Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

3.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

1.3.19.	x2	+ y2	+ 4x ≤ 0,	3y ≤ − x, y ≥ 0.
1.3.20.	x2	+ y2	+ 10 y ≤ 0,	y ≥ x.
1.3.21.	3y ≥ − x, y ≤ 0,			y2 ≤ x(8 − x).

1.3.22.3y ≤ − x, x2 + y2 ≤ 8y.

1.3.23.	x2 + y2 + 12 y ≤ 0,				y ≥ 3x,		3y ≤ x.
1.3.24.	x2	+ y2 + 2 y ≤ 0,		y ≤ − x,		y ≤	3x.
1.3.25.	y ≥ 3x, x2 + y2			≤ 6x.
1.3.26.	y ≤ − x,		3y ≥ − x,		x2 + y2 ≤ 8y.
1.3.27.	x2	+ y2	+ 4x ≥ 0,	y ≤ 0,		3y ≥ x.
1.3.28.	y ≥ − x,		y ≤ − 3x,		x2 + y2 ≤ 8y.
1.3.29.	x2	+ y2	+ 4x ≤ 0,		3y ≤ x,	y ≥ x.
1.3.30.	x2	+ y2 + 16 y ≤ 0,			3y ≤ − x,		y ≤ 3x.

1.4. Використовуючи геометричний зміст подвійного інтеграла, обчисліть об’єм тіла, обмеженого поверхнями.


1.4.1. x =	y,	y = 4,		x = 0,		z = 0,		x + z = 6.
1.4.2. z = 4 − x2 ,			x + y − 2 = 0,				x = 0, y = 0,			z = 0.
1.4.3. y = x2 ,		y = 0,		x = 2,		z = 4 − x2 ,			z = 0.
1.4.4. x + y = 2,			x = 0, z = x2 + y2 ,					x =	y,	z = 0.
1.4.5. z = 1+ x2 ,			x + y − 2 = 0,				x = 0,	y = 0, z = 0.
1.4.6. y = x2 ,		y = 0,		x + y = 2,			z = 0, z + y = 3.
1.4.7. z = x2 ,		x + y − 2 = 0, y = 0, z = 0.
1.4.8. y = x, y = 2x,				y = 2,		z = 6 − y2 ,			z = 0.
1.4.9. y =	x,	x = 4,		x + 2 y = 0, z − x = 2,						z = 0.
1.4.10. z = 1+ x2 , x = 2,					x + y − 4 = 0, y = 0,					z = 0.
1.4.11. x = y,		2 y + x = 0,			x = 2, z = x2 + y2 ,					z = 0.
1.4.12. y = 2x,			y + 2x = 4,			y = 0,		z = x2 ,		z = 0.
1.4.13. y = x2 ,		y = 1,		z = y2 ,			z = 0.
1.4.14. y = 2x,		x = 2,		y = 1,		z = y2 ,		z = 0.
1.4.15. x − 2 y = 0, z = 4 − x2 ,							y = 0,	z = 0.

141


1.4.16.	z = y2 ,		x + y = 6,			y = x, z = 0.
1.4.17.	z = 4 − x2 ,			x + y − 4 = 0,			y = x,	x = 0,		z = 0.
1.4.18.	z = 4 + y2 ,			x + y − 4 = 0,			x = 0,	y = 0,		z = 0.
1.4.19.	z = 4 − y2 ,			x + y − 4 = 0,			y = x, y = 0,			z = 0.
1.4.20.	z = y2 ,		x + y − 6 = 0, y = x, z = 0.
1.4.21.	y =	x,	y + x = 0,			x = 1,	z = x2 + y2 ,			z = 0.
1.4.22.	y =	x,	x = 0,		y = 2,		z = x2 + 1,		z = 0.
1.4.23.	y = x2 ,		y = 4, x = 1, z = 2 + x,					z = 0.
1.4.24.	y = x + 1, x = 1,				y = 0,		z = 1+ y2 ,		z = 0.
1.4.25.	y = x, y = x + 1,				x = 0,		x = 2,	z = x2 + y2 , z = 0.
1.4.26.	z = 2 + x2 ,			x + y − 1 = 0,			x = 0,	x − y = 1, z = 0.
1.4.27.	y = x2 ,		y + x = 0, x = 1,				z = 0,	z + x = 3.
1.4.28.	y = 4 − x2 ,			y = 0,		z = y, z = 0.
1.4.29.	x = 1− y2 ,			z =	x,	z = 0.
1.4.30.	x = 2,	z =		y,	y = x, z = 0.

Тема 2. ПОТРІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

Основні поняття та означення. Умови існування та властивості. Обчислення. Циліндрична і сферична системи координат. Заміна змінних. Застосування.

Література: [3, розділ 2, п. 2.3], [9, розділ 10, §2], [15, розділ 12, п. 12.2], [16, розділ 14, §11—14], [17, розділ 2, §8].

Т.2 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

2.1. Означення потрійного інтеграла

Поняття потрійного інтеграла вводиться аналогічно поняттям визначеного і подвійного інтегралів як границя певної інтегральної суми і є узагальненням цих понять на випадок функції трьох змінних.

Нехай функція трьох змінних u = f (x, y, z) визначена в обмеженій замкненій тривимірній області G . Розіб’ємо цю область сіткою поверхонь

142

на п довільних частинних областей			Gi	з об’ємами	Vi	(i = 1, 2,..., n) .
Виберемо в кожній частинній області			Gi довільну точку			Mi (xi , yi , zi ) ,
обчислимо значення функції f (xi ,		yi , zi )		й утворимо інтегральну суму
	n
	∑ f (xi , yi ,			zi ) Vi		(2.16)
	i=1
для функції	f (x, y, z) по області	G .	Позначимо через		λ	найбільший з
діаметрів частинних областей Gi .

Якщо інтегральна сума (2.16) при				λ → 0 має скінченну границю,
яка не залежить ні від способу розбиття області G на частини, ні від
вибору точок Mi , то цю границю називають потрійним інтегралом
функції f (x, y, z) по області G і позначають
	∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz	або		∫∫∫ f (x, y, z)dV.
	G			G

При цьому функцію f (x, y, z) називають інтегровною в області G.
Таким чином, за означенням
				n
	∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = lim ∑ f (xi , yi , zi ) Vi .
	G	λ→0 i=1
Тут dV = dxdydz ― елемент об’єму.
	Якщо функція u = f (x, y, z) неперервна в обмеженій замк-
Теорема	Якщо функція u = f (x, y, z) неперервна в обмеженій замк-
Теорема	неній області G , то вона інтегровна в цій області.

2.2. Властивості потрійного інтеграла

Властивості потрійного інтеграла аналогічні властивостям визначеного та подвійного інтегралів. Сформулюємо їх.

Нехайпідінтегральніфункціїнаступнихінтегралів інтегровнівобласті G . 1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла

∫∫∫ Cf (x, y, z)dV = C∫∫∫ f (x, y, z)dV , С ― стала.

G G

2. Потрійний інтеграл від суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) потрійних інтегралів від цих функцій.

∫∫∫ ( f (x, y, z) ± g(x, y,	z)) dV =∫∫∫ f (x, y,	z)dV ± ∫∫∫ g(x, y, z)dV.
G	G	G

143

3.Якщо в областіG f (x, y, z) ≥ 0 , то

∫∫∫f (x, y, z)dV ≥ 0.

	G
4. Якщо f (x, y,	z) ≤ g(x, y, z)	для всіх точок області G , тоді
	∫∫∫ f (x, y, z)dV ≤∫∫∫ g(x, y, z)dV.
	G	G
5. Якщо область G розбити на дві частини ―G1 та G2 , які не мають
спільних внутрішніх точок, то
∫∫∫ f (x, y, z)dV =∫∫∫ f (x, y, z)dV + ∫∫∫ f (x, y, z)dV.
G	G1	G2

6. (про оцінку потрійного інтеграла). Якщо функція f (x, y, z) непе-

рервна в області G , V ― об’єм області G , m i M ― відповідно найменше і найбільше значення функції f (x, y, z) в області G , то

mV ≤ ∫∫∫ f (x, y, z)dV ≤ MV.

7. (про середнє значення функції). Якщо функція f (x, y, z) неперервна в замкненій обмеженій області G , яка має об’єм V , то в цій області існує точка (x0 , y0 , z0 ) така, що

∫∫∫ f (x, y, z)dV = f (x0 , y0 , z0 )V.

Величину

f (x0 , y0 , z0 ) = V1 ∫∫∫G f (x, y, z)dV

називають середнім значенням функції f (x, y, z) в області G .

2.3.Обчислення потрійного інтеграла

вдекартових координатах

Обчислення потрійного інтеграла зводять до послідовного обчислення

трьох визначених інтегралів.		G є
Нехай областю інтегрування			тіло, обмежене знизу поверхнею
z = z1 (x, y),	зверху ― поверхнею	z = z2 (x,		y) , з боків ― циліндричною
поверхнею,	твірні якої паралельні осі		Oz	(циліндрична поверхня може

вироджуватися в замкнену лінію). Проекцію області G на площину Оху позначимо через D. Вважатимемо область D правильною. Описана область G є правильною в напрямку осі Oz , тобто будь-яка пряма, яка паралельна

144

осі Oz , перетинає область	G не більше двох разів. Нехай пряма, яка
проходить через внутрішню точку проекції D, перетинає область G знизу в
точці M1 і зверху в точці M2 (рис. 2.26). Тоді для будь-якої неперервної в
області G функції f (x, y, z)	справджується формула
∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫∫ dxdy		z2	(x, y)
			∫ f ( x, y, z)dz.
G	D	z1	(x, y)

	z	z = z2	(x, y)
		z = z2	(x, y)
		M2
		G
		M1
	аО	z = z1 (yx, y)
	аО	D	y
	x	D
	x		y = y2(x)
b	y = y1(x)	M(x, y)	y = y2(x)

y	y = y2 (x)
	D
y	M(x, y)
y

y = y1 (x)

О a

x b x

Рис. 2.26

Рис. 2.27

Цю формулу слід розуміти так. Щоб обчислити потрійний інтеграл по області G, яка правильна у напрямку осі Oz, спочатку обчислюють внутрішній інтеграл за змінною z, вважаючи змінні х та у сталими:

∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫∫ dxdy			z2	(x, y)
∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫∫ dxdy				∫ f ( x, y, z) dz =
G		D	z1	(x, y)
	z2	(x, y)
	z2	(x, y)

= ∫∫ F ( x, y, z)		dxdy = ∫∫ F1 (x, y)dxdy.
D	z1 (x, y)			D
D	z1 (x, y)

У результаті приходять до подвійного інтеграла. Обчислення подвійного інтеграла проводять за уже відомими з попередньої теми правилами.

Нехай область D обмежена неперервними кривими y = y1 (x) , y = y2 (x) та

прямими x = a та x = b , де a < b ,	y1 (x) ≤ y2 (x)		длявсіх x [a; b] (рис. 2.27).
У цьому разі координати всіх точок		M (x, y,	z) області G змінюються в
таких межах:
z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x,	y) ,	y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) , a ≤ x ≤ b . (2.17)
			145

Звівши подвійний інтеграл до повторного, дістанемо остаточну формулу для обчислення потрійного інтеграла по області G , яка визначається нерівностями (2.17):

	b	y2 ( x)	z2	( x, y)
∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫ dx		∫ dy		∫ f (x, y, z) dz.	(2.18)
G	a	y1 ( x)	z1 (x, y)

Зауваження.

1. Порядок інтегрування може бути іншим, ніж у формулі (2.18). Так, якщо область G правильна у напрямку осі Оу і задається нерівностями

y1 (x, z) ≤ y ≤ y2 (x, z) , x1 (z) ≤ x ≤ x2 (z) , c ≤ z ≤ d,

тоді

		d	x2 ( z)	y2 ( x, z)
	∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫ dz		∫ dx	∫ f (x, y, z)dy.
z	G	c	x1 ( z)	y1 (x, z)
z		2.	Якщо область інтегрування не є пра-
q		2.	Якщо область інтегрування не є пра-
		вильною в жодному напрямку, потрібно цю

pобласть розбити на частини, кожна з яких є правильною у певному напрямку.

О	с	d	3. У найпростішому випадку, коли областю
О	с	d	інтегруванняєпаралелепіпед(рис. 2.28):
a	D	у	інтегруванняєпаралелепіпед(рис. 2.28):
b	D		a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q,
b			a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q,
x			інтегрування можна проводити у будь-якому
	Рис. 2.28		інтегрування можна проводити у будь-якому
	Рис. 2.28		порядку, зокрема, справджується формула
			b	d	q
		∫∫∫ f (x, y, z)dV = ∫ dx∫ dy∫ f (x, y, z)dz.				(2.19)
		G	a	c	p

2.4. Обчислення потрійного інтеграла в циліндричній та сферичній системах координат

Для обчислення потрійного інтеграла, як і подвійного, часто використовують метод заміни змінної. Нехай нові змінні u, v і w пов’язані з

прямокутними	координатами х, у і z	співвідношеннями	x = x(u, v,	w) ,
y = y(u, v, w) ,	z = z(u, v, w) , де функції	x(u, v, w) , y(u, v, w)	та z(u, v,	w) ,

які неперервні разом зі своїми частинними похідними першого порядку,

146

встановлюють взаємно однозначну відповідність між точками просторової області G і точками області G′ і в області G′ визначник (якобіан) не обертається в нуль:

	∂x	∂x	∂x
	∂x	∂x	∂x
	∂u	∂v	∂w
J =	∂y	∂y	∂y	≠ 0.
J =	∂u	∂v	∂w	≠ 0.
	∂u	∂v	∂w
	∂z	∂z	∂z
	∂u	∂v	∂w
Заміну змінних у потрійному інтегралі здійснюють за формулою

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J dudvdw. (2.20)
G	G′

На практиці для обчислення потрійного інтеграла часто використовують циліндричні або сферичні координати.

У циліндричній системі координат положення точки M у просторі визначається трьома величинами ― ρ, ϕ, z , де ρ і ϕ ― полярні коорди-

нати точки M ′ ― проекції точки M на площину Оху, а z ― апліката точки M, (рис. 2.29). Зв’язок між прямокутними і циліндричними координатами точки M виражається формулами

x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z,

де ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −∞ < z < ∞ .

Якобіан перетворення

	∂x	∂x	∂x

	∂ρ	∂ϕ	∂z		cos ϕ	−ρ sin ϕ	0

	∂y	∂y	∂y
J =				=	sin ϕ	ρ cos ϕ	0	= ρ.
	∂ρ	∂ϕ	∂z
					0	0	1
	∂z	∂z	∂z

	∂ρ	∂ϕ	∂z

Отже,

J = ρ.

Тоді формула заміни змінних (2.20) (переходу до циліндричних координат) набирає вигляду

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z)ρdρdϕdz.

G G′

147

Зауваження. До циліндричних координат найчастіше переходятьтоді, коли область інтегрування G утворена циліндричною поверхнею, проекцією якої на відповідну площину є область D у формі круга, кільця, сектора тощо. Підінтегральну функцію часто задають у вигляді f (x, y, z) = g(x2 + y2 , z) .

z	z

M(ρ, φ, z)

r M(r, φ, θ)

Оφ ρ

Oφ

x	M′	x	M′

Pис. 2.29

Pис. 2.30

У сферичній системі координат положення точки M у просторі визначається трьома величинами ― r, ϕ, θ , де r ― відстань від точки M до

початку координат, ϕ ― кут між віссю Ох та променем OM ′ ― проекцією

променя ОМ на площину Оху , θ ― кут між віссю Oz та променем ОМ (рис. 2.30). Залежність між прямокутними і сферичними координатами точки M пов’язана формулами

x = r sin θ cos ϕ,

y = r sin θ sin ϕ,

z = r cos θ,

де r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π.

Якобіан перетворення

∂x

∂r

∂ϕ

∂θ

cos ϕ sin θ − r sin ϕ sin θ

r cos ϕ cos θ

∂y

J =

sin ϕ sin θ

r cos ϕ sin θ

r sin ϕ cos θ

= −r2 sin θ ,

∂r

∂ϕ

∂θ

cos θ

−r sin θ

∂z

∂r

∂ϕ

∂θ

Отже,

J = r2 sin θ .

148

Тоді формула заміни змінних (2.20) (переходу до сферичних координат) набирає вигляду

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz =
G		(2.21)
= ∫∫∫	f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r2 sin θdθdrdϕ.
G′

Тут dV = r2 sinθ dr dθ dφ ― елемент об’єму в сферичних координатах.

Зауваження. Рівняння сфери x2 + y2 + z2 = R2 у сферичних коорди-

натах спрощується до вигляду r = R . Тому до сферичних координат найчастіше переходять тоді, коли область інтегрування G є куля, її частина ― кульовий сектор тощо. Підінтегральна функція часто має вигляд f (x, y, z) = g(x2 + y2 + z2 ). Наприклад, якщо область G ― куля, обмежена

сферою x2 + y2 + z2 = R2,	то виконується формула
	2π	π	R
∫∫∫ f (x2 + y2 + z2 )dxdydz = ∫ dϕ∫ sin θdθ∫ f (r2 )r2 dr.
G	0	0	0

2.5.Деякі застосування потрійного інтеграла

1.Об’єм області G обчислюють за формулою

V = ∫∫∫ dxdydz.

У циліндричних координатах ця формула має вигляд

V = ∫∫∫ρdρdϕdz,

а у сферичних координатах ―

V = ∫∫∫ r2 sin θdrdθdϕ .

2. Масу m тіла, обмеженого поверхнею G і заданою об’ємною густиною γ(x, y, z), обчислюють за формулою

m = ∫∫∫ γ(x, y, z) dxdydz.

149

3. Координати xc , yc , zc центра маси тіла визначаються за формулами

	∫∫∫ xγ dxdydz			∫∫∫ yγ dxdydz				∫∫∫ zγ dxdydz
x =	G	,	y =	G	, z	c	=	G	.
x =		,	y =		, z		=		.
c	m		c	m				m
	m			m				m

4. Моменти інерції тіла відносно координатних осей обчислюють за формулами

Ix = ∫∫∫ ( y2 + z2 )γ(x,	y, z) dxdydz , I y	= ∫∫∫ (x2 + z2 )γ(x, y, z) dxdydz ,
G	= ∫∫∫ (x2 + y2 )γ(x,	G
Iz	= ∫∫∫ (x2 + y2 )γ(x,	y, z) dxdydz .

Моменти інерції тіла відносно координатних площин визначають за формулами

Ixy = ∫∫∫ z2 γ(x, y, z) dxdydz ,	Ixz = ∫∫∫ y2 γ(x, y, z) dxdydz ,
G	G

I yz = ∫∫∫ x2 (x, y, z) dxdydz ,

а відносно початку координат ― за формулою

I0 = ∫∫∫ (x2 + y2 + z2 )γ(x, y, z) dxdydz .

Т.2 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1.Обчисліть потрійний інтеграл

∫∫∫(x + y + 2z)dxdydz ,

якщообластьG обмеженаплощинами x = 1, x = 3, y = 0, y = 4, z = 0, z = 1.

Розв’язання. Область інтегрування G ― паралелепіпед (рис. 2.31), грані якого паралельні відповідним координатним площинам, тому обчислення потрійного інтеграла проводимо за формулою (2.19). Маємо

										3	4	1
				∫∫∫ (x + y + 2z)dxdydz = ∫ dx∫ dy∫ (x + y + 2z)dz =
				G						1	0	0
	3		4	((x + y)z + z2 )	1		3		4	(x	+ y + 1) dy =		3			y2	4
	3		4		1		3		4				3			y2	4
	∫		∫				∫		∫				∫
=		dx				dy =		dx						(x	+ 1) y +		dx =
	1		0		0		1		0				1			2	0

3	3
= ∫ (4x + 12)dx = (2x2 + 12x)	= 18 + 36 − 2 −12 = 40.
1	1

150

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.20195.47 Mб21(Т4 укр)м(Л21).doc
#
29.08.20193.68 Mб36(Т5укр)м(Л22-23).doc
#
11.12.2018296.96 Кб12+Изгот микросхем.doc
#
11.12.2018437.76 Кб3+страничная память.doc
#
19.02.20162.32 Mб210887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20163.59 Mб510887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.09.2019106.5 Кб01 000 000 $.doc
#
16.11.20191.38 Mб11 Lab (Neuro).docx
#
19.02.20161.12 Mб1001 Конспект лекций Основы системного анализа.doc
#
25.11.2019238.27 Кб41 Літосферні стихійні лиха.docx
#
19.02.201652.22 Кб4741 ПЗ М1 Менеджмент.doc