Тематический план

Раздел 1. Комплексные числа

Тема 1.1. Комплексные числа

Раздел 2. Линейная алгебра

Тема 2.1. Матрицы и определители

Тема 2.2. Методы решения систем линейных уравнений

Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.1. Предел функции

Тема 3.2. Ряды

Раздел 4. Основы интегрального и дифференциального исчисления

Тема 4.1. Дифференциальное исчисление

Тема 4.2. Интегральное исчисление.

Раздел 5. Дифференциальное исчисление многих переменных

Тема 5.1. Дифференциальное исчисление многих переменных

Раздел 6. Дифференциальные уравнения

Тема 6.1. Дифференциальные уравнения

Раздел 7. Основные понятия дискретной математики

Тема 7.1. Основные понятия дискретной математики

Раздел 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики

Тема 8.1.Элементы теории вероятностей

Тема 8.2.Элементы математической статистики

Методические рекомендации по выполнению контрольной работы

Раздел 1. Комплексные числа

Комплексным числом z наз. выражение вида z = x + iy, где x и y - числа, а- мнимая единица,.

z = x + iy - алгебраическая запись к. ч.

Два к. ч. иназ.равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е.и.

Числа  и  называются противоположными комплексными числами.

Два к. ч. и, которые отличаются лишь знаком мнимой части, называютсясопряженными.

Пример 1: Решить квадратное уравнение 

Решение:

Вычислим дискриминант:

00 Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах.

Ответ:

Действия над к.ч., записанными в алгебраической форме:

1. Сумма к. ч.: z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂);

2. Разность к. ч. : z₁ - z₂ = (x₁ - x₂) + i(y₁ - y₂);

3. Произведение к. ч. : z₁ ∙z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁), (можно умножить многочлен на многочлен )

4. Деление двух к. ч.: z₂

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

Пусть z₁ = r₁(cos φ₁ + isin φ₁), z₂ = r₂(cos φ₂ + isin φ₂). Тогда:

1. Умножение (cos(₁+₂) +isin(₁+₂))

Вообще для любого z ≠ 0и для любогоn ϵ ℕ справедливо.

2. zⁿ = rⁿ(cos(nφ) + isin(nφ))– формула возведения в степень (I-я формула Муавра).

3. Операция извлечения корня n-ой степени из к. ч. определяется как обратная операци возведеня в степень:

К. ч. zназ.корнем n-ой степени из числа (=z), еслиzⁿ = . Если ≠ 0, тоимеетnразличных значений, определяемых по формуле,k=, -II-я формула Муавра

- арифметическое значение корня из положительного числа.

4. Деление (z₂ ≠ 0):

Пример 2: Вычислить: a) ;

Решение:

б)

Решение: Представим комплексное число z =-1+i в тригонометрической форме

cos

Значит

1024(-1 +∙ 0) = -1024

Ответ: -1024

в) Найти

Решение: Представим комплексное число z =-1+i в тригонометрической форме

z = -1 + i = , тогда поII формуле Муавра

Тогда имеем три значения корня:

z₁ = (k = 0)

(k = 1)

(k = 2)

Ответ: z₁ = (k = 0)

(k = 1)

(k = 2)

Пример 3: Сложить два комплексных числа ,

 

Найти произведение комплексных чисел  ,  

причем

Найти частное: 

Показательная форма комплексного числа:

Символом eiφ обозначается комплексное число cosφ+isinφ. С помощью этого обозначения всякое комплексное число z=r(cosφ+isinφ) может быть представлено в показательной форме

Пример 4: Найти показательную форму числа z =-1+i

Решение: Находим модуль и аргумент числа:

cos

Следовательно, показательная форма комплексного числа такова: z=

Ответ: z=