- •Министерство образования, науки и молодежи республики крым гбпоу рк «керченский политехнический колледж»
- •Методические рекомендации
- •Методические рекомендации:
- •Тематический план
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Раздел 4. Основы интегрального и дифференциального исчисления
- •Раздел 6. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Числовые характеристики выборки.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •1.Числовые ряды
- •2. Ряды с положительными членами.
- •3. Знакопеременные ряды
- •4. Степенные ряды
- •5. Ряд тейлора
- •Задания контрольной работы Комплексные числа
- •Линейная алгебра.
- •Основы математического анализа Основы интегрального и дифференциального исчисления
- •Дифференциальные уравнения
- •Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Рекомендованная литература
- •Интернет-ресурсы:
Раздел 6. Дифференциальные уравнения
Линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентаминазывают уравнение вида
, (1)
где и– постоянные величины, а– переменная функции переменной.
Если , то уравнение (1) принимает вид
, (2)
которое называют уравнением без правойчасти илилинейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы расширить такое уравнение необходимо составить егохарактеристическое уравнение:
. (3)
Для этого в уравнении (2) необходимо заменить насоответственно.
Вид общего решения уравнения (2) зависит от вида корней характеристического уравнения (3)
№ |
|
|
|
1. |
|
|
|
2. |
| ||
3. |
Комплексно-сопряженные |
Пример 5: Решить линейное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами
,
соответствующее начальным условиям: при .
Решение: Составим характеристическое уравнение: Общее же решение этого уравнения имеет вид: Следовательно, . Найдем частные решения:
Ответ:
Пример 6: Решить линейное дифференциальное уравнение I порядка
.
Решение.
Это линейное уравнение
Пусть
Имеем
–уравнение с разделяющими переменными.
,
т.к
, подставим найденное в , получим
Интегрируем
Тогда
Ответ:
Раздел 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Пример 1:Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии, остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей – 6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
Решение:
Введем полную группу независимых гипотез: Hi = (Лампа принадлежат i -ой партии), i =1,2,3 . Найдем вероятности гипотез по классическому определению вероятностей. Всего ламп 1000, из них 1-ой партии принадлежат 380, то есть
,
2-ой партии принадлежат 270, то есть 270
,
остальные 1000-380-270=350 ламп принадлежат 3-ей партии, поэтому
.
Введем событие A = (Лампа бракованная). По условию даны вероятности:
.
Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:
Ответ: 0,0443 (или 4,43%)
Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы обработки и классификации статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.
Примером статистических данных служит последовательность значений случайной величины, полученных в результате некоторого наблюдения (эксперимента).
Во многих случаях выводы об исследуемом признаке делаются на основе изучения ограниченного числа объектов, определенным образом отобранных из общей совокупности.
Основные понятия математической статистики – генеральная и выборочная совокупности.
Генеральная совокупность – множество всех значений изучаемой величины (совокупность всех объектов, подлежащих изучению)
Выборочная совокупность – специальным образом отобранная группа объектов.
Объем совокупности (выборки) – число объектов совокупности
Изучение статистических данных обычно начинают с их группировки в порядке возрастания значения признака.
Наблюдаемые значения рассматриваемого признака называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в порядке возрастания – выборочным или вариационным рядом
Частота – это численность (количество) отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда.
Например:
Вариационный ряд распределения студентов по экзаменационному баллу: .
Тогда частота
Объем выборки. В нашем случае
Величина –относительная частота варианты.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Геометрическая интерпретация статистических распределений выборки.
Если в прямоугольной системе координат на оси абсцисс расположить варианты , а на оси ординат – соответствующие частоты, то в плоскости получим точки.Соединив их отрезками, получим ломаную, котораяназывается полигоном частот.