- •1.Матрица, операции над м. Опред-ли м.
- •2. Декартовая система координат на плоскости. Осн. Задачи.
- •3. Прямая. Угловой коэф. Прямой. Уравнение прямой с угл. Коэффициентом.
- •4. Общее ур-ние прямой, ур-ние прямой, проход. Ч/з 2 точки, ур-ние прямой в отрезках.
- •5. Угол между 2мя прямыми. Условия пар-сти и перп-сти 2х прямых.
- •6. Ур-ние плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.
- •7. Векторы. Сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.
- •8. Операции над векторами, заданными в координатной форме.
- •9. Скалярное произведение векторов, его свойства.
- •10. Векторное произведение векторов, его свойства.
- •11. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение их методами Гаусса, Крамера, матричным.
- •12. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису
- •13. Последовательности. Предел послед-сти.
- •14. Два замечательных предела
- •15. Функции. Непрерывность функции в точке и в области
- •16. Производная ф-ции. Смысл.
- •17. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
- •18. Дифф. Функции одной переменной, его геометр. Смысл. Применения дифф. В приближённых вычислениях.
- •19 Экстремум функции. Необходимое усл.
- •20. Исследование функции.
- •21. Первообр. Функции и неопр. Интеграл. Св-ва неопр. Инт. Таблица неопр. Интегр.
- •31. Линии уровня. Градиент.
- •22. Интегрирование по частям и замена переменных в неопределённом интеграле.
- •23. Опред. Интеграл. Осн. Свойства опред. Интеграла.
- •24 Теорема Ньютона-Лейбница.
- •25.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •26.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •27. Несобственные инт. 1го и 2го порядка.
- •28. Среднее значение ф-и на отрезке. Теорема о среднем значении ф-и.
- •30. Экстремум ф-и нескольких переменных. Необходимое усл-е эктремума.
- •29. Ф-и нескольких переменных.
- •32. Частные производные ф-й 2-х переменных.
- •33. Полный дифференциал ф-й 2-х переменных.
- •34. Частные производные высших порядков.
- •35. Независимость частных производных от порядка дифференцирования.
- •36. Метод наименьших квадратов.
- •37. Числовые ряды, частные суммы числовых рядов.
- •38. Признаки сходимости ряда
- •39. Теоремы о сходимости числовых рядов.
- •40. Эталонные ряды для установления сходимости
- •41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена
- •42.Теорема Абеля о сходимости степенного ряда:
- •43. Разложение основных элементарных функций.
- •44. Показательная и тригонометрическая функция комплексной переменной, их связь
- •45. Ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье. Сходимость рядов Фурье.
- •46. Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •47. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
- •49. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •50. Линейные однородные и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
34. Частные производные высших порядков.
Производные второго и более высокого порядков наз. произв-ми высших порядков.
Пусть f ’(x) – производная первого порядка ф-и f(x). Производной второго порядка ф-и f(x) наз. производная от ф-и f ’(x), если она сущ-т. Обозначается вторая произв-я f ’’(x).
Производную от второй производной наз. производной третьего порядка ф-и f(x) и обозначают f ’’’(x).
Произв-я n-го порядка явл-ся произв-й от произв-й (n-1)-го порядка. Она обозначается f (n)(x).
35. Независимость частных производных от порядка дифференцирования.
36. Метод наименьших квадратов.
При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами x и y посредством формулы y=f(x).Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величин x и y получены следующие данные:
x |
Х1 |
X2 |
… |
xn |
y |
Y1 |
Y2 |
… |
yn |
Известен также вид функциональной зависимости, т.е.
y=f(x,,,…,)=φ(x) (1),
где f-заданная функция; ,,…, — параметры, значения которых требуется определить. Значения у, полученные из формулы (1) при заданных значениях (i=1, 2,..., п), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями ,приведенными в указанной таблице, т.е. разность -φ() отлична от нуля для всех или некоторых точек(i = 1, 2, ..., n). Для каждого i эту разность обозначим через ε, и назовемпогрешностью:
-φ()=ε(i = 1, 2,..., п) (2) .
Значения параметров (k = 0, 1,..., m) функции (1) требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т.е. так, чтобы функция
u=ε=(-φ())(3)
принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция - сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значении (каждое слагаемое суммы неотрицательно).
Функция (3) является функцией т+1 переменых ,,..., ат ,т.е.
и=и(,, ...., ат)=(-f(,,,…,))2 (4).
Если функция и=и(,..., ат) имеет непрерывные частные производные по всем переменным, то необходимое условие ее минимума выражается системой уравнений
=0, =0, …,=0 (5)
Из этой системы т +1 уравнений находятся искомые значения параметров a0,a1 ,...,am.
Во многих случаях функция (1) определяется формулой
y=(x), (6)
где (x),(x),..., f т ( x )- известные функции, например, f(x)=x,f(x)=sin kx, f(x)=cos kx и т.д.
Функция (4) в таких случаях принимает вид
u=y-())(7),
а система (5) запишется так:
(-())(-())=0(-())(-())=0(8)
…………………………………….
(-())(-())=0
Решение этой системы может быть получено с помощью метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).
Если (x)=(k = 0, 1, 2,..., m), то
f(x,,,…,)=+x++…+
+(9)
и система (8) принимает вид:
n++…+
=;
++…+=; (10)
++…+*
*=.