0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

Т.4 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

4.1. Поверхневі інтеграли першого роду. Основні поняття

Нехай на гладкій поверхні σ задано неперервну функцію u = f (х, у, z). (Поверхню називають гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина, яка змінює своє положення неперервно при переході від точки до точки.) Розіб’ємо поверхню σ сіткою довільно проведених кривих на n елементарних частин σk ( k = 1, 2, …, n ), виберемо на кожній частині σk

Значення цього інтеграла не залежить від вибору сторони поверхні σ, по якій виконується інтегрування.

Теорема 1 Якщо на гладкій поверхні σ визначено неперервну функцію f (x, y, z) , то поверхневий інтеграл першого роду існує.

191

4.2. Обчислення поверхневого інтеграла першого роду

Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Якщо, наприклад, гладка поверхня задана рівнянням x = x( y, z) , проектується в область Dyz площини Oyz, тоді поверхневий інтеграл першого роду обчислюють за формулою

4.3. Поверхневі інтеграли другого роду. Основні поняття

Розглянемо поняття двосторонньої поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні σ довільну точку М і проведемо в цій точці нормаль n . Переміщатимемо точку М вздовж довільного замкненого контура L разом із

192

Поверхню σ можна проектувати також на координатні площини Oxz та

де P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) — неперервні функції, визначені в точках двосторонньої поверхні σ .

Зауваження.

1. Якщо поверхня σ замкнена, то поверхневий інтеграл другого роду по зовнішній стороні позначають символом ∫∫ .

σ

194

2.При переході до іншої сторони поверхневий інтеграл другого роду змінює знак.

3.Якщо, наприклад, σ — циліндрична поверхня, твірні якої паралельні

осі Oz, то ∫∫ R(x, y, z)dxdy = 0 (у цьому разі поверхня σ проектується на

σ

площину Оху у лінію, яка не має площі).

4. Між інтегралами першого і другого роду існує зв’язок у вигляді формули

де cosα, cosβ, cos γ — напрямнікосинусинормалідообраноїсторониповерхні. 5. Якщо поверхню σ розбити на частини σ1 та σ2 , то поверхневий інтегралпоповерхніσ дорівнюєсумідвох інтегралів поїїчастинах σ1 та σ2 .

4.4. Обчислення поверхневого інтеграла другого роду

Обчислення поверхневого інтеграла другого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Нехай функція R(x, y, z) неперервна в усіх точках поверхні σ , заданої рівнянням z = f (x, y) , де z(x, y) — неперервна функція в замкненій області Dxy — проекції поверхні σ на площину Оху. У разі, коли обрано верхню сторону поверхні σ , тобто нормаль n до обраної сторони утворює з віссю Оz гострий кут, поверхневий інтеграл ∫∫ R(x, y, z)dxdy зводиться до

Якщо ж інтегрування проводиться по нижній стороні поверхні σ (нормаль n до обраної сторони утворює з віссю Оz тупий кут), то подвійний інтеграл беруть зі знаком «–», тобто

195

Аналогічно дістаємо ще дві формули:

1) якщо функція Q(x, y, z) неперервна в усіх точках поверхні σ , за-

причому, якщо β — гострий кут між нормаллю n та віссю Оу, то беремо знак «+», якщо β — тупий кут, то беремо знак «–»;

де перед подвійним інтегралом беремо знак cos α ( α — кут між нормаллю n та віссю Ох).

У загальному випадку, щоб обчислити поверхневий інтеграл

∫∫ P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy ,

σ

площини Оуz, Охz та Оху відповідно, після чого результати скласти.

4.5. Формула Остроградського—Гаусса

Формула Остроградського—Гаусса встановлює зв’язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні і потрійним інтегралом по просторовій області, яка обмежена цією поверхнею.

Теорема 2 Якщо функції P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) — неперервні

функції разом із своїми частинними похідними першого порядку в просторовій області G, то справджується формула Остроград- ського—Гаусса

196

де σ — межа області G й інтегрування по σ проводиться по її зовнішній стороні.

Доведення. Нехай область G обмежена замкненою поверхнею σ , при-

Подвійні інтеграли у правій частині рівності замінимо поверхневими інтегралами другого роду по зовнішній стороні поверхонь σ2 та σ1

відповідно, враховуючи при цьому кути між нормаллю n та віссю Оz. Дістанемо

Аналогічно доводять формули

Додавши почленно рівності (2.40) ― (2.42), дістанемо формулу Остро- градського—Гаусса.

Зауваження.

1. Формулу Остроградського—Гаусса зручно використовувати для обчислення поверхневих інтегралів по замкнених поверхнях.

2. Формула Остроградського—Гаусса справджується і для випадку, коли область G можна розбити на скінченну кількість областей розглянутого вигляду.

4.6. Формула Стокса

Формула Стокса встановлює зв’язок між поверхневим і криволінійним інтегралами.

Теорема 3 Якщофункції P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) неперервніразом

із своїми частинними похідними першого порядку в точках орієнтовної поверхні σ, то справджується формула Стокса

де L — межа поверхні σ й інтегрування вздовж кривої L проводиться у додатному напрямку стосовно обраної сторони поверхні σ , тобто зі сторони нормалі, що відповідає обраній стороні, обхід контуру L відбувається проти годинникової стрілки (рис. 2.64).

Зауваження.

1. Формула Стокса дає змогу обчислювати криволінійні інтеграли другого роду по замкнених контурах за допомогою поверхневих інтегралів.

2. Із формули Стокса випливає, що якщо виконуються рівності

198

то криволінійний інтеграл по довільному замкненому контуру L дорівнює нулю:

∫ Pdx + Qdy + Rdz = 0 .

L

У цьому разі криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху інтегрування.

4.7.Деякі застосування поверхневих інтегралів

1.Площу Sσ поверхні σ обчислюють за формулою

Sσ = ∫∫ dσ .

σ

Порівняйте цю формулу з формулою (2.13).

2.Масу m поверхні σ , у кожній точці якої задано поверхневу густину γ(x, y, z) , обчислюють за формулою

Т.4 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Обчисліть поверхневий інтеграл першого роду I = ∫∫(x − 2z)dσ по

σ

частині площини х + у + z = 1, розміщеній у першому октанті (рис. 2.65). Розв’язання. Поверхню σ задано рівнянням z = 1− x − y, де функція z і її

2. Обчисліть поверхневий інтеграл першого роду I = ∫∫ z(x + 2y)dσ , де

σ

σ ― частина поверхні z = 1− x2 , яка обмежена площинами y = 0 та y = 3 (рис. 2.66).

Розв’язання.Проекція заданої поверхні на площину Оху ― прямокут-

Тепер обчислюємо поверхневий інтеграл

200