- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
Визначення.Якщо кожному натуральному числуnпоставлено у відповідність числохn, то говорять, що заданопослідовність
x1,х2, …,хn = {xn}
Загальний елемент послідовності є функцією відn.
xn=f(n)
У такий спосіб послідовність може розглядатися як функція.
Задати послідовність можна різними способами – головне, щоб був зазначений спосіб одержання будь-якого члена послідовності.
Приклад.{xn} = {(–1)n} або {xn} = –1; 1; –1; 1; …
{xn} = {sinn/2} або {xn} = 1; 0; 1; 0; …
Для послідовностей можна визначити наступні операції:
Множення послідовності на число m:m{xn} = {mxn}, тобто mx1, mx2, …
Додавання (вирахування) послідовностей: {xn}{yn} = {xnyn}.
Добуток послідовностей: {xn}{yn} = {xnyn}.
Частка послідовностей: при {yn}0.
Обмежені й необмежені послідовності.
Визначення.Послідовність {xn} називаєтьсяобмеженою, якщо існує таке числоМ>0, що для будь-якогоnвірне нерівність:
тобто всі члени послідовності належать проміжку (–М;M).
Визначення.Послідовність {xn} називаєтьсяобмеженою згори, якщо для будь-якогоnіснує таке числоМ, що
Визначення.Послідовність {xn}називаєтьсяобмеженої знизу, якщо для будь-якогоnіснує таке числоМ, що
Приклад.{xn} =n– обмежена знизу {1, 2, 3, … }...
Визначення.Числоаназиваєтьсяграницеюпослідовності {xn}, якщо для будь-якого позитивного >0 існує такий номерN, що для всіхn>Nвиконується умова:
Це записується: .
У цьому випадку говорять, що послідовність {xn}збігаєтьсядоаприn.
Властивість:Якщо відкинути яке-небудь або число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.
Приклад.Довести, що границя послідовності.
Нехай при n>Nвірно, тобто. Це вірно при, таким чином, якщо заNвзяти цілу частину від, то твердження, наведене вище, виконується.
Приклад.Показати, що приnпослідовність 3,має границею число 2.
Отже: {xn}= 2 + 1/n; 1/n=xn– 2
Очевидно, що існує таке число n, що, тобто.
Теорема.Послідовність не може мати більше однієї границі.
Доведення.Припустимо, що послідовність {xn} має дві границіaіb, не рівні один одному.
xna;xnb;ab.
Тоді за визначенням існує таке число >0, що
Запишемо вираз:
А тому що –будь-яке число, те, тобто a = b. Теорему доведено.
Теорема.Якщо xn a, то.
Доведення.Зxn aтреба, що. У той же час:
, тобто, тобто. Теорему доведено.
Теорема.Якщо xn a, то послідовність {xn} обмежена.
Слід зазначити, що обернене твердження невірне, тобто з обмеженості послідовності не слідує її збіжність.
Наприклад, послідовність не має границі, хоча
Монотонні послідовності.
Визначення.1) Якщоxn+1>xnдля всіхn, то послідовність зростаюча.
2) Якщо xn+1xnдля всіхn, то послідовність неспадна.
3) Якщо xn+1<xnдля всіхn, те послідовність спадна.
4) Якщо xn+1xnдля всіхn, те послідовність незростаюча
Всі ці послідовності називаються монотонними.Зростаючі й спадні послідовності називаютьсястрого монотонними.
Приклад.{xn} = 1/n– спадна й обмежена
{xn} =n– зростаюча й необмежена.
Приклад.Довести, що послідовність {xn}=монотонна зростаюча.
Знайдемо член послідовності {xn+1}=
Знайдемо знак різниці: {xn}–{xn+1}=
, тому що, то знаменник додатний при будь-якомуn.
Таким чином, xn+1>xn. Послідовність зростаюча, що й слід було довести.
Приклад.З'ясувати чи є зростаючою або спадною послідовність {xn} =.
Знайдемо . Знайдемо різницю
, тому що, то 1 – 4n<0, тобтохn+1<xn. Послідовність монотонно спадає.
Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони.
Теорема.Монотонна обмежена послідовність має границю.
Доведення.Розглянемо монотонну неспадну послідовність
Ця послідовність обмежена зверху: , деМ– деяке число.
Оскільки будь-яка, обмежене згори, числова множина має чітку верхню грань, то для кожного > 0 існує таке числоN, щоx>a–, деа– деяка верхня грань множини.
Оскільки {xn} – неспадна послідовність, то приN>n,xn>a–.
Звідси a–<xn<a+
– < xn–a<абоxn–a<, тобто.
Для інших монотонних послідовностей доведення аналогічно. Теорему доведено.