
на просторовій |
кусково-гладкій кривій АВ, заданій рівняннями |
x = x(t), |
y = y(t), z = z(t), |
t [α, β] . Тоді існує криволінійний інтеграл |
∫ |
f (x, y, z)dl , який обчис- |
люють за формулою |
AB |
|
|
|
|
|
β
∫ f (x, y, z)dl = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) (x′(t))2 + ( y′(t))2 + (z′(t))2 dt.
AB α
IІI. Якщо плоску криву АВ задано рівнянням ρ = ρ(ϕ) ( α ≤ ϕ ≤ β ) в полярних координатах, то
∫ |
β |
f (x, y)dl = ∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ρ2 + (ρ′)2 dϕ. |
AB |
α |
3.3. Криволінійні інтеграли другого роду. Основні поняття
Нехай функції двох змінних P(x, y) і Q(x, y) визначені й неперервні в
точках дуги АВ гладкої кривої L. На відміну від інтегралів першого роду вважатимемо криву напрямною лінією, у якої точки А та В є відповідно початковою та кінцевою точками дуги АВ. Розіб’ємо дугу АВ точками А =A0, А1, А2, ..., Ап = В довільним чином на п частин, на кожній частинній
дузі Ai−1 Ai візьмемо довільну точку Mi (xi , yi ) ( i = 1, 2, …, n ), обчислимо
163
значення функцій P(Mi ) |
і Q(Mi ) |
в цих точках і складемо інтегральну |
суму |
|
|
|
n |
(P(xi , yi ) |
xi + Q(xi , yi ) yi ) , |
|
∑ |
(2.26) |
i=1 |
JJJJJG |
|
|
|
де xi та |
yi — проекції вектора Ai−1 Ai (і-го частинного відрізка Ai−1 Ai ) |
на осі Ох та Оу відповідно (див. рис. 2.41). |
y |
Нехай λ = max( |
|
xi |
|
, |
|
yi |
|
) — найбільша з |
|
|
|
|
1≤i≤n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L B |
довжин проекцій xi та yi . |
|
Якщо при λ → 0 існує скінченна границя |
інтегральної суми (2.26), яка не залежить ні від способу розбиття кривої АВ, ні від вибору
точок Mi на кожній частинній дузі, то цю границю називають криволінійним інтегра-
xлом другого роду від функцій P(x, y) і Q(x, y)
по координатах х і у вздовж напрямленої кривої АВ і позначають
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy або ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy .
|
|
AB |
|
L |
|
|
|
|
Отже, за означенням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
n |
i i |
i |
i i |
i ) |
|
|
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = lim |
∑( |
|
|
|
|
P(x , y ) |
x |
+ Q(x , y ) |
y . |
|
|
L |
|
λ→0 i=1 |
|
|
|
|
|
Зауваження. Криволінійний інтеграл |
|
|
|
|
|
|
|
∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
вздовж просторової кривої L означують аналогічно. |
|
|
|
|
ЯкщокриваАВгладка, афункції P(x, |
y) та Q(x, y) неперерв- |
Теорема 2 |
|
|
|
|
ні вздовж кривої АВ, то криволінійний інтеграл другого |
роду ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy існує. |
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
Функціям |
P(x, y) та Q(x, y) можна надати різного механічного змісту. |
Зокрема, якщо координати вектора змінної сили |
F = {P (x, |
y), Q(x, y)} , |
під дією якої матеріальна точка рухається вздовж кривої L, то криво-
164
лінійний інтеграл ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy виражає роботу, яка здійсню-
GAB
ється силою F при переміщенні по кривій L із точки А в точку В.
3.4. Обчислення та властивості криволінійного інтеграла другого роду
1. Нехай крива L задана рівняннями x = x(t) , y = y(t), α ≤ t ≤ β , тоді
dx = x′(t) dt , dy = y′(t) dt |
і криволінійний інтеграл зводиться до визначе- |
ного інтеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
(P(x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t)) y′(x)) dt. |
|
|
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ |
(2.27) |
|
AB |
α |
|
|
2. Нехай крива L задана рівнянням y = f (x) , a ≤ x ≤ b . У цьому разі dy = f ′(x) dx і криволінійний інтеграл обчислюють за формулою
b |
|
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ (P(x, f (x)) + Q(x, f (x)) f ′(x)) dx. |
(2.28) |
a |
|
Аналогічно, якщо крива АВ задана рівнянням x = g( y) , c ≤ y ≤ d, то криволінійний інтеграл обчислюють за формулою
|
d |
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ (P(g( y), y))g ′( y) + Q(g( y), y)) dy . |
AB |
c |
3. Нехай функції P(x, y, z) , Q(x, y, z) та R(x, y, z) визначені й неперервні на просторовій кривій АВ, яку задано рівняннями x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) , α ≤ t ≤ β , де функції x(t) , y(t) , z(t) разом із похідни-ми x′(t) , y′(t) , z′(t) неперервніна проміжку [α, β] . Тоді існуєкриволінійнийінтеграл
∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz,
AB
який визначають за формулою
∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
AB
β
= ∫ (P(x(t), y(t), z(t))x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y′(x) + R(x(t), y(t), z(t))z′(t)) dt.
α
165
4. Нехай контур інтегрування – відрізок, паралельний осі Oy (рис. 2.42, а), його рівняння x = x0 , y1 ≤ y ≤ y2 , тоді dx = 0 й інтеграл набуває вигляду
|
|
∫ P(x, y)dx + Q(x, |
y2 |
|
|
|
|
y)dy = ∫ Q(x0 , y)dy. |
(2.29) |
|
|
L |
y1 |
|
|
Аналогічно, якщо лінія інтегрування паралельна осі |
Ox (рис. 2.42, б), |
то y = y0 , dy = 0 , тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ P(x, y0 ) dx. |
|
|
|
|
L |
x1 |
|
|
а б
Рис. 2.42
Якщо контур інтегрування складається з кількох частин, що мають різні рівняння, то інтеграл дорівнює сумі інтегралів, обчислених за окремими частинами.
Із формул (2.27) — (2.28) випливає, що криволінійний інтеграл другого роду має властивості, аналогічні властивостям визначеного інтеграла. Зокрема, акцентуємо на тому, що при зміні напрямку інтегрування криволінійний інтеграл другого роду змінює свій знак:
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = − ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy ,
AB BA
тоді як криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напрямку
інтегрування. Справді, зі зміною напрямку інтегрування проекції вектора
JJJJJJG
Ai−1 Ai на осі Ох та Оу змінюють знаки (рис. 2.41).
Якщо крива інтегрування L замкнена (рис. 2.43), то дістаємо криволінійний інтеграл по замкненому контуру або контурний інтеграл, який часто позначають так:
∫ Pdx + Qdy.
L
166
D y1(x) K
Рис. 2.43
В y2(x)
При цьому замкнений контур L вважають додатно орієнтованим, якщо обхід контура відбувається проти годинникової стрілки, і від’ємно орієнтованим ― у протилежному разі.
3.5. Формула Гріна
Формула Гріна встановлює зв’язок між криволінійним інтегралом уздовж замкненого контуру L і подвійним інтегралом по області D, який обмежений цим контуром.
Теорема 3 Нехайфункції P(x, y) і Q(x, y)
неперервні разом зі своїми частинними похідними першого порядку в замкненій області D, тоді криволінійний інтеграл по замкненому контуру L, який обмежує область D (рис. 2.43), пов’язаний з подвійним інтегралом по області D формулою Гріна
yL
А
Оa
С
b x
∫ |
|
∂Q |
− |
∂P |
(2.30) |
Pdx + Qdy = ∫∫ |
∂x |
dxdy, |
L |
D |
|
∂y |
|
причому інтегрування по контуру L здійснюється в додатному напрямку (проти годинникової стрілки).
Доведення. Нехай правильна область D (рис. 2.43) обмежена додатно
орієнтовним контуром L . Покажемо, що − ∫ Pdx = ∫∫ |
∂Pdxdy. Маємо |
|
|
|
|
|
|
L |
D |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
b |
y |
(x) |
|
b |
|
y |
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
∂Pdxdy = ∫ dx |
|
2∫ |
∂P dy =∫ P(x, y) |
|
2 |
|
dx = |
D |
∂y |
a |
y1 (x) |
∂y |
a |
|
y1 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
= ∫ (P(x, y2 (x)) − P(x, y1 (x)))dx = ∫ P(x, y2 (x))dx − |
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∫ P(x, y1 (x))dx = ∫ P(x, y)dx − ∫ P(x, y)dx = |
a |
|
|
|
ABC |
|
AKC |
|
|
|
= − ∫ P(x, y)dx − ∫ P(x, y)dx = − ∫ |
P(x, y)dx = −∫ P(x, y)dx. |
CBA |
|
AKC |
|
|
|
AKCBA |
|
|
|
|
L |
167
Аналогічно можна довести, що ∫ Qdy = ∫∫ |
∂Qdxdy . Тоді з огляду на |
L |
D |
∂x |
лінійність криволінійного інтеграла другого роду випливає твердження теореми.
Зауваження. Формула Гріна має місце і для довільної області, яку можна розбити на скінченне число правильних областей.
3.6. Незалежність криволінійного інтеграла від контуру інтегрування
Якщо значення криволінійного інтеграла другого роду залишається незмінним по всіх можливих кривих, що сполучають початкову й кінцеву точки інтегрування, то кажуть, що криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху інтегрування.
Для формулювання теореми нагадаємо поняття однозв’язної області. Однозв’язною називають область, межа якої складається з однієї замкненої без точок самоперетину неперервної кусково-гладкої кривої. Так, на рис. 2.44 показано: а ― однозв’язну область; б ― двозв’язну область; в — тризв’яз-
ну область.
а |
б |
в |
|
|
Рис. 2.44 |
|
|
|
Криволінійний інтеграл ∫ P(x, |
y)dx + Q(x, y)dy, де контур L |
Теорема 4 |
L
повністю лежить всередині деякої однозв’язної області D, в якій функції P(x, y) і Q(x, y) неперервні разом із своїми частинними похідними
першого порядку, не залежить від форми кривої інтегрування тоді і тільки тоді, коли виконується рівність
∂∂Py = ∂∂Qx .
У цьому разі виконуються такі твердження:
а) підінтегральний вираз є повним диференціалом u(x, y) , тобто
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du(x, y) ;
168
б) ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = u(xB , yB ) − u(xA , yA ),
L
де A(xA , yA ) іB(xB , yB ) ― відповідно початкова і кінцева точки шляху
інтегрування;
в) криволінійний інтеграл по довільній замкненій кривій L, що належить області D , дорівнює нулю:
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
L
Можна довести, що твердження теореми 4 і твердження а) — в) рівносильні, тобто виконання однієї з них тягне виконання трьох інших.
Нехай, наприклад, виконується умова ∂∂Py = ∂∂Qx , тоді, скориставшись формулою Гріна (2.30), дістанемо
∫ |
|
∂Q |
− |
∂P |
Pdx + Qdy = ∫∫ |
∂x |
dxdy = 0, |
L |
D |
|
∂y |
отже, з теореми виплаває виконання умови в).
Припустимо, що виконується умова б), тобто підінтегральний вираз є повним диференціалом функції u(x, y) :
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du(x, y),
з іншого боку, за означенням диференціала
|
|
|
|
du = |
∂u dx + |
∂u dy. |
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
Отже, |
∂u |
= P(x, y), |
∂u |
= Q(x, y). |
Тоді за теоремою про мішані по- |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
хідні виконуються рівності |
∂2u |
|
= |
∂P |
, |
|
∂2u |
= |
∂Q |
∂x∂y |
∂y |
|
∂y∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
Якщо криволінійний інтеграл |
∫ P(x, y)dx + |
|
|
|
|
L |
|
інтегру- |
|
+Q(x, y)dy не залежить від кривої |
|
|
вання, то його значення визначається початковою та кінцевою точками інтегрування. У цьому разі обчислення можна проводити кількома способами, наприклад, відновити
функцію u(x, y) , використовуючи той самий підхід, що й при розв’язанні диференціальних
, звідки ∂∂Py = ∂∂Qx .
у |
М |
В |
|
у1 |
|
|
L |
|
|
|
|
у |
А |
К |
|
0 |
|
|
О |
х0 |
х1 |
х |
Рис. 2.45
169
рівнянь у повних диференціалах. Найпростіше провести інтегрування по ламаній лінії (рис. 2.45), ланки якої паралельні осям координат. Так,
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
L |
AKB |
= ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy + ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = |
AK |
KB |
x |
y |
= ∫1 |
P(x, y0 ) dx + ∫1 Q(x1 , y)dy. |
x0 |
y0 |
Теорема 5 Криволінійний інтеграл
∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz ,
L
де контур L повністю лежить всередині деякої однозв’язної просторової області, в якій функції P(x, y, z) , Q(x, y, z) та R(x, y, z) неперервні
разом зі своїми частинними похідними першого порядку, не залежить від форми шляху інтегрування тоді і тільки тоді, коли виконуються рівності
∂P |
= |
∂Q |
, |
∂Q |
= |
∂R |
, |
∂R |
= |
∂P . |
∂y |
|
∂x |
|
∂z |
|
∂y |
|
∂x |
|
∂z |
У цьому разі підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції u(x, y, z) , тобто
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = du(x, y, z)
і
∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
L
= u(xB , yB , zB ) − u(xA , yA , zA ),
де A(xA , yA , zA ) і B(xB , yB , zB ) — відповідно початкова і кінцева точки кривої інтегрування.
3.7.Застосування криволінійних інтегралів
1.Довжину L дуги АВ плоскої або просторової кривої обчислюють за формулою
L = ∫ dl.
AB
170
А
