- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Розклад багаточлена на множники.
Визначення.Функція виглядуf(x)називаєтьсяцілою раціональноюфункцією відх.
Теорема Безу.(Етьєн Безу (1730–1783) – французький математик)
При діленні багаточлена f(x) на різницю x – a виходить остача, рівна f(a).
Доведення.При діленні багаточленаf(x) на різницюx – a часткою буде багаточленf1(x) степеня на одиницю меншого, ніжf(x), а остачею – стале числоR.
Переходячи до границі при х a, одержуємоf(a) = R.
Наслідок.Якщо, а – корінь багаточлена, тобто f(a) = 0, то багаточлен f(x) ділиться на (х – а) без остачі.
Визначення.Якщо рівняння має виглядР(х) = 0, деР(х) – багаточлен степеняn, то це рівняння називаєтьсяалгебраїчнимрівнянням ступеняn.
Теорема.(Основна теорема алгебри)Усяка ціла раціональна функція f(x) має, принаймні, один корінь, дійсний або комплексний.
Теорема.Усякий багаточлен n-го степеня розкладається на n лінійних множників вигляду (x – a) і множник, що дорівнює коефіцієнту при xn.
Теорема.Якщо два багаточлени тотожно рівні один одному, то коефіцієнти одного багаточлена дорівнюють відповідним коефіцієнтам іншого.
Якщо серед коренів багаточлена зустрічаються кратні коріння, то розклад на множники має вигляд:
ki– кратність відповідного кореня.
Звідси випливає, що будь-який багаточлен n-го степеня має рівно n коренів (дійсних або комплексних).
Ця властивість має велике значення для розв’язання алгебраїчних рівнянь, диференціальних рівнянь і відіграє важливу роль в аналізі функцій.
Розгляньмо кілька прикладів дій з комплексними числами.
Приклад.Дано два комплексних числа. Потрібно а) знайти значення виразув алгебраїчній формі, б) для числазнайти тригонометричну форму, знайтиz20, знайти корінь рівняння
Очевидно, справедливе наступне перетворення:
Далі виконуємо ділення двох комплексних чисел:
Одержуємо значення заданого виразу: 16(–i)4 = 16i4=16.
б) Число представимо у вигляді, де
Тоді .
Для знаходження скористаємося формулою Муавра.
Якщо , то
Лінійна алгебра. Основні визначення.
Визначення.Матрицеюрозміруmn, деm– число рядків,n– число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих у певному порядку. Ці числа називаються елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка й стовпця, на перетині яких він перебуває. Елементи матриці позначаютьсяaij, деi –номер рядка, аj– номер стовпця.
А=
Основні дії над матрицями.
Матриця може складатися як з одного рядка, так і з одного стовпця. Загалом кажучи, матриця може складатися навіть із одного елемента.
Визначення.Якщо число стовпців матриці дорівнює числу рядків (m=n), то матриця називаєтьсяквадратною.
Визначення.Матриця вигляду:
=E,
називаєтьсяодиничною матрицею.
Визначення.Якщоamn = anm , то матриця називаєтьсясиметричною.
Приклад.– симетрична матриця
Визначення. Квадратна матриця видуназиваєтьсядіагональною матрицею.
Додавання й відніманняматриць зводиться до відповідних операцій над їхніми елементами. Найголовнішою властивістю цих операцій є те, що вонивизначені тільки для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції додавання й віднімання матриць:
Визначення. Сумою (різницею) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.
cij = aij bij
C = А + В = В + А.
Операція множення (ділення)матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (ділення) кожного елемента матриці на це число.
(А В) =А В
А() =АА
Приклад.Дано матриціА=;B=, знайти 2А+В.
2А=, 2А+В=.