РГЗ вся математика
.pdf51
VIII. КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ. ТЕОРІЯ ПОЛЯ
Завдання 44. Задана пластина D обмежена кривими, -поверхнева щільність. Знайти масу пластини.
1. D : y = x2, y = 2x − x2, = x3 +1
2. D : y = 2 − x2 (x ≥ 0), x = 0, y = x, = y 3. D : y2 = 2x, y = x, = x + y
4. D : x + y = 2, x + y = 5, y = x, y = 3x, = 6 5. D : y2 = x, y2 = 8x, x = 1, = y
6. D : y = x2, x + y = 6, x ≥ 0, = 2x 7. D : y2 = 2x, y = − x, = − xy
8. D : y = 4x − x2 , y = 3x2 , = x +1 9. D : y2 = x + 4, y2 = 2x − 5, = y2
10. D : y = ln x, y = x −1, y = −1, = x
11. D : y = sin x, y = cos x,(0 ≤ x ≤ π ), = y + 2
4
12. D : y = x, y = 2x, x + 3y − 7 = 0, = 3x
13. |
D : y = |
x2 |
, y = x + 3,2x + y − 6 = 0, = 2 |
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|
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2 |
= 1, x2 + y2 = 25, y = x 3, x ≥ 0, = x2 + y2 |
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14. |
D : x2 + y2 |
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15. |
D : x2 + y2 |
= 2y, y = x, x ≥ 0, = x |
|||||||||||
16. |
D : x = y2 − 2 y, x − y = 0, = y +1 |
||||||||||||
17. |
D : y = 2 − x, y2 = 4x + 4, y ≥ 0, = y |
||||||||||||
18. D : y = 4x − x2, y = 2x2 − 5x, = x |
|||||||||||||
19. |
D : x = 4 − y2 , x + 2 y − 4 = 0, = y +1 |
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20. |
D : y2 = 4x − x2 , y2 = 2x(поза пораболою), = |
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y |
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21. |
D : y = |
3 |
, y = 4ex , y = 3, y = 4, = |
1 |
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y |
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x |
|
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22. |
D :6y = x2 , y = 1, = 3x |
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23. |
D : y = 3x, y = 8ex , y = 3, y = 8, = |
1 |
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y |
||||||
24. |
D : x = 8 − y2 , x = −2 y, = y, y ≥ 0 |
52
25. D : x = 5 − y2 , x = −4y, = y, y ≥ 0
26. |
D : y = |
2 |
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, y = 5ex , y = 2, y = 5, = |
1 |
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x |
y |
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|||||
27. |
D : y = 32 − x2 , y = −4x, = y +1, y ≥ 0 |
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28. |
D : y = 11− x2 , y = −10x, = y, y ≥ 0 |
||||||||||||
29. |
D : y = |
1 |
|
, y = 6ex , y = 1, y = 6, = |
1 |
|
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y |
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x |
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30. |
D : y = |
3 |
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x, y = |
3 |
x, x = 4, = 3 |
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2 |
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2 |
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Завдання 45. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями.
1.x2 + y2 = 8, z = 0, x + y + z = 4
2.z = 4 − x2 ,2x + y = 4, x = 0, y = 0, z = 0,(z ≥ 0)
3.x2 + y2 = 9, z = 5x, z = 0, z ≥ 0
4.z = xy, x2 + y2 = 4, z = 0
5.x2 + y2 = 9, z = 0, x + y + z = 9
6.x = 2y2 , x + 2y + z = 4, y = 0, z = 0,(x, y ≥ 0)
7.3x + 2y + z − 6 = 0, x = 0, y = 0, z = 0
8.z = x2 + y2 , x + y = 3, x = 0, y = 0, z = 0
9.x2 + y2 = 1, x + y + z = 3, z = 0
10.z = x2 + y2 , x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0
11.2x + 3y + z − 6 = 0, x = 0, y = 0, z = 0
12.z2 = x2 + y2 , z = 2
13.z2 = x2 + y2 , z = 1
14.y = x2 , y + z = 1, z = 2
15.z = x2 + y2 + 2, x = 0, y = 0, z = 4, x = 4, y = 4
16.x = y2 , x + z = 2, z = 0
17.z = x2 + y2 + 2, x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0
18.z = y2 , z + x = 1, x = 0
19.z = x2 + y2 , x = 0, y = 0, x + y = 4, z = 0
20.z = x2 , z + y = 1, y = 0
21.x + y + z = 4, x = 2, y = 2, x = 0, y = 0, z = 0
22.z2 = x2 + y2 , z = 3
23.z = x2 + y2 − 1, z = 0
24.z = 4 − x2 − y2 , z = 0
53
25.x + y = 4, y2 = 2x, z = 3y, z = 0, z ≥ 0
26.x2 + y2 = 2, y2 = x, y = 0, z = 0, z = 15x, y ≥ 0
27.x + y = 2, y2 = x, z = 12 y, z = 0, z ≥ 0
28.z = 2 −12(x2 + y2 ), z = 1
29.x2 + y2 = 2, x2 = y, x = 0, z = 0, z = 30y, x ≥ 0
30.z = 3 − x2 − y2 , z = 0
Завдання 46. Знайти кут між градієнтами скалярних полів u(x,y,z) і v(x,y,z) в точці М.
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x |
3 |
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1. |
v = |
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+ 6y3 + 3 6z3 ,u = |
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yz |
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, M ( 2, |
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, |
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) |
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2 |
2 |
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x |
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2 |
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3 |
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2. |
v = |
4 |
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6 |
− |
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6 |
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+ |
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3 |
,u = x2 yz3 , M (2, |
1 |
, |
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3 |
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) |
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x |
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9y |
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z |
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3 |
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3. v = 9 2x3 − |
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y |
3 |
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− |
4z |
3 |
,u = |
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z |
3 |
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1 |
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3 |
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, M ( |
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, 2, |
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) |
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2 |
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3 |
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2 |
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2 |
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xy |
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3 |
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2 |
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4. |
v = |
3 |
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+ |
4 |
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− |
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1 |
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,u |
= |
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z |
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, M (1, 2, |
1 |
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) |
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x |
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y |
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6z |
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x |
3 |
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v = |
x |
3 |
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− 6y3 + 3 6z3 ,u = |
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x |
2 |
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1 |
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5. |
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, M ( 2, |
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, |
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) |
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yz |
2 |
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2 |
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2 |
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3 |
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y |
2 |
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2 |
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1 |
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2 |
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|||||||||||
6. |
v = 3 |
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2x2 − |
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− 3 |
2z2 ,u = |
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z |
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, M ( |
,2, |
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) |
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2 |
2 |
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3 |
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xy |
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3 |
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7. |
v = 6 |
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6x3 − 6 |
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6y3 + 2z3 ,u = |
xz2 |
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, M ( |
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1 |
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, |
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1 |
,1) |
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6 |
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y |
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6 |
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8. |
v = |
6 |
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− |
6 |
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+ |
2 |
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,u = |
yz2 |
, M ( |
1 |
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, |
1 |
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|
, |
1 |
|
) |
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3z |
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2x |
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2y |
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x |
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2 |
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2 |
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3 |
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9. v = |
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3 |
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|
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− |
y2 |
|
|
− 3 2z2 ,u = |
xy2 |
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, M ( |
1 |
, 2, |
|
|
2 |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
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|
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|
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2 |
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2 |
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2 |
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3 |
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y |
2 |
z |
3 |
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23. v = |
3 |
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x2 + 3y2 − 2z2 ,u = x2 yz3 , M (2, |
1 |
, |
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3 |
) |
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2 |
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3 |
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y |
3 |
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4z |
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2 |
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3 |
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24. v = 9 |
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2x3 − |
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− |
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,u = |
xy |
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, M ( |
,2, |
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) |
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2 |
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2 |
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3 |
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2 |
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3 |
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z |
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3 |
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25. v = |
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2x2 − |
3y2 |
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− 6 |
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2z3 ,u = |
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1 |
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, M (1, |
2 |
, |
1 |
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) |
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z |
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6 |
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xy |
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3 |
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26. v = x2 + 9 y2 + 6z2 ,u = |
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1 |
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, M (1, |
1 |
, |
1 |
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) |
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xyz |
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6 |
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3 |
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27. v = |
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1 |
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− |
2 |
2 |
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− |
3 |
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3 |
,u = |
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x |
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1 |
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3 |
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, M |
( |
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, |
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2, |
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|
) |
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2x |
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y |
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2z |
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y |
2 |
z |
3 |
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2 |
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2 |
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28. v = |
4 |
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2 |
+ |
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2 |
+ |
1 |
,u = x2 yz, M (2, |
1 |
, |
1 |
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|
) |
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x |
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9 y |
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3z |
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3 |
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6 |
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29. v = |
x3 |
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− |
y3 |
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− |
8z3 |
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,u = |
y2 |
z3 |
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, M ( |
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2, |
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2, |
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3 |
) |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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3 |
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x |
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3x |
3 |
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2 2y |
3 |
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x |
2 |
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3 |
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30. v = − |
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+ |
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+ 8 |
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3z3 ,u = |
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z |
, M ( |
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, |
, |
) |
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3 |
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3 |
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|
2 |
2 |
|
55
Завдання 47. Знайти роботу сили F при переміщенні уздовж лінії L від точки М до точки N.
1.F = (x2 − 2 y)i + ( y2 − 2x) j, L: вiдрiзок MN, M (−4;0), N(0;2)
2.F = (x2 + 2y)i + ( y2 + 2x) j, L : вiдрiзок MN, M (−4;0), N(0;2)
3. |
F = (x2 + 2 y)i + ( y2 + 2x) j, L : y = 2 − |
x2 |
, M (−4;0), N (0;2) |
|
|||
|
8 |
|
|
4. |
F = (x + y)i + 2xj, L : x2 + y2 = 4,( y ≥ 0), M (2;0), N(−2;0) |
||
5. |
F = x3i − y3 j, L : x2 + y2 = 4,(x ≥ 0, y ≥ 0), M (2;0), N(0;2) |
6.F = (x + y)i + (x − y) j, L : y = x2 , M (−1;1), N(1;1)
7.F = x2 yi − yj, L : вiдрiзок MN, M (−1;0), N (0;1)
8.F = (2xy − y)i + (x2 + x) j, L : x2 + y2 = 9,(y ≥ 0), M (3;0), N(−3;0)
9. |
F = (x + y)i + (x − y) j, L : x2 + |
y2 |
= 1,(x ≥ 0, y ≥ 0), M (1;0), N(0;3) |
|
|||
|
9 |
|
|
10. |
F = yi − xj, L : x2 + y2 = 1, M (1;0), N(−1;0),( y ≥ 0) |
x,0 ≤ x ≤ 1;
11.F = (x2 + y2 )i + (x2 − y2 ) j, L : y = 2 − x,1 ≤ x ≤ 2; M (2;0), N(0;0)
12.F = xyi + 2yj, L : x2 + y2 = 1,(x ≥ 0, y ≥ 0), M (1;0), N (0;1)
13. |
F = yi − xj, L : x2 + y2 = 2, ( y ≥ 0), M ( |
2;0), N (− 2;0) |
|||||
14. |
F = yi − xj, L : 2x2 + y2 = 1,( y ≥ 0), M ( |
1 |
;0), N (− |
1 |
;0) |
||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
||
15. |
F = (x2 + y2 )i + 2 j, L : x2 + y2 |
= R2 ( y ≥ 0), M (R;0), N(−R;0) |
|||||
16. F = (x + y x2 + y2 )i + (y − x |
x2 + y2 ) j, L : x2 + y2 = 1,(y ≥ 0), M (1;0), N(−1;0) |
||||||
17. |
F = x2 yi − xy2 j, L : x2 + y2 |
= 4,(x ≥ 0, y ≥ 0), M (2;0), N (0;2) |
|||||
18. F = (x+ y x2 + y2 )i + (y − x |
x2 + y2 ) j, L: x2 + y2 =16,(x ≥ 0, y ≥ 0),M(1;0), N(−1;0) |
19.F = y2i − x2 j, L : x2 + y2 = 9,(x ≥ 0, y ≥ 0), M (3;0), N (0;3)
20.F = (x + y)2 i − (x2 + y2 ) j, L : î ò ðåçî ê MN, M (1;0), N (0;1)
21.F = (x2 + y2 )i + y2 j, L : отрезок MN, M (2;0), N (0;2)
22.F = x2 j, L : x2 + y2 = 9,(x ≥ 0, y ≥ 0), M (3;0), N(0;3)
23.F = ( y2 − y)i + (2xy + x) j, L : x2 + y2 = 9,( y ≥ 0), M (3;0), N (−3;0)
24.F = xyi, L : y = sin x, M (π ;0), N (0;0)
25.F = (xy − y2 )i + xj, L : 2x2 , M (0;0), N(1;2)
26.F = xi + yj, L : вiдрзок MN, M (1;0), N(0;3)
27. |
F = (xy − x)i + |
x2 |
j, L : 2 x, M (0;0), N (1;2) |
|
|||
|
2 |
|
56
28. |
F = − xi + yj, L : x2 + |
y2 |
= 1, (x ≥ 0, y ≥ 0), M (1;0), N (0;3) |
||||
|
|||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
29. |
F = − yi + xj, L : y = x3 , M (0;0), N(2;8) |
||||||
30. |
F = (x2 − y2 )i + (x2 + y2 ) j, L : |
x2 |
+ |
y2 |
= 1,( y ≥ 0), M (3;0), N (−3;0) |
||
|
|
||||||
|
|
|
9 |
4 |
|
IX. ЧИСЛОВІ І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ
Завдання 48. Дослідити збіжність числових рядів.
∞ |
π |
1. ∑n sin |
|
1 |
4 |
∞n + 1
5.∑1 10n + 2
∞100
∑ n n + 19. 1
∞n − 1
13.∑1 n2 + 1
∞π
17.∑tg n1
∞π
21.∑sin n1
∞ |
|
|
π |
|
|
25. ∑tg |
|
||||
2 |
|||||
1 |
|
|
n |
||
∞ |
1 |
cos π |
|||
29. ∑ |
|||||
|
|||||
1 |
n |
|
n |
∞n
2.∑1 2n2 + 1
∑∞ 2n + 1n6.
1 2
∞4
10.∑1 n2 + 1
∞π
14.∑sin2 n1
∞2n
18.∑1 4n2 + 1
∞5n
22.∑ 5
1 n
∞n2 + 3
26.∑1 3n3 + 8
∞n!
30.∑1 3n
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. ∑ |
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|||||||
2 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
+ 1 |
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
∑1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ∑1 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n |
||||||||||
11. |
∑ |
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
12. ∑ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
(2n −1)! |
||||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
2n + 1 |
)n |
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15. |
∑ |
( |
16. ∑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n2 + n |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
n + 3 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
+ 1 |
|
|
||||||||||
19. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
20. ∑ |
( |
n |
)n |
|||||||||||||
|
n ln |
4 |
n |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3n |
+ 1 |
|
|
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
5n−2 |
||||||||||
23. |
∑1 |
|
|
|
|
|
24. ∑1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n2 + 3 |
|
|
|
|
|
3n2 −1 |
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
n + 1 |
∞ |
|
|
n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
27. |
∑1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(n + 2)(n + 3) |
28. ∑ |
|
|||||||||||||||||||||||
2n+1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
57
Завдання 49. Досліджувати на абсолютну або умовну збіжність числові ряди.
|
∞ |
|
(−1)n n |
||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
(−1)n 2n |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
|
n! |
|||||||||||
1 |
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
(−1)n |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
(−1)n ln n |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
|
n + 1 |
||||||||||
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n n2 |
||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
n! |
||||||||||
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∑1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
21. |
n + |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n n |
||||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
25. |
|
n |
2 |
+ 1 |
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞(−1)n
29.∑1 n2 + 1
∞ (−1)n−1 2. ∑1 2n −1
∞(−1)n
6.∑1 (2n + 1)!
∑∞ (−1)n 3n10.
|
1 |
|
|
5n 10 |
|
|
|||
|
∞ |
(−1)n 2n |
|
|
|||||
14. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
||
3n − 1 |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
∞ |
(−1)n (n + 1) |
|||||||
18. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
n |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n n! |
|
|
|||||
22. |
∑1 |
|
|
|
|
||||
|
3n + 5 |
|
|
|
|||||
|
∞ |
cos(π n) |
|||||||
26. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
||
n |
2 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n (1+ n) |
|||||||
30. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
||
|
1+ 3n |
2 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
∑ |
(−1) (2n+3) |
|
4. |
∑(−1)n ln n |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
3n+5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
(−1)n n2 |
|
|
|
|
∞ |
|
cosπ n |
|
|
|||||||||||||
7. |
∑1 |
|
|
|
|
|
|
|
8. |
∑1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
5n + 4 |
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
∞ |
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n n |
|
|
|||||||||
11. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ln n |
|
|
|
|
3n + 4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
(−1) |
n |
|
|
sin |
π |
|
∞ |
|
cosπ n |
|
|
|||||||||||
15. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
16. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
n |
2 |
+ 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||
19. |
∑(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n sin n |
||||||||||
|
|
2n+5 |
20. |
∑(−1) |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
n |
|
|
n + 2 |
|
∞ |
(−1)n ln n |
|||||||||||||||
23. |
∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
n |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
tg π |
||||||
27. |
∑(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
28. |
∑ |
(−1) |
n |
n |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 50. Знайти області збіжності степеневих рядів.
|
∞ |
(x − |
1) |
n |
|
∞ |
|
|
n |
|
( |
|
x |
)n |
|
∞ |
n x |
n |
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
n |
x |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
2. |
∑ |
|
|
|
|
3. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2n − 1 |
|
1 |
n |
+1 2 |
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
1 |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∞ |
(x + |
1) |
n |
|
∞ |
|
|
|
x |
n |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
(x+ 2) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
∑ |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
8. |
∑ln(n + 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
n(n + 1) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
xn |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(2x)n |
|
|
|
|
|
∞ |
n2 (x − 1)n |
||||||||||||||||||||||||
9. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
10. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
n |
2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
(x − 2)n |
|
∞ |
|
(x + 1)n |
|
∞ |
x2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(1− 2x)n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
3n − 1 |
n 4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
3n + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
(5x) |
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(x − 1) |
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
17. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
18. |
∑(− 1)n xn−1 |
19. |
∑ |
|
|
|
|
|
20. |
∑(1+ 1)n xn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
2n − 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∞ |
(−1)n xn |
|
∞ |
|
(x + 2)n |
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
n−1 |
|
∞ |
(−1)n xn |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
21. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
∑(− |
|
) |
|
|
x |
|
|
|
24. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
(x − |
3) |
n |
|
∞ |
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(n + 1) |
n |
|
|
|
|
∞ |
(−1)n |
x |
n |
||||||||||||||||||||||||
25. |
∑ |
|
|
|
|
26. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
∑ |
|
|
|
|
|
28. |
∑ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5n + 1 |
|
n + |
|
n |
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
(2x)n |
|
|
|
|
∞ |
|
(1− x)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
29. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3n − 5 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
Завдання 51. Зробити обчислення, користуючись розкладаннями функцій у степеневі ряди.
1. |
5 1,1; α =0,0001. |
2. |
3 1,08; |
α=0,0001 |
3. |
3 1,1; |
α =0,0001 |
4. |
ln 0,9; α =0,001 |
|||||
5. |
cos180 ; α =0,0001 |
6. |
ln0,98; |
α=0,0001 |
7. |
ln1,1; |
α =0,001 |
8. |
cos100; α=0,001 |
|||||
9. |
ln1,04; |
α =0,0001 |
10. |
e; α =0,00001 |
11. |
3 e; α =0,0001 |
12. |
sinπ ; α=0,001 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
13. |
3 130; |
α =0,001 |
14. |
cos10; |
α=0,0001 |
15. |
1: 3 e; |
α =0,0001 |
16. |
cos |
π |
; α=0,001 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
1: |
e; |
α =0,00001 |
18. |
sin10; α=0,0001 |
19. |
sin100; α=0,0001 |
20. |
ln3; |
|
α = 0,0001 |
|||
21. |
sin130 ; |
α =0,0001 |
22. |
ln1,2; α=0,0001 |
23. |
ln1,5; |
α =0,0001 |
24. |
ln10; |
α =0,0001 |
||||
25. |
e; |
α =0,00001 |
26. |
sin90; α=0,0001 |
27. |
3 4 e; α =0,0001 |
28. |
ln5; α =0,0001 |
||||||
29. |
1: 4 e; |
α =0,00001 |
30. |
cos90; |
α=0,0001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 52. Обчислити певний інтеграл із зазначеною точністю α = 0,001 .
|
|
1 |
|
x cos xdx |
2. |
∫ |
0.2 |
sin x dx |
3. |
∫ |
1 |
|
x(e− x |
2 |
− 1)dx |
4. |
∫ |
1 |
xsin x3dx |
||||||||||||||||||||
1. |
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
∫01 e− x2 dx |
|
∫ |
0.1 e |
x |
− 1 dx |
|
∫ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
|
7. |
2 x3arctgx2dx |
8. |
2 4 x(x3 + 1)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
x−1 sin x2dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||
9. |
|
2 sin x dx |
10. ∫ |
|
|
11. ∫ |
|
x cos |
|
|
|
x3 dx |
|
∫ |
1 |
2 |
|
− |
|
|
− 1)dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
x (e |
|
|
|
||||||||
|
∫ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
sin x dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13. ∫0 |
14. ∫ |
4 |
|
xln(1+ x2)dx |
15. ∫ |
1 |
dx |
16. ∫ |
2 x2arctg xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1+ x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
17. |
∫ |
4 |
|
1+ x3 dx |
18. ∫ |
4 |
|
|
|
|
dx |
19. ∫ |
(e− |
x |
− 1)dx |
20. ∫ |
1 x3 cos |
|
dx |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
1 |
|
xex dx |
22. ∫ |
1 3 |
x cos |
x |
dx |
|
∫ |
1 |
|
sin x3 |
|
|
|
|
∫ |
14 |
|
x |
x |
|
|
|
|||||||||||||
21. |
9 |
|
23. |
2 |
|
dx |
24. |
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
∫ |
1 |
1 |
− cos x dx |
26. ∫ |
1 3 |
x ln(1+ x2 )dx |
|
∫ |
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
∫ |
1 |
|
|
xarctgx2dx |
|||||||||||||||||
25. |
2 |
27. |
2 sin2 |
|
dx |
28. |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
29. ∫ |
0,1ln(1+ x) 1 dx |
30. ∫ |
1 x 3 1+ x6 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59
Завдання 53. Знайти три перших відмінних від нуля члена розкладання в степеневі ряд рішення.
1. |
y ' = y2 − x − 1; y(0) = 0 |
2. |
y ' = x2 |
+ sin y − 1; y(0)=0 |
3. |
y ' = x + 2y2 ; y(0)=0 |
|||||||
4. |
y ' = y + xey ; |
y(0)=0 |
5. |
y ' = x + x2 y3 + 1; y(0)=0 |
6. |
y ' = 2x − y; y(0)=2 |
|
||||||
7. |
y ' = 2x + cos y; y(0)=0 |
8. |
y ' = y2 + x2 y + 1; y(0)=1 |
9. |
y ' = y2 + x; y(0)=1 |
|
|||||||
10. |
y ' = x2 + y3 ; |
y(1)=1 |
11. |
y ' = x − y2 + 1; y(0)=0 |
12. |
y ' = y + x2 ; y(0)=-2 |
|||||||
|
y ' = x + |
1 |
|
|
14. |
y ' = x2 |
− y3 ; y(0)=1 |
|
|
2 |
3 |
|
1 |
13. |
|
; y(0)=1 |
|
|
|
15. |
y ' = y |
|
+ x |
; y(0)= |
2 |
||
y |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. |
y ' = x3 + y2 + 1: y(0)=0 |
17. |
y ' = 2x + exy ; y(0) = 0 |
18. |
y ' = x2 − y2 ; y(0)=0 |
||||||||
19. |
y ' = x2 y3 − 1; |
y(0)=1 |
20. |
y ' = 2x2 − xy2 ; y(0)= - 1 |
21. |
y ' = x + y; |
y(0)=1 |
|
|||||
22. |
y ' = ey + xy; |
y(0)=0 |
23. |
y ' = x2 |
− 2y3 + 2; y(0)= - 1 |
24. |
y ' = x3 + y3 ; y(1)=0 |
||||||
25. |
y ' = yx2 + y2 + 1; y(0)=0 |
26. |
y ' = x2 |
+ y2 ; y(0)=1 |
27. |
y ' = x2 + y2 + 1; y(0)=0 |
|||||||
28. |
y '+ x = ecos y ; y(0) = 0 |
29. |
y ' = x2 y + y3 ; y(0)=1 |
30. |
y ' = 3x + y2 + 1; y(0)=0 |
X. ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ
Завдання 54. Кидаються дві гральні кістки. Визначити ймовірність того, що: а) сума числа очок не перевершує N; б) добуток числа очок не перевершує N; в) добуток числа очок ділиться на N.
Завдання 55. Серед n лотерейних квитків k виграшних. Наудачу взяли m квитків. Визначити ймовірність того, що серед них t виграшних.
Завдання 56. У відрізку одиничної довжини наудачу ставиться точка. Визначити ймовірність того, що відстань від точки до кінця відрізка перевершує величину 1/R.
Завдання 57. У двох партіях k і k % доброякісних виробів відповідно. Наудачу вибирають по одному виробі з кожної партії. Яка ймовірність виявити серед них: а) хоча б одне браковане; б) два бракованих; в) одне доброякісне й одне браковане
Завдання 58. З 1000 ламп n належать i-й партії, i=1,2,3, n =1000. У першій партії 6%, у другий 5%, у третьої 4% бракованих ламп. Наудачу вибирається одна лампа. Визначити ймовірність того, що обрана лампа — бракована.
Завдання 59. У магазин надходять однотипні вироби із трьох заводів, причому i-й завод поставляє mі % виробів (i=1, 2, 3). Серед виробів i-го заводу nі % першосортних. Куплено один виріб. Воно виявилося першосортним. Визначити ймовірність того, що куплений виріб випущений j-м заводом.
60