- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
Якщо з деякої кількості елементів, різних між собою, складати різні комбінації, то серед них можна виділити три типи комбінацій, що носять загальну назву – з'єднання.
Розглянемо докладніше ці три типи з'єднань:
1)Перестановки.
Визначення.Якщо в деякій множиніпереставляти місцями елементи, залишаючи незмінною їх кількість, то кожна отримана в такий спосіб комбінація називаєтьсяперестановкою.
Загальне число перестановок зmелементів позначаєтьсяPmі обчислюється за формулою:
2)Розміщення.
Визначення.Якщо складати зтрізних елементів групи поnелементів у кожній, розташовуючи взяті елементи у різному порядку. Комбінації, що вийшлиприцьому,називаютьсярозміщеннями зтелементів поn.
Загальне число таких розміщень розраховуються за формулою:
Загалом кажучи, перестановки є частковим випадком розміщень.
3)Сполучення.
Визначення.Якщо зтелементів складати групи попелементів у кожній, не звертаючи уваги на порядок елементів у групі, то комбінації, що вийшли при цьому,називаютьсясполученнямизтелементів поn.
Загальне число сполучень знаходиться за формулою:
Також одним з варіантів комбінацій є перестановки з повторюваними елементами.
Якщо середтелементів єт1однакових елементів одного типу,т2однакових елементів іншого типу і далі, то при перестановці цих елементів усілякими способами одержуємо комбінації, кількість яких визначається за формулою:
Приклад.Номер автомобіля складається із трьох літер і трьох цифр. Скільки різних номерів можна скласти, використовуючи 10 цифр і алфавіт з 30 літер.
Очевидно, що кількість всіх можливих комбінацій з 10 цифр по 4 дорівнює 10.000.
Число всіх можливих комбінацій з 30 літер по двом дорівнює . Якщо врахувати можливість того, що літери можуть повторюватися, то число повторюваних комбінацій дорівнює 30 (одна можливість повтору для кожної літери). Разом, повна кількість комбінацій по дві літери дорівнює 900.
Якщо до номера додається ще одна літера з алфавіту в 30 літер, то кількість комбінацій збільшується в 30 разів, тобто досягає 27.000 комбінацій.
Остаточно, оскільки кожній літерній комбінації можна поставити у відповідність числову комбінацію, то повна кількість автомобільних номерів дорівнює 270.000.000.
Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
Надалібуде отримано формулу бінома Ньютона за допомогою прийомів диференціального числення.
Біном Ньютона – це формула, що виражає вираз (a + b)n у вигляді багаточлена. Ця формула має вигляд:
– числосполученьзпелементів поk.
Широко відомі формули скороченого множення квадрата суми й різниці, куба суми й різниці, є окремими випадками бінома Ньютона.
Коли ступінь бінома невисокий, коефіцієнти багаточлена можуть бути знайдені не розрахунком по формулі кількості сполучень, а за допомогою так званого трикутника Паскаля. (Блез Паскаль (1623–1662) – французький математик).
Цей трикутник має вигляд:
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
…………………
Формула бінома Ньютона може бути узагальнена для довільного числа доданків.
Нагадаємо, що при обчисленнях 0! приймається рівним 1.
Приклад.У розкладаннізнайти члени, що містятьх, якщоk=3, p=2, n=8, =9.
За формулою бінома Ньютона маємо:
З врахуванням числових значень:
В принципі, можна написати розклад цього виразу в багаточлен, визначити коефіцієнти або безпосередньо, або із трикутника Паскаля (степінь бінома порівняно невеликий), однак, робити це не обов'язково, тому що необхідно знайти тільки член розкладу, що містить х9.
Знайдемо число i, що відповідає цьому члену:
Знаходимо:
Приклад.У розкладізнайти члени, щомістятьx.т=9, =6.
За узагальненою формулою бінома Ньютона одержуємо:
Для знаходження повного розкладу необхідно визначити всі можливі значення ni, однак, це пов'язане з величезними обчисленнями. Однак, оскільки треба знайти тільки члени, що містятьх6, тоn1= 6, а сума всіх чотирьох значеньпдорівнює 9. Виходить, сумап2 + п3 + п4= 3.
Розглянемо можливі значення цих величин:
n2 |
0 |
0 |
3 |
1 |
1 |
0 |
2 |
0 |
2 |
1 |
n3 |
0 |
3 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
n4 |
3 |
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Шукані члени розкладу: