- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Нескінченно малі функції.
Визначення.Функціяf(x) називаєтьсянескінченно малоюприха, деаможе бути числом або однією з величин, +або –, якщо.
Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значенняхафункція може бути нескінченно малою чи ні.
Приклад.Функціяf(x) =xnє нескінченно малою прих0 і не є нескінченно малою прих1, тому що.
Теорема.Для того, щоб функція f(x) при мала границю, рівну А, необхідно й достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова
де – нескінченно мала при(при.
Властивості нескінченно малих функцій:
Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .
Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .
Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х=ає нескінченно малою функцією при .
Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.
Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, наведемо доведення деяких теорем про границі, наведених вище.
Доведення теореми 2.Представимо,, де
, тоді
A+B= const,– нескінченно мала, значить
Теорему доведено.
Доведення теореми 3.Представимо,, де
, тоді
,і– нескінченно малі, значить
Теорему доведено.
Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
Визначення.Границя функціїf(x) приха, деа– число, щодорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числаМ>0 існує таке число>0, що нерівність
виконується при всіх х, що задовольняють умові
Записується .
Властиво, якщо в наведеному вище визначенні замінити умову наf(x)>M, то одержимо:
а якщо замінити на f(x)<M, то:
Графічно наведені вище випадки можна проілюструвати в такий спосіб:
axaxax
Визначення.Функція називаєтьсянескінченно великою приха, деа– число або одна з величин, +або –, якщо, деА– число або одна з величин, +або –.
Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється у відповідності з наступною теоремою.
Теорема.Якщопри(якщо ) і не обертається в нуль, то
Порівняння нескінченно малих функцій.
Нехай ,і– нескінченно малі функції при . Будемо позначати ці функції,івідповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати за швидкістю їхнього спадання, тобто за швидкістю їх прямування до нуля.
Наприклад, функція f(x) =x10прямує до нуля швидше, ніж функціяf(x) =x.
Визначення.Якщо, то функціяназиваєтьсянескінченно малою вищого порядку, ніж функція.
Визначення.Якщо, тоіназиваютьсянескінченно малими одного порядку.
Визначення.Якщото функціїіназиваютьсяеквівалентними нескінченно малими. Записують.
Приклад.Порівняємо нескінченно малі прих0 функціїf(x) =x10іf(x) =x.
тобто функція f(x) =x10– нескінченно мала вищого порядку, ніжf(x) =x.
Визначення.Нескінченно мала функціяназиваєтьсянескінченно малою порядку k відносно нескінченно малої функції, якщо границяскінченна й відмінна від нуля.
Однак, слід зазначити, що не всі нескінченно малі функції можна порівнювати між собою. Наприклад, якщо відношення не має границі, то функції непорівнянні.
Приклад.Якщо, то прих0, тобто функція– нескінченно мала порядку 2 щодо функції.
Приклад.Якщо, то прих0не існує, тобто функціяінепорівнянні.