0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat
.pdfДослідіть на збіжність ряди, використовуючи ознаки порівняння.
∞n
7.n∑=1 n3 + 4.
Розв’язання. Загальний член ряду є відношенням многочленів першого і третього степенів, степінь знаменника на 2 більший від степеня чисельника.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
||
Отже, для порівняння вибираємо узагальнений гармонічний ряд ∑ |
1 |
. |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n2 |
||
|
|
n |
|
n |
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
||
Оскільки |
< |
= |
і ряд |
∑ |
1 |
збіжний, то за ознакою порівняння |
|||||||
|
|
n3 + 4 n3 |
|
n2 |
|
n=1 n2 |
|
|
|
||||
(теорема 2) заданий ряд збіжний. |
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=2 ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Покажемо, що ряд розбігається. Справді, з нерівності
ln n < n випливає нерівність |
1 |
> |
1 |
( n = 2, 3, …). Оскільки члени задано- |
|||||||||||||||||
ln n |
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
го ряду більші від відповідних членів розбіжного гармонічного ряду ∑ |
, |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
то ряд розбіжний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Розв’язання. Оскільки ряд ∑ |
|
|
|
розбіжний ( p = |
< 1 ) і |
|
|
||||||||||||||
4 n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k = lim |
4 2n + 4 |
|
= lim |
|
|
|
4 n |
= |
1 |
( 0 < k < ∞ ), |
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 2n + 4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
1 |
|
|
n→∞ |
|
4 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
4 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то заграничноюознакоюпорівняння(теорема3) вихіднийрядтакожрозбіжний.
Зауваження.
1. При оцінюванні загального члена un = ba , поданого у вигляді до-
датного дробу, причому a > 0, b > 0 , часто використовують такі мі-
ркування: дріб збільшиться, якщо збільшити його чисельник або зменшити знаменник, не змінюючи його знака, і зменшиться, якщо збільшити його знаменник або зменшити чисельник.
21
2. Ряд, |
загальний член якого un |
= |
Pm (n) |
, є відношенням многочленів |
||||||||||||||||||||
Qk (n) |
||||||||||||||||||||||||
степенів m і k |
відповідно, |
збіжний, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
якщо k − m > 1 . У цьому випадку ви- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
||
хідний ряд збігається або розбігається разом з рядом ∑ |
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
k −m |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
||
∞ |
cos |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 n( |
n + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язання. Загальний член даного ряду задовольняє нерівність |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
un = |
cos2 n |
≤ |
|
|
|
1 |
|
< |
1 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n( |
n + 5) |
|
n( |
|
|
n1,5 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 5) |
|
|
|
|
||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ряд ∑ |
|
|
збіжний ( p = 1, 5 > 1 ), тому заданий ряд також збіжний. |
|||||||||||||||||||||
1,5 |
|
|||||||||||||||||||||||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. ∑ arcsin |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 1
Розв’язання. Порівняємо ряд із розбіжним гармонічним рядом n∑=1 n .
Враховуючиеквівалентність arcsin x ~ х, коли x → 0 , обчислюємограницю
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
k = lim |
2n + 1 |
= lim |
2n + 1 |
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
n→∞ |
|
1 |
|
|
n→∞ |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
Отже, за граничною ознакою порівняння заданий ряд розбіжний.
Дослідітьназбіжністьряди, користуючисьознакамиД’АламбераабоКоші.
∞ |
(n + 1) |
3 |
n |
||
12. ∑ |
|
3 |
. |
||
( |
|
|
) |
||
n=1 |
|
|
|
||
|
|
2n + 1 ! |
Розв’язання. Наявність факторіала зазвичай указує на доцільність застосування ознаки Д’Аламбера. Маємо
un = |
|
(n + 1)3 3n |
, un+1 = |
(n + 2)3 3n+1 |
|
; |
|
|||||
|
(2n + 1)! |
|
(2(n + 1) + 1)! |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l = lim |
un+1 |
= lim |
(n + 2)3 3n+1 |
|
(2n + 1)! |
= |
||||||
|
|
|
|
(2n + 3)! |
(n + 1)3 |
3n |
||||||
n→∞ |
|
un n→∞ |
|
|
|
22
n + 2 |
3 |
(2n + 1)! |
= 3 lim 1 |
1 |
|
|
|||
= 3 lim |
|
|
|
|
|
= 0 |
< 1 . |
||
n + 1 |
(2n + 2)(2n + 3)(2n + 1)! |
(2n + 2)(2n + 3) |
|||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
Отже, ряд збіжний.
∞nn
13.n∑=1 en n! .
Розв’язання. Застосуємо спочатку ознаку Д’Аламбера:
|
|
|
|
|
|
|
|
un |
|
= |
nn |
, un+1 |
= |
|
|
(n + 1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
en n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
en+1 (n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
u |
n+1 |
|
|
|
|
(n + 1)n+1 |
|
|
|
en n! |
|
1 |
|
|
|
(n + 1)n+1 |
|
n! |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
l = lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
nn |
|
(n + 1)! |
||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
un |
|
n→∞ en+1 (n + 1)! |
|
|
|
e n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
(n + 1)n (n + 1) |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
1 |
lim |
n + 1 |
|
n |
1 |
|
lim 1 |
|
1 |
|
n |
|
|||||||||||||||
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
= 1. |
||||||||||||
|
|
|
n |
n |
|
|
n!(n + |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
e n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e n→∞ n |
|
|
|
|
e n→∞ |
|
|
|
|
|
|
Отже, питання про збіжність ряду залишається відкритим. Застосування ознаки Коші також нічого не дає. Результат дає використання формули Стірлінга
|
|
|
n!~ |
nn |
|
|
2πn , |
n → ∞, |
|
|
|
||||
|
|
|
en |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
nn |
1 |
, n |
→ ∞ . Виходить, що зада- |
||||||
звідки дістаємо еквівалентність |
|
|
|
~ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
en n! |
2πn |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
||
ний ряд поводить себе так само, |
як і ряд ∑ |
, який є розбіжним |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2πn |
|||
( p = |
< 1 ). Отже, заданий ряд також розбіжний. |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞1 n n + 1 n2
14.n∑=1 2 n .
Розв’язання. Цей ряд зручно досліджувати за радикальною ознакою Коші. Маємо
l = lim |
n |
1 n n + 1 n2 |
|
1 |
n + 1 n |
1 |
|
|
1 n |
e |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
lim 1 |
+ |
|
|
= |
|
> 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
n→∞ |
2 |
|
n |
n→∞ 2 |
n |
|
2 n→∞ |
|
n |
|
|
|
отже, ряд розбіжний.
23
∞ |
|
1 |
|
15. ∑ |
|
. |
|
|
|
||
n=1 |
2 |
n |
Розв’язання. За радикальною ознакою Коші дістанемо
|
1 |
|
1 |
|
n |
|
l = lim |
n |
|||||
n |
|
= lim |
|
|
||
2 n |
|
|||||
n→∞ |
|
n→∞ |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|||
|
1 |
|
|
1 |
||||
n |
||||||||
= lim |
|
|
= |
|
|
= 1 . |
||
2 |
2 |
|||||||
n→∞ |
|
|
|
|
Якщо скористатися ознакою Д’Аламбера, досягнемо такого самого результату.
Доведемо збіжність ряду, використовуючи ознаку порівняння. Для по-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рівняння візьмемо збіжний ряд ∑ |
. Знайдемо спочатку границю |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
x = t, |
|
|
|
|
t4 |
|
|
|
|
4t3 |
|
|
12t2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
= |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→∞ 2 x |
|
t → ∞ |
|
|
t→∞ 2t |
|
|
t→∞ 2t ln 2 |
|
t→∞ 2t (ln 2)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
|
24t |
|
|
|
|
|
= lim |
|
24 |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t→∞ 2t (ln 2)3 |
|
|
t→∞ 2t (ln 2)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Звідси випливає, що починаючи з деякого номера |
N0 |
виконується не- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|||
рівність 2 n |
> n2 , |
або |
|
< |
|
|
|
|
( n ≥ N0 ). Отже, |
∑ |
|
< ∑ |
і, |
||||||||||||||||
|
|
n |
n |
2 |
|
|
|
|
2 n |
n |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n= N0 |
|
n= N0 |
|
|
оскільки відкидання скінченної кількості членів ряду не впливає на його збіжність, доходимо висновку про збіжність початкового ряду.
∞1
16.n∑=1 (n + 2) ln(n + 2) .
Розв’язання. Функція |
f (x) = |
1 |
задовольняє умови інтег- |
(x + 2) ln(x + 2) |
ральної ознаки, тому задача зводиться до дослідження збіжності невласного інтеграла
∞ |
dx |
|
A |
d (ln(x + 2)) |
|
|
ln (x + 2) |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
= lim |
∫ |
= lim ln |
|
|
|
= |
||||
|
|
||||||||||
(x + 2) ln(x + 2) |
ln(x + 2) |
||||||||||
1 |
A→∞ |
1 |
A→∞ |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
= lim (ln ln ( A + 2) − ln ln 3) = ∞ .
A→∞
Невласний інтеграл розбіжний, отже заданий ряд також розбіжний.
Зауваження. Переконайтесь самостійно, що дослідження ряду за допомогою ознаки Д’Аламбера результату не дає (l = 1).
24
∞n
17.n∑=1 (2n2 + 1) ln2 (n + 1) .
Розв’язання. При n → ∞ справджуються еквівалентності
n |
~ |
1 |
, ln(n + 1) ~ ln n , |
|
(2n2 + 1) |
2n |
|||
|
|
тому згідно з граничною ознакою порівняння заданий ряд збігається або
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
розбігається разом із рядом |
∑ |
|
|
. Застосуємо до останнього ряду ін- |
||||||||||||||||||||||||
2n ln2 n |
||||||||||||||||||||||||||||
тегральну ознаку Коші: |
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
dx |
|
|
A d |
(ln x) |
|
|
|
|
−1 |
|
A |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
= lim |
∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
= |
lim |
− |
|
+ |
|
= |
|
. |
||
x ln |
2 |
x |
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
ln A |
ln 2 |
ln 2 |
|||||||||||||||
2 |
|
A→∞ |
2 ln |
|
|
|
A→∞ ln x |
|
2 |
A→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||
Невласний інтеграл збіжний, отже, вихідний ряд також збіжний. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зауваження. Ряд ∑ |
|
|
|
|
|
збіжний, якщо |
p > 1 , і розбіжний, якщо |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
p ≤ 1. |
|
|
|
n=2 n ln p n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Доведіть це самостійно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дослідіть на абсолютну й умовну збіжність знакозмінні ряди.
∞ |
(−1)n |
2n + 1 |
|
n |
|
|
|
|
18. ∑ |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
3n + 1 |
|
|
|
|
|
||
Розв’язання. Розглянемо ряд |
|
2n + 1 n |
||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n=1 |
|
3n + 1 |
|
складений з модулів членів заданого ряду, і застосуємо до цього ряду радикальну ознаку Коші. Дістанемо
lim |
|
2n + 1 n |
= lim |
2n + 1 |
= |
2 |
< 1. |
|||
n |
|
|
|
|
|
|
||||
3n + 1 |
|
|
3 |
|||||||
n→∞ |
|
|
n→∞ 3n + 1 |
|
|
Отже, ряд з модулів членів заданого ряду збіжний, тому за теоремою 8 заданий ряд збігається, причому абсолютно.
Зауваження.
1. Дослідження альтерновного ряду на абсолютну й умовну збіжність можна проводити у такому порядку: спочатку досліджують ряд,
25
складений із модулів членів заданого ряду. Якщо він розбіжний, то далі переходять до перевірки виконання умов теореми Лейбніца. Або ж спочатку застосовують теорему Лейбніца, після чого у разі збіжності альтерновного ряду досліджують ряд, складений із модулів членів вихідного ряду. На практиці рекомендуємо дотримуватися першого способу.
2. Якщо при дослідженні знакозмінного ряду дістають lim n | un| = ∞
n→∞
або |
lim |
un+1 |
|
|
= ∞ , то |
lim un |
≠ 0 і знакозмінний ряд є розбіжним. |
|||||||||||||
|
|
un |
||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|||||||
19. 1− |
2 |
+ |
3 |
|
− ... + |
( |
−1 |
n−1 |
|
n |
+ ... |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
7 13 |
|
|
|
|
) |
6n − 5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розв’язання. Оскільки |
lim |
n |
|
= |
1 |
≠ 0 , то заданий ряд розбігається. |
||||||||||||||
6n − |
5 |
6 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
||||||
∞ |
(−1)n |
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20. ∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Розглянемо ряд
∞ n + 2
∑ 3n ,
n=1
складений із модулів членів заданого ряду, і застосуємо до цього ряду ознаку Д’Аламбера. Дістанемо
lim |
un+1 |
= lim |
n + 3 |
|
|
3n |
= |
1 |
lim |
n + 3 |
= |
1 |
< 1 . |
un |
|
n + 2 |
|
|
3 |
||||||||
n→∞ |
n→∞ 3n+1 |
|
|
3 n→∞ n + 2 |
|
|
Отже, ряд із модулів членів збігається, тому збігається і початковий ряд, причому збіжність є абсолютною.
∞ |
(−1)n+1 |
1 |
|
|
21. ∑ |
. |
|||
|
||||
n=1 |
|
n |
Розв’язання. Ряд
∑∞ 1 ,
n=1 n
складений із модулів членів заданого ряду, розбіжний, оскільки він є уза-
гальненим гармонічним рядом з p = 12 < 1 .
26
Перевіримо тепер виконання умов теореми Лейбніца: 1) 1 > 1 > 1 > …> 1 > …;
|
2 |
3 |
n |
2) lim |
1 |
= 0. |
|
n→∞ |
n |
|
|
Отже, заданий ряд умовно збіжний.
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
22. ∑ n sin |
|
. |
|
|
|
|
||
n=1 |
2n |
|
|
|
|
|
||
Розв’язання. Оскільки sin x |
— непарна функція, то ряд можна запи- |
|||||||
|
∞ |
|
|
1 |
∞ |
1 |
|
|
сати у вигляді |
∑ ( |
−1)n+1 n sin |
. Дослідимо на збіжність ряд ∑ n sin |
, |
||||
2n |
2n |
|||||||
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
складений із модулів його членів. Застосовуючи ознаку Д’Аламбера і вра-
ховуючи еквівалентність sin x ~ x , |
x → 0 , дістанемо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
un+1 |
|
|
|
|
|
|
(n + 1) sin |
1 |
|
(n + 1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
l = lim |
|
|
= lim |
2n+1 |
= lim |
2n+1 |
= lim |
|
n + 1 |
= |
|
1 |
< 1. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
1 |
|
n→∞ |
|
1 |
|
n→∞ 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n sin |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отже, ряд із модулів членів збігається, тому початковий ряд є абсо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лютно збіжним. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
ln 1+ |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
23. ∑ sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
ln 1+ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Розв’язання. |
Ряд є знакозмінним. Оскільки |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
за умови |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n → ∞ , то ряд веде себе так само, як і знакозмінний ряд ∑ |
sin n |
. Оскільки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
для будь-якого |
|
натурального |
n виконується |
нерівність |
|
| sin n | |
≤ |
1 |
, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n3 |
||||||||
| sin n | |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∑ |
|
|
|
≤∑ |
|
|
|
|
. |
Враховуючи, |
що еталонний |
ряд |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
збіжний |
|||||||||||||||||||
n |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
sin n |
|
|
( p = 3 > 1 ), доходимо висновку про те, що вихідний ряд, як і ряд ∑ |
, |
||
3 |
|||
n=1 |
n |
абсолютно збіжний.
27
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
cos πn |
|
|
|
||||
24. Обчисліть наближено суму ряду ∑ |
|
|
|
|
з точністю ε = 0, 001. |
||||||||||||||
4 |
n |
n! |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
||||
Розв’язання. Оскільки cos πn = (−1)n , то маємо ряд |
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
(−1)n |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
(−1)n |
||
∑ |
|
= − |
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− …+ |
|
+ …, |
|
4n n! |
4 |
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
2! 43 |
3! 44 |
4! |
|
4n n! |
члени якого строго чергуються. Згідно з наслідком із теореми Лейбніца абсолютна похибка від заміни суми збіжного ряду (1.7) його частинною сумою не перевищує модуля першого з відкинутих членів ряду, тобто
rn = S − Sn ≤ un+1 .
Знайдемо найменше n , починаючи з якого виконується нерівність un+1 < ε,
тоді і |
|
rn |
|
|
< ε : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
1 |
> ε, |
|
1 |
|
= |
1 |
> ε, |
1 |
|
= |
1 |
< ε. |
||||||
|
|
|
|
|
|
42 2! |
32 |
43 3! |
64 6 |
44 |
|
256 24 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
||||||||||||||
Отже, |
|
r3 |
|
< u4 < ε , |
тому для досягнення вказаної точності достатньо |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
взяти суму перших трьох членів ряду: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S ≈ − |
1 |
|
+ |
1 |
− |
1 |
= −0, 25 + 0, 0312 − 0, 0026 ≈ −0, 221. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
384 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.1 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Доведіть за означенням збіжність рядів і знайдіть їхню суму.
∞ |
1 |
∞ |
2n + 3n |
∞ |
1 |
∞ |
|
|
1 |
|||
1. ∑ |
|
. 2. ∑ |
|
|
. 3. ∑ |
|
. 4. ∑ ln 1 |
− |
|
|
. |
|
(2n − 1)(2n + 1) |
6 |
n |
|
n |
2 |
|||||||
n=1 |
n=1 |
|
n=1 n!(n + 2) |
n=1 |
|
|
|
|
Доведіть розбіжність рядів, використовуючи достатню ознаку розбіжності ряду.
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
∞ |
|
|
|
n + 2 |
|
∞ |
|
n − 2 |
|
n |
|
||
5. |
∑ |
(n + 1) sin |
. |
6. |
∑ |
|
|
|
. |
7. ∑ |
. |
|
|||||||||
|
n 1 |
|
|
|
n2 + 1 |
|
n 1 |
n |
2 |
+ 2n + 5 |
|
n 1 |
n + 3 |
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
πn |
|
|||
8. |
∑ |
|
. |
9. |
∑ cos |
|
. |
|
10. ∑ sin |
|
. |
||||||||||
|
n=2 ln n |
|
n=1 |
|
|
n2 |
|
n=1 |
6n + 5 |
|
28
Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи ознаки порівняння.
|
∞ |
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n2 + n + 1 |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
12. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
3n |
2 |
−1 |
|
|
|
4n |
5 |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||
14. |
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
15. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
16. ∑ tg |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n + |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
3n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 ln(n + 4) |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
∑ ( n + 1 − |
n). |
|
18. |
∑ 1− cos |
. |
19. ∑ |
|
3 |
+ 4 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
4 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
n |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
e |
n |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
20. |
∑ |
|
. |
|
|
|
|
21. |
∑ |
|
|
. |
|
|
22. ∑ n ln 1+ |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
3 n5 + 1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||
Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи ознаку Д’Аламбера. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
4n |
|
|
|
|
∞ |
|
1 3 5 …(2n −1) |
|
|||||||||||||||
23. |
∑ |
|
n arctg |
|
|
. |
|
24. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
25. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
2n |
|
(n + 2)! |
|
|
|
2 5 8 …(3n − 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∞ |
(2n + 1)! |
|
|
|
|
∞ |
n! |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
4n + 1 |
|
|
|
|
|
∞ |
(n!) |
2 |
|
|
||||||||||||||
26. |
∑ |
. |
|
27. |
∑ |
. |
28. ∑ 2n sin |
. |
|
|
29. ∑ |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n 1 n3 7n+1 |
|
|
n 1 |
n2 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
n 1 |
(2n)! |
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи радикальну ознаку Коші.
|
∞ |
2n + 1 |
n |
|
|
|
|||
30. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
5n + 3 |
|
|
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
n |
|
||
33. |
∑ arccos |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
2n + 1 |
|||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n + 1 |
2n+3 |
|
||
31. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
3n + 2 |
|||||||
|
n 1 |
|
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n2 + 1 |
|
|
|
||
34. |
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
2n |
|
|
||||
|
n=1 |
|
|
|
|
32. ∞
∑
n=1
∞
35. ∑
n=1
1 |
n n + 2 n2 |
. |
||||||||
9 |
|
|
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|||||||||
|
n + 1 |
|
|
n |
|
|
||||
|
. |
|
|
|||||||
2n |
2 |
+ 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи інтегральну ознаку Коші.
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
∞ |
ln n |
||||
36. |
∑ |
|
|
|
|
. |
37. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
38. ∑ |
|
|
. |
|
|
2 |
+ 4 |
|
|
+ ln |
2 |
|
n |
2 |
||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
n=2 n(1 |
|
n) |
n=1 |
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
39. |
∑ |
|
|
|
|
|
. 40. |
∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(2n + 1) ln(2n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=2 |
|
|
n=2 n ln n ln ln n |
|
|
|
|
Дослідіть на абсолютну та умовну збіжність знакозмінні ряди.
∞ |
cos πn |
|
∞ |
|
n |
|
41. ∑ |
|
. |
42. ∑ (−1)n+1 |
|
|
. |
n + 1 |
n2 |
|
||||
n=1 |
|
n=1 |
+ n + 1 |
29
|
∞ |
|
|
2n + 9 |
|
|
∞ |
|
|
|
n |
+ n |
|
||
43. |
∑ |
(−1)n+1 |
. |
44. |
∑ |
(−1)n+1 |
3 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n=1 |
|
|
11n − 3 |
|
n=1 |
|
|
|
4n + 1 |
|||||
|
∞ |
|
(−1)n |
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n |
|||||
45. |
∑ |
|
|
. |
|
|
46. |
∑ |
2n tg |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|||||||||
|
n=2 n ln n |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
(−1)n |
|
|
|
|
∞ |
(−3)n |
|
|
|
|
|
|
48. |
∑ |
|
|
|
. |
|
49. |
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
n=2 n ln3 n |
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n |
47. ∑ |
|
n 1 |
|
= |
|
∞sin 2n
50.∑ n .
n=1 2
2n + 3 n .
3n + 2
Обчисліть наближено суму рядів з точністю ε , вказавши найменшу достатню кількість членів ряду.
∞ |
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2 |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
51. ∑ |
|
|
|
|
|
|
, ε = 0,001. |
|
52. ∑ |
− |
|
|
|
|
|
|
, ε = 0, 001. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
3 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповіді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. Sn = |
|
1 |
− |
|
1 |
|
, S = |
1 |
. 2. Sn = |
|
3 |
− |
1 |
|
|
− |
|
|
1 |
, |
S = |
3 |
. 3. Sn = 1 − |
1 |
|
, S = 1. |
|||||||||||
2 |
|
4n + 2 |
|
2 |
2n |
|
|
2 3n |
|
|
(n + |
2)! |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
Вказівка. un = |
1 |
|
|
= |
n + 1 |
|
= |
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
. 4. |
|
Sn = ln |
n + 1 |
, S = − ln 2. |
11. Розбі- |
|||||||||||||
n!(n + 2) |
(n + 2)! |
(n + 1)! |
(n |
+ 2)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
гається. 12. Збігається. 13. Розбігається. 14. Збігається. 15. Розбігається. 16. Розбігається. 17. Розбігається. 18. Збігається. 19. Збігається. 20. Збігається. 21. Збігається. 22. Розбігається. 23. Збігається. 24. Збігається. 25. Збігається. 26. Розбігається. 27. Збігається. 28. Збігається. 29. Збігається. 30. Збігається. 31. Збігається. 32. Збігається. 33. Розбігається. 34. Збігається. 35. Збігається. 36. Збігається. 37. Збігається. 38. Збігається. 39. Розбігається. 40. Розбігається. 41. Збіжний умовно. 42. Збіжний умовно. 43. Розбіжний. 44. Збіжний абсолютно. 45. Збіжний умовно. 46. Збіжний абсолютно. 47. Збіжний абсолютно. 48. Збіжний абсолютно. 49. Збіжний абсолютно. 50. Збіжний абсолютно. 51. S ≈ 0,944, n = 3 . 52. S ≈ 0,134, n = 3 .
Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
1.1. Доведіть за означенням збіжність рядів і знайдіть їхню суму.
∞ |
|
3n + 4n |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|||
1.1.1. ∑ |
|
|
. |
|
|
1.1.2. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
2) |
||||||||
n=1 12n |
|
|
|
n=1 n(n + |
|
|||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
∞ |
5n − 3n |
|
|||||||
1.1.3. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
1.1.4. ∑ |
|
|
|
. |
|
||
|
(2n + 1)(2n + 3) |
|
15n |
|
|
|||||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||
∞ |
1 |
|
|
|
∞ |
5n − 2n |
|
|||||||
1.1.5. ∑ |
|
|
|
. |
|
1.1.6. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
||
(n + 2)(n + 4) |
|
|
|
10n |
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
30