- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Основні еквівалентності.
Для будь-яких формулА,ВиСсправедливі наступні еквівалентності:
A&BB&A;A&AA;A& (B&C)(A&B) &C;
ABBA;AAA;A(BC)(AB)C;
A(B&C)(AB) & (AC);A& (BC)(A&B)(A&C);
A& (AB)A;A(A&B)A;AA;(A&B)AB;
A(A&B)(A&B);A(AB) & (AB);
Булеві функції.
Визначення.Булевою функцією f(X1,X2, …,Xn) називається довільнаn-місна функція, аргументи й значення якої належать множині {0, 1}.
Загалом кажучи між логічними висловлюваннями, логічними зв'язуваннями й булевими функціями проглядається явна аналогія. Якщо логічні функції можуть приймати значення істинне або неправдиве, то для булевой функції аналогами цих значень будуть значення 0 або 1.
Для булевих функцій також можна скласти таблиці значень, що відповідають основним логічним операціям.
X1 |
X2 |
X1 |
X1&X2 |
X1X2 |
X1X2 |
X1X2 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Числення предикатів.
Визначення. Предикатом P(x1, x2, …, xn) називається функція, змінні якої приймають значення з деякої множиниМ, а сама функція приймає два значення: І (істина) і Н (неправда), тобто
Предикат від паргументів називаєтьсяп-місним предикатом. Висловлювання вважаються нуль-місними предикатами.
Над предикатами можна робити звичайні логічні операції, у результаті яких виходять нові предикати.
Крім звичайних логічних операцій до предикатів застосовуються також спеціальні операції, названікванторами.
Квантори бувають двох видів:
1) Квантор спільності.Позначається (х) Р(х). Квантором спільності називається висловлювання істинне, колиР(х) істинне для кожного елементахіз множиниМ, і помилкове – у противному випадку.
2) Квантор існування.Позначається (х) Р(х). Квантором існування називається висловлювання, істинне, коли існує елемент із множиниМ, для якогоР(х)істинне, і помилкове в противному випадку.
Операцію зв'язування квантором можна застосовувати й до предикатів від більшого числа змінних.
Для формул логіки предикатів зберігається справедливість всіх правил рівносильних перетворень логіки висловлень. Крім того, справедливі наступні властивості:
Перенос квантора через заперечення.
(x)A(x)(x)A(x);(x)A(x)(x)A(x);
Винесення квантора за дужки.
(х)(А(х) &B)(x)A(x) & B; (x)(A(x) &B)(x)A(x) &B;
(х)(А(х)B)(x)A(x)B; (x)(A(x)B)(x)A(x)B;
Перестановка однойменних кванторів.
(y)(x)A(x,y)(x)(y)A(x,y); (y)(x)A(x,y)(x)(y)A(x,y);
Перейменування зв'язаних змінних. Якщо замінити зв'язану змінну формули А іншою змінною, що не входить у цю формулу, у кванторі й усюди в області дії квантора одержуємо формулу, рівносильнуА.
Числення предикатів базується на наведених вище властивостях і правилах, називаних аксіомами.
Якими б не були формули А и В для них справедливі наступні аксіоми:
1) A(BA);
2) (A(BC))((AB)(AC));
3) (BA)((BA)B);
4) (xi)A(xi)A(xj), де формулаА(хi) не містить змінноїxi.
5) A(xi)(xj)A(xj), де формулаА(хi) не містить змінноїxi.