25.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Метод замены переменной

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x=φ(t), определена на отрезке [α, β] и имеют на нем непрерывную производную, причем φ (α) = а, φ (β) = b и для всех . Тогда

Метод интегрирования по частям

Если функции u = u(x), v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то справедлива формула

Доказательство.

Поскольку функция u(x)v(x) – первообразная для функции u’(x)v(x) + u(x)v’(x), то

откуда и следует формула которую можно записать в виде

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .

Необходимое условие интегрируемости.

Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.

Необходимое и дост. усл. интегрируемости.

Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0

26.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.

площадь S криволинейной трапеции abAB, ограниченной кривой y=f(x), f(x)0

y

осью Ox и двумя прямыми x=a x=b, вычисляется по формуле

y=f(x)

а

b

x

A

B

y

Если плоская фигура ABCD ограничена прямыми x=a, x=b(a<b) и кривыми y=f(x) y=φ(x), причем φ(x)≤ f(x), a≤x≤b,то ее площадь вычисляется по формуле

x

A

B

C

D

y=φ(x)

y=f(x)

Объем тела, образованного вращением кривой y = f(x), ограниченной прямыми х = а, x = b при a < x < b вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

Объем тела, образованного вашей кривой у = φ(у), ограниченной прямыми y = c, y = d при c < y < d вокруг оси Oy, вычисляется по формуле:

Центральный угол — это угол, образованный двумя радиусами. Длина дуги, описываемой концом радиуса, пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Центральный угол дуги измеряется градусами. Для измерения градусами - целая окружность имеет 360°. Длина дуги

p=2π r n\360=π r n\180

27. Несобственные инт. 1го и 2го порядка.

Инт-лы 1-го рода.

Предположим, что функциязадана на бесконечном промежутке видаи интегрируема на любом конечном отрезке, где. Таким образом, мы можем рассмотреть функцию, Если эта ф-ция имеетlim то число I наз-ся значением несобственного инт. 1го рода. , а сам инт-лназываетсясходящимся. Если же предела не существует (например, если при ), то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.    

Несобств. инт-л 1-го рода – это инт-л, у кот. хотя бы 1 из пределов нтегрир-я = - или + ∞

Инт-лы 2го рода.

Пусть функция f удовлетворяет указанным выше условиям на [a;b). Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл , значениеI которого равняется левостороннему пределу .Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать .