Операція множення матриць.

Визначення:Добуткомматриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:

AB=C;

.

З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.

Властивості операції множення матриць.

1) Множення матриць не комутативне, тобто АВВАнавіть якщо визначені обидва добутки. Однак, якщо для яких-небудь матриць співвідношенняАВ=ВАвиконується, то такі матриці називаються комутуючими.

Найхарактернішим прикладом може слугувати одиничнаматриця, що є комутуючою з будь-якою іншою матрицею того ж розміру.

Комутуючими можуть бути тільки квадратні матриці того самого порядку.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступну властивість:

AO = O; OA = O,

де О–нульова матриця.

2) Операція перемножування матриць асоціативна,тобто якщо визначені добуткиАВі (АВ)С, то визначеніВСіА(ВС), і виконується рівність:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операція множення матриць дистрибутивнастосовно додавання, тобто якщо мають сенс виразуА(В+С) і (А+В)С, те відповідно:

А(В+С) =АВ+АС

(А+В)С=АС+ВС.

4) Якщо добуток АВвизначений, то для будь-якого числавірне співвідношення:

 (AB) = (A)B=A(B).

5) Якщо визначено добуток АВ, те визначений добутокВ^ТА^Ті виконується рівність:

(АВ)^Т =В^ТА^Т, де

індексом Т позначається транспонованаматриця.

6) Відмітимо також, що для будь-яких квадратних матриць det (AB) = detAdetB.

Поняття det (визначник, детермінант) буде розглянуто нижче.

Визначення.МатрицюВназиваютьтранспонованою матрицеюА, а перехід відАкВтранспонуванням, якщо елементи кожного рядка матриціАзаписати в тім же порядку в стовпці матриціВ.

А=;В=А^Т=;

інакше кажучи, b_ji=a_ij.

Як наслідок з попередньої властивості (5) можна записати, що:

(ABC)^T=C^TB^TA^T,

за умови, що визначено добуток матриць АВС.

Приклад.Дано матриціА=,В=,С=і число= 2. ЗнайтиА^ТВ+С.

A^T=;A^TB===;

C=;А^ТВ+С=+=.

Приклад.Знайти добуток матрицьА=іВ=.

АВ==.

ВА== 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Приклад.Знайти добуток матрицьА=,В=

АВ===.

Визначники (детермінанти).

Визначення.Визначником квадратної матриціА=називається число, що може бути обчислене по елементах матриці по формулі:

det A=, де

М_1k– детермінант матриці, отриманої з вихідної викреслюванням першого рядка йk-го стовпця. Варто звернути увагу на те, що визначники мають тільки квадратні матриці, тобто матриці, у яких число рядків дорівнює числу стовпців.

Попередня формула дозволяє обчислити визначник матриці за першим рядком, також справедлива формула обчислення визначника за першим стовпцем:

det A=

Загалом кажучи, визначник може обчислюватися за будь-яким рядком або стовпцем матриці, тобто справедлива формула:

det А=,i= 1,2,…,n...

Очевидно, що різні матриці можуть мати однакові визначники.

Визначник одиничної матриці дорівнює 1.

Для зазначеної матриці АчислоМ_1kназиваєтьсядодатковим міноромелемента матриціa_1k. Таким чином, можна помітити, що кожний елемент матриці має свій додатковий мінор. Додаткові мінори існують тільки у квадратних матрицях.

Визначення.Додатковий мінордовільного елемента квадратної матриціa_ijдорівнює матриці, отримана з вихідної викреслюваннямi-го рядка таj-го стовпця.

Властивість1.Важливою властивістю визначників є наступне співвідношення:

det A= detA^T;

Властивість 2. det (AB) = detAdetB.

Властивість 3.det (AB ) = detAdetB

Властивість 4.Якщо у квадратній матриці поміняти місцями які-небудь два рядки (або стовпці), то визначник матриці змінить знак, не змінившись за абсолютною величиною.

Властивість 5.При множенні стовпця (або рядка) матриці на число її визначник множиться на це число.

Визначення: Стовпці (рядки) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їхня лінійна комбінація, рівна нулю, що має нетривіальні (не рівні нулю) розв’язки.

Властивість 6.Якщо в матриціАрядки або стовпці лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю.

Властивість 7.Якщо матриця містить нульовий стовпець або нульовий рядок, то її визначник дорівнює нулю. (Дане твердження очевидно, тому що рахувати визначник можна саме за нульовим рядком або стовпцем.)

Властивість 8.Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів однієї з його рядків(стовпця) додати(відняти) елементи іншого рядка(стовпця), помножені на яке-небудь число, не рівне нулю.

Властивість 9.Якщо для елементів якого-небудь рядка або стовпця матриці вірне співвідношення:d = d₁  d₂ , e = e₁  e₂ , f = f₁  f₂ , то вірно:

Приклад.Обчислити визначник матриціА=

= –5 + 18 + 6 = 19.

Приклад:. Дано матриціА=,В=. Знайти det (AB).

1-й спосіб: det A= 4 – 6 = –2; detB= 15 – 2 = 13; det (AB) = detAdetB= –26.

2- й спосіб: AB=, det (AB) = 718 – 819 = 126 –

– 152 = – 26.