- •1.Матрица, операции над м. Опред-ли м.
- •2. Декартовая система координат на плоскости. Осн. Задачи.
- •3. Прямая. Угловой коэф. Прямой. Уравнение прямой с угл. Коэффициентом.
- •4. Общее ур-ние прямой, ур-ние прямой, проход. Ч/з 2 точки, ур-ние прямой в отрезках.
- •5. Угол между 2мя прямыми. Условия пар-сти и перп-сти 2х прямых.
- •6. Ур-ние плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.
- •7. Векторы. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.
- •8. Операции над векторами, заданными в координатной форме.
- •9. Скалярное произведение векторов, его свойства.
- •10. Векторное произведение векторов, его свойства.
- •11. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение их методами Гаусса, Крамера, матричным.
- •12. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису
- •13. Последовательности. Предел послед-сти.
- •14. Два замечательных предела
- •15. Функции. Непрерывность функции в точке и в области
- •16. Производная ф-ции. Смысл.
- •17. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
- •18. Дифф. Функции одной переменной, его геометр. Смысл. Применения дифф. В приближённых вычислениях.
- •19 Экстремум функции. Необходимое усл.
- •20. Исследование функции.
- •21. Первообр. Функции и неопр. Интеграл. Св-ва неопр. Инт. Таблица неопр. Интегр.
- •31. Линии уровня. Градиент.
- •22. Интегрирование по частям и замена переменных в неопределённом интеграле.
- •23. Опред. Интеграл. Осн. Свойства опред. Интеграла.
- •24 Теорема Ньютона-Лейбница.
- •25.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •26.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •27. Несобственные инт. 1го и 2го порядка.
- •28. Среднее значение ф-и на отрезке. Теорема о среднем значении ф-и.
- •30. Экстремум ф-и нескольких переменных. Необходимое усл-е эктремума.
- •29. Ф-и нескольких переменных.
- •32. Частные производные ф-й 2-х переменных.
- •33. Полный дифференциал ф-й 2-х переменных.
- •34. Частные производные высших порядков.
- •35. Независимость частных производных от порядка дифференцирования.
- •36. Метод наименьших квадратов.
- •37. Числовые ряды, частные суммы числовых рядов.
- •38. Признаки сходимости ряда
- •39. Теоремы о сходимости числовых рядов.
- •40. Эталонные ряды для установления сходимости
- •41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена
- •42.Теорема Абеля о сходимости степенного ряда:
- •43. Разложение основных элементарных функций.
- •44. Показательная и тригонометрическая функция комплексной переменной, их связь
- •45. Ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье. Сходимость рядов Фурье.
- •46. Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •47. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
- •49. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •50. Линейные однородные и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
46. Дифференциальные уравнения (основные понятия)
Дифференциальным уравнением наз-ся уравнение относительно неизвестной ф-ии и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального урав.назыв-ся порядок старшей производной ,входящей в это уравнение.
Решением диф.ур-ния порядка n наз-ся функция y(x), имеющая на некот.интервале (a,b) производные
до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.
В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные.
Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных приозводных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.
47. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида: P(x)dx+Q(y)dy=0 (1). Его общим интегралом будет: (2). Уравнение вида: M1(x)·N1(y)dx+M2(x)·M2(y)dy=0 (3), а также уравнение вида: y'=f1(x)·f2(y) (4) уравнения, которые с пом. алгебраических преобразований приводятся к ур-ям (3) или (4) наз. ур-ми с разделяющимися переменными. Рассмотрим ур-е (3). Допустим, что N1(y)·M2(x)≠0. Разделим обе части ур-я (3) на N1(y)·M2(x). Получим: ,
Рассмотрим ур-е (4): Домножим обе части ур-я на dx и разделим на f2(y) в предположении, что f2(y)≠0.
–общий интеграл.
Замечание: При выводе общих интегралов ур-ий (3) и (4) сделаем нек. допущения, к-е могут привести к потере решений. Случай, когда M1(y)·M2(x)=0 или f2(y)=0 необходимо рассматривать отдельно, чтобы не потерять возможных решений дифференциальных ур-ий.
48. Однородные дифференциальные уравнения
Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в видеили
где , - однородные функции одной и той же степени, т.е. для некоторого натурального числа k и для произвольного справедливы равенства
Для решения однородного дифференциального уравнения необходимо сделать замену переменных , которая сводит однородное дифференциальное уравнение к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
49. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Уравнение
наз. линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; ak - постоянные вещественные числа. Если функция f(x) не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение с правой частью.
Уравнение
наз. линейным однородным дифференциальным ур-го порядка с постоянными коэффициентами; ak - постоянные вещественные числа. Т. к. функция f(x) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что ур-ние без правой части.
Уравнение наз.характеристическим ур-ем, а его корни – характер-ми числами уравнения.
Система функций
наз. линейно независимой в интервале (a,b), если тождество (- постоянные числа)
может выполняться только когда все ck=0. Если к тому же каждая из функций yk явл. частным решением однородного уравнения , то система решений одно-родного ур-ния наз. фундамент. системой решений.
Если фундаментальная система решений найдена, то функция
дает общее решение однородного уравнения , ( все ck - константы ).