0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

називають областю його збіжності. Область збіжності функціонального ряду не ширша від множиниD , на якій визначені члени ряду.

Суму

Sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + …+ un (x)

перших n членів ряду (2.1) називають п-ю частинною сумою цього ряду. У кожній точці x , яка належить області збіжності, існує скінченна гра-

ниця lim Sn (x) = S(x) , яку називають сумою ряду (1.9).

n→∞

Якщо функціональний ряд (1.9) збіжний до функції S(x), то різницю rn (x) = S(x) − Sn (x) називають п-м залишком ряду:

rn (x) = un+1 (x) + un+ 2 (x) + … .

У точках збіжності ряду залишок ряду при n → ∞ прямує до нуля:

lim rn (x) = 0 .

n→∞

Функціональний ряд (1.9) називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд

∞

| u1 (x) | + | u2 (x) | +...+ | un (x) | +... = ∑| un (x) |.

n=1

Для відшукання області абсолютної збіжності функціонального ряду використовують достатні ознаки збіжності числових рядів. Наприклад, за

розв’язують нерівність l(x) < 1. Додатково проводять дослідження ряду в точках, для яких l(x) = 1. Аналогічно досліджують функціональний ряд і за радикальною ознакою Коші.

2.2. Рівномірна збіжність функціонального ряду

Функціональний ряд (1.9) називають рівномірно збіжним на множині D, якщо для довільного числа ε > 0 існує таке число N = N (ε), яке

залежить від ε і не залежить від x, що для всіх n > N і для всіх x D виконується нерівність

rn (x) < ε.

З’ясуємо геометричну інтерпретацію рівномірної збіжності функціонального ряду. Нехай на проміжку (a; b) функціональний ряд (1.9) є рівно-

41

мірно збіжним, S(x) — його сума, Sn (x) — n-а частинна сума. Візьмемо довільне ε > 0 і побудуємо на (a; b) графіки функцій y = S(x) , y = S(x) + ε та y = S(x) − ε (рис. 1.2, а). Графіки двох останніх функцій утворюють смугу шириною 2ε . Якщо ряд (1.9) збігається рівномірно на (a; b) до функції S(x) , то існує такий номер N = N (ε), що графіки всіх частинних сум y = Sn (x) , n > N напроміжку (a; b) розміщенівсередині2ε-смуги.

Це означає, що суму S(x) на проміжку (a; b) можна наближено замі-

нити з будь-якою наперед заданою точністю однією й тією самою частинною сумою Sn (x) .

Для нерівномірно збіжних рядів такого номера не існує: графіки частинних сум виходять за межі 2ε-смуги (рис. 1.2, б). Це означає, що обчислення суми S(x) для всіх x (a; b) з однією точністю ε за допомогою час-

n=1

нерівності

| un (x) |≤ an ( n = 1, 2, …).

∞

При цьому ряд ∑ an називають мажорантним для ряду (1.9), а сам

n=1

ряд (1.9) називають правильно збіжним на множині D.

42

ε > 0 існує число N = N (ε) таке, що для всіх n > N , для будь-якого натурального p і для всіх x D виконується нерівність

Sn+ p (x) − Sn (x) < ε .

2.3.Властивості рівномірно збіжних рядів

1.Якщо функціональний ряд (1.9) рівномірно збіжний на деякому проміжку І і члени цього ряду — неперервні функції на І, то сума цього ряду є функція, неперервна на цьому проміжку.

2.Якщо функціональний ряд (1.9) збіжний на проміжку І, його члени на

3. На будь-якому відрізку, що належить проміжку І рівномірної збіжності функціонального ряду (1.9), члени якого — неперервні функції на І, цей ряд можна почленно інтегрувати, тобто на проміжку [α; β] I виконується

формула

Перелічені властивості рівномірно збіжних рядів дають змогу ефективно використовувати їх при наближених обчисленнях.

2.4. Степеневі ряди

Функціональний ряд вигляду

де a0 , a1 ,…, an , … — дійсні числа, називають степеневим рядом. Розглядають також степеневий ряд за степенями двочлена x − x0 , тобто

ряд вигляду

43

де x0 — деяке стале число. Заміною x − x0 = t ряд (1.11) зводиться до ряду

(1.10). Тому основні твердження для степеневих рядів будемо формулювати для рядів вигляду (1.10).

Область збіжності степеневого ряду (1.10) містить принаймні одну точку x = 0 ( ряд (1.11) завжди збігається у точці x = x0 ).

Теорема 3 (Абеля). Якщо степеневий ряд вигляду (1.10) збігається для x = x1 ≠ 0, то він абсолютно збіжний для всіх значень x, що

задовольняють нерівність | x | < | x1 | (рис. 1.3, а).

∞

Доведення. За умовою числовий ряд∑ an x1n збігається. Отже, за необ-

n=1

Отже, модуль кожного члена ряду (1.10) не перевищує відповідного члена збіжного ряду геометричної прогресії. Тому за ознакою порівняння

Наслідок. Якщо ряд (1.10) розбігається при x = x2 , то він розбігається і длявсіхзначень x , щозадовольняютьнерівність | x | > | x2 | (рис. 1.3, б).

44

Справді, якщо припустити збіжність ряду в точці x = x3 , яка задовольняє нерівність | x3 | > | x2 | , то за теоремою Абеля ряд збігався би при всіх х, для яких | x | < | x3 | , зокрема, й у точці x = x2 , що суперечить умові.

Теорема Абеля характеризує множини точок збіжності та розбіжності степеневого ряду. Можливі такі три випадки:

1)ряд збіжний лише в одній точці x = 0 ;

2)ряд збіжний для будь-якого x (−∞; ∞) ;

3)існує таке додатне число R, що при | x | < R ряд абсолютно збіжний, а при | x | > R — розбіжний (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду. Зв’язок між радіусом та інтервалом збіжності степеневих рядів (1.10), (1.11) наведено в табл. 1.1.

Радіус збіжності можна знайти з таких міркувань. Утворимо ряд із модулів членів степеневого ряду (1.10)

| a0 | + | a1 x | + | a2 x2 | +...+ | an xn | +...

і застосуємо до нього ознаку Д’Аламбера. Припустимо, що існує границя

45

Отже, радіус збіжності можна визначити за формулою

Аналогічно, скориставшись радикальною ознакою Коші, дістають ще одну формулу для обчислення радіуса збіжності

Зауваження.

1. У разі, коли lim an+1 = 0, радіус збіжності R = ∞ .

n→∞ an

2.Якщо степеневий ряд містить не всі степені x , тобто є неповним, то радіус збіжності безпосередньо за формулами (1.12) та (1.13) знаходити не можна. У цьому випадку інтервал збіжності визначають за ознакою Д’Аламбера (чи Коші) для ряду, складеного з модулів членів заданого ряду, або ж, виконавши відповідну заміну (якщо це можливо), зводять неповний степеневий ряд до повного, після чого знаходять радіус збіжності.

3.Якщо 0 < R < ∞ , то в цьому разі степеневий ряд у точках, які є кін-

цями інтервалу збіжності, може збігатися або розбігатися. Підставляючи по черзі у заданий ряд точки x = ± R (чи x = −R + x0 ; R + x0 ), досліджують

утворені числові ряди на збіжність. У результаті область збіжності степеневого ряду може відрізнятися від інтервалу збіжності не більше ніж двома точками. Іншими словами, область збіжності степеневого ряду (1.10) — це

інтервал збіжності(−R; R) (для ряду (1.11) — (R + x0 ; R + x0 ) ), доповнений, можливо, двома точками x = ± R (чи x = −R + x0 ; R + x0 ).

2.5.Властивості степеневих рядів

1.Степеневий ряд (1.10) абсолютно і рівномірно збігається на будьякомувідрізку [−a; a] , якийцілкомміститься вінтервалізбіжності (−R; R).

2.Сума S(x) степеневогоряду(1.10) неперервнафункціянапроміжку (−R; R).

3.(Про почленне диференціювання.) Степеневий ряд усередині інтервалу збіжності можна почленно диференціювати. Ряд, утворений диференціюванням, має той самий інтервал збіжності, причому, якщо

∞

S(x) = ∑ an xn ,

n=1

46

то

∞

S ′(x) = ∑ nan xn−1.

n=1

4.(Про почленне інтегрування.) На будь-якому відрізку, що належить інтервалу збіжності (−R; R), степеневий ряд можна почленно інтегрувати.

причому утворений після інтегрування ряд має той самий інтервал збіжності.

збіжності утворених рядів не менший, ніж менше з чисел R1 та R2 .

Ці властивості використовують для розвинення функцій у ряди і їх застосування для обчислення наближених значень функцій і інтегралів.

2.6. Ряд Тейлора

Нехай функція f (x) задана в околі точки x0 і має похідні всіх порядків. Постає питання, за яких умов і як цю функцію можна подати у вигляді степеневого ряду за степенями x − x0 , тобто справджується формула

f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ... + an (x − x0 )n + ... . (1.14)

Знайдемо коефіцієнти ряду. Для цього застосуємо такий алгоритм. Послідовно продиференціюємо ряд (1.14) за змінною х:

47

Після цього формула (1.14) набирає вигляду

Нагадаємо відому з першого семестру формулу Тейлора. Якщо функція f (x) має в точці x0 і деякому її околі похідні до (n + 1) -го порядку включ-

но, то для довільного x із цього околу має місце формула Тейлора

всіх порядків і залишковий член формули Тейлора прямував до нуля при n → ∞ для всіх x із цього інтервалу:

lim Rn (x) = 0 , x (x0 − R; x0 + R).

n→∞

Порівнюючи формулу (1.15) із формулою Тейлора, помітимо, що ряд Тейлора відрізняється від формули Тейлора відсутністю залишкового чле-

на Rn (x) і наявністю нескінченної кількості членів.

На практиці часто користуються наступною теоремою, яка дає досить прості достатні умови розкладання функції в ряд Тейлора.

Теорема 5 Якщо функція f (x) в інтервалі (x0 − R; x0 + R) має похідні всіх порядків та існує число M > 0 таке, що

48

f (n) (x) < M , x (x0 − R; x0 + R) , n = 1, 2, ...,

то функцію f (x) можна розкласти у збіжний до цієї функції ряд Тейлора. Частинний випадок ряду Тейлора, коли x0 = 0 , називають рядом Мак-

лорена — розклад функції у степеневий ряд за степенями x :

2)записати ряд (1.17) і знайти інтервал його збіжності;

3)визначити інтервал, в якому залишковий член формули Маклорена

Rn (x) → 0 при n → 0 .

Зазначена процедура часто призводить до громіздких викладок. Тому на практиці при розкладанні функцій у ряд Тейлора (Маклорена) часто використовують відомі розвинення основних елементарних функцій у комбінації з правилами додавання, віднімання, множення рядів і теоремами про інтегрування та диференціювання степеневих рядів.

Наведемо розклади деяких елементарних функцій у ряд Маклорена

(див. табл. 1.2):

2.8. Деякі застосування степеневих рядів

Степеневі ряди використовують для наближеного обчислення значень функцій, визначених інтегралів, розв’язання диференціальних рівнянь, що задовольняють початкові умови, тощо.

Так, для альтерновних рядів (рядів лейбніцевого типу) справджується оцінка (див. наслідок із теореми Лейбніца)

r(x0 ) = un+1 (x0 ) − un+2 (x0 ) + … < un+1 (x0 ) .

Оцінювання залишку знакододатного чи знакозмінного рядів значно складніше. В цьому випадку, використовуючи властивості модулів, записують оцінку

r(x0 ) = un+1 (x0 ) + un+2 (x0 ) + … ≤ un+1 (x0 ) + un+2 (x0 ) + … .

∞

Якщо можна підібрати такий знакододатний числовий ряд ∑ an (за-

n=1

звичай це ряд геометричної прогресії), що

un+1 (x0 ) ≤ a1 , un+2 (x0 ) ≤ a2 , …,

50