21. Первообр. Функции и неопр. Интеграл. Св-ва неопр. Инт. Таблица неопр. Интегр.

Функция F(x) наз-ся первообразной ф-ции f(x) на определенном интервале, если

F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Неопр. Интеграл- совок. всех первообр. для f(x), определенная на интерв. Х(∫f(x)dx=F(x)+c Осн. теор. интегрирования: Если ф-ция f(x), опред. на интер. x , имеет 1 первообразную F(x), то она имеет бесконечное число первообразных, все они описываются выр-ем F(x)+c, где c-const. Свойства:

1. постоянную можно вынос. за знак интег.

2. интеграл суммы равен сумме интегралов

3. произв. от инт. равна подынтегр. функции

4. интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

31. Линии уровня. Градиент.

Линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. 

ЛУ – такая линия в плоскости x и y, для кот. все значения z одинаковы. z=x²+y² ; y=√z-x² ; z=f(x,y).

Градиентом функции f(x)называется вектор, указывающий направление наиболее быстрого возрастания функции, и, стало быть, ориентированный перпендикулярно линиям уровня.

Для линейной функции двух переменных линия уровня представляет собой прямую, перпендикулярную вектору с, который служит градиентом данной функции. Следовательно, если линия уровня определяется уравнением f(x)=c1x1+ c2x2 =const, то этот вектоp имеет вид и указывает направление возрастания функции.

22. Интегрирование по частям и замена переменных в неопределённом интеграле.

Интег. по частям — один из способов нахожд. интеграла. Суть метода:: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произвед. двух непр. и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедлива следующая формула для неопределённого интеграла:

Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

дифф. dx должен быть заменен на дифф. новой переменной du. Для опред. инт., необход. также измен. пределы интегр-ния.

23. Опред. Интеграл. Осн. Свойства опред. Интеграла.

Определенный интеграл - это функция, производная от которой дает подынтегральную функцию. ОИ ф-ции y=f(x) на отрезке наз-ся предел инт-ых сумм.

Свойства:

Свойства определённого интеграла:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. , то

6. 

7. 

8. , , то

9. ф-я непрерывна на отрезке,,то на этом отрезке сущ. хотя бы одна точка,такая, что

   

10. −я непрерывна и,то имеет место равенствоФ-яназ. определённым интегралом с переменным верхним пределом.

24 Теорема Ньютона-Лейбница.

Теорема: Опред. интеграл от непрерывной ф-ции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница связывает неопред и опред интегралы. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке ,а ф-цияF(x)-какая-либо ее первообразная (т.е. F’(x)=f(x)), то . Эта формула сводит нахождение опред интегр к нахождению неопред интегр. РазностьF(b)-F(a) обозначается F .

Формула Ньютона – Лейбница.

Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] ,а функция F(x)—какая-л. ее первообразная (т.е. F’(x)=f(x)), то