SimulationPhysProc_1_81

t

Рис. 1. Формирование импульса мощности реактора Nr(t) и лазерного блока Nb(t) во времени при коэффициенте связи krb = 0, 0.001, 0.0015

Из-за сильного отличия времён жизни нейтронов в реакторе и блоке динамика формирования импульсов в этих системах значительно различается. Из рис. 1 видно, что реакторный импульс формируется за доли мсек и имеет длительность по полувысоте такого же порядка,а импульс в лазерном блоке формируется в течение нескольких мсек и имеет длительность, в десятки раз превышающую длительность импульса в реакторе.

Упражнения

1. Используя символьный процессор MathCAD, получить стационарные решения системы уравнений для мощности и энергии реакторнолазерной системы. При заданных выше параметрах оценить полное энерговыделение в реакторе и активной среде лазерного блока.

2.Выполнить операцию обезразмеривания системы уравнений, принимая во внимание выбранные масштабы переменных.

3.Рассчитать зависимость от времени энерговыделения в реакторе и лазерном блоке. Сопоставить результат со стационарным решением.

4.Выполнить оценку жесткости полученной системы уравнений. Как зависит жесткость системы уравнений от коэффициента связи krb ?

5.Решить данную систему дифференциальных уравнений, используя встроенные функции Stiffr(.) или Stiffb(.). Насколько эффективнее применение методов решения жестких систем по сравнению с обычными методами?

6.Определить тип особых точек данной системы дифференциальных уравнений и проанализировать их устойчивость.

71

Глава 8. Стационарное уравнение Шредингера

Задача на собственные значения для оператора энергии в квантовой механике сводится к решению стационарного уравнения Шредингера

В одномерной задаче, когда Ψ(r) = R(r), а потенциальное поле зависит только от одной декартовой координаты, уравнение для связанных состояний с энергией Е имеет вид (см.[1,4])

Если потенциальное поле V(r) , в котором находится частица, обладает осевой или сферической симметрией, получаемое после разделения переменных радиальное уравнение приводится к тому же виду. Для цилиндрических и сферических координат замена переменных и

Здесь μ – приведенная масса частиц, m и L – квантовые числа углового момента, Y(θ,φ) – соответствующая сферическая гармоника, используются однородные граничные условия R(0) = 0 и R( ∞) = 0, а условие

Будем считать, что функция V(r) обеспечивает существование связанных состояний (см.[1,4]), а волновая функция R(r) непрерывна и имеет нужное для алгоритма число непрерывных производных.

72

Метод Нумерова и метод стрельбы

Рассмотрим алгоритм численного решения - определение волновой функции R(r) и уровней энергии E, в предположении, что дифференциальная задача корректно поставлена и потенциал имеет не более одной (слева и справа) классических точек поворота. Будем искать решение задачи на конечном интервале [rmin , rmax], за пределами которого волновую функцию даже для высоко-возбужденных состояний можно считать равной нулю. Границы этого интервала являются параметрами расчета и должны уточняться в каждой конкретной ситуации. В сферическом и цилиндрическом случаях rmin будем полагать равным нулю. На этом интервале выберем равномерную сетку и выпишем трехточечную конечно - разностную аппроксимацию для второй производной волновой функции R

Входящую сюда четвертую производную выразим с помощью дифференциального уравнения

Подставляя вторую производную в исходное уравнение и группируя слагаемые, получаем рекурентное соотношение, аппроксимирующее

Отметим, что здесь функция k(rn,E) параметрически зависит от энергии.

Задавая значения функции в двух крайних точках сетки на левой границе, можно вычислить функцию во всех остальных точках и наоборот. Для решения задачи на собственные значения с однородными краевы-

73

ми условиями воспользуемся методом "встречной стрельбы", согласно которому (см. [3,5,6]) при "разумном выборе" энергии Е, с помощью полученного выше рекурентного соотношения, заданных нулевых значениях функции в крайних точках интервала и произвольных, но малых значениях в соседних с ними точках, можно вычислить функцию слева и справа до некоторой точки rc. В этой точке нужно выполнить условия непрерывности для функции и ее первой производной в соответствии с требованиями комплекса стандартных условий, налагаемых на волновую функцию (см.[1,2,4,8])

Аппроксимация этих условий с помощью "разности назад" позволяет получить уравнение для определения неизвестных значений энергии Е, где знаменатель введен для масштабирования значений функции f(E)

f(E) = R(1rc) (Rright(rc − r) − Rleft(rc − r)) = 0 .

После решения этого уравнения и нахождения энергии Е следует вновь вычислить волновую функцию для найденного собственного значения. В качестве точки rc можно выбрать любую точку, например, из классически разрешенной области.

Выбор варианта "встречной стрельбы" объясняется тем, что решение в классически разрешенных областях является осциллирующим, тогда как в классически запрещенных областях оно содержит экспоненциальные вклады. При попытке счета в направлении вовнутрь классически запрещенной области одно из двух фундаментальных решений становится численно неустойчивым и приводит к появлению нефизического экспоненциально нарастающего решения (например, см. [3]).

Для потенциалов, имеющих более двух точек поворота, и, соответственно, три или более однородных решения, каждое из которых точно в своей области, общее решение должно сшиваться из нужного числа отдельных фрагментов.

Энергетические уровни чармония

В качестве примера решения задачи о собственных значениях для стационарного уравнения Шредингера выполним расчет уровней энергии двухкварковой системы (cм.[19]), открытой в 1974г. в экспериментах на электрон-позитронном коллайдере в Стенфорде и в продуктах реакции p+Be на протонном ускорителе в Брукхейвене и названной J/ψ - частицей. В спектре масс частице соответствовал резонанс с положением около 3.1 GeV и полушириной порядка 50 keV. Мезон J/ψ является одним из возбужденных состояний чармония.

74

Описанный выше алгоритм расчета значений волновой функции R(r) методом встречной стрельбы и значений функции f(E), получаемых на основе условий непрерывности, реализован в программе YNum(.).

Входные данные: a и b - границы области определения R(r), N- число интервалов разбиения, е - энергия, L - квантовое число полного момента, ε - параметр краевых условий стрельбы. Программа YNum(.) возвращает вектор значений R(r), в котором последний элемент - значение f(E).

75

YN−1 ← ε

kb ← 2 k2(b ,e,L)

kc ← 2 k2(b − r,e,L)

for n N − 1 ,N − 2 .. Nc + 1

ka ← 2 k2 a + r (n − 1) ,e,L

β ← 1 + kb

76

Для найденного значения энергии e0 выполняем окончательный расчет волновой функции, нормируем и строим графики функций R и ψ = R/r.

ri

Рис. 3. Радиальная волновая функция 3D-состояния чармония

Как видно из рис. 2, на графике функции f(E) имеются нерегулярности, например, в точках Е = 1.54 , 2.02 и т.д. Эти точки не соответствуют физически реализуемым состояниям и являются побочными эффектами расчета. В этом легко убедиться, проверяя, удовлетворяет ли найденная волновая функция для последовательных состояний требованиям теоремы о нулях (см. [1,4]).

Упражнения

1. Построить расчетную формулу метода НумероваКаулинга для не-

однородного уравнения вида R(r)'' + k(r,E)2 R(r) = S(r) .

2. Используя предложенную программу расчета, проанализировать зависимость значений волновой функции от входных данных задачи и параметра TOL. Правильно ли они выбраны для рассчитываемого 3Dсостояния? Как их можно изменить при расчете S и P-состояний?

3. Вычислить и составить таблицу уровней энергии и средних значений радиуса чармония, используя предложенную программу расчета. Удовлетворяют ли найденные волновые функции теореме о нулях? Вероятность аннигиляции кварка и антикварка (см. [20,21]) пропорцио-

78

нальна квадрату модуля волновой функции в нуле |ψ(0)|2. Вычислить

еедля найденных волновых функций. Как она зависит от шага сетки?

5.Найти уровни энергии и волновые функции атома водорода и позитрония – связанного состояния электрона и позитрона; сравнить с [1,4].

6.Мезон боттомоний представляет собой связанное состояние b b

прелестного (beauty) кварка и его антикварка [20]. Пусть масса b-кварка равна mb= 4.77 GeV, а параметры потенциала α, β остаются прежними. Рассчитать и составить таблицу уровней энергии и средних значений радиуса боттомония, используя предложенную программу расчета. Удовлетворяют ли найденные волновые функции теореме о нулях?

7. Рассчитать уровни энергии и волновые функции частицы, движущейся в однородном гравитационном поле над поверхностью земли и упруго отражающейся от нее. Полученные результаты сопоставить с точным решением (см. [2]). Потенциал и граничные условия задачи имеют вид:

0 < x < ∞ V(x) = if (x < 0 ,∞,m g x) Ψ(0) = 0 Ψ(∞) = 0 .

8. Найти энергии и волновые функции состояний в полях (см. [1,2,4]):

а) V(x) =α |x| ; б) V(x) = –Vo/cosh(x/a)2; в) V(x)= Vo (a/x – x/a)2, (x>0);

г) потенциале Морса и (6-12) с параметрами молекулы Н2 (см. гл.1);

д) потенциала Хюльтена V(r) = – V0exp(–r/a)/(1–exp(–r/a)), при L = 0; е) потенциала Кратцера V(r) = – 2D (a/r – a2/(2r2)) , при L ≥ 0 .

9. Вычислить уровни энергии и волновые функции состояний электрона

в квантовых системах (GaAs, mef = 0.067me , внешнее поле ε = 1meV/A)

а) яма с V(x) = if (x < 0 ,0 ,if (x > a,−a ε,−Vo − x ε)), а=100А, Vо=1eV;

б) треугольная яма с полемV(x) = if (x < 0 ,∞,ε x); в) квантовое кольцо с V(r)= a/r2 +br2 –Vo, a= 9.1 108 meVA2, b= 2.2 10-7 meVA-2, Vo=2 a b.

10. Рассчитать одночастичные уровни энергии и волновые функции

11. Как изменятся результаты в предыдущей задаче с учетом спинорбитального взаимодействия? (Результаты можно сопоставить с [23]).

79

Литература

1.Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.

2.Флюгге З. Задачи по квантовой механике. т.1-2, М.: МИР, 1974.

3.Koonin S.E., Meredith D.C. Computational Physics. Addison-Wesley Pub. Company, CalTech, 1985.

4.Мессиа А. Квантовая механика. М.: Наука, т.1,2, 1978.

5.Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1976, -480с.

6.Пирумов У.Г. Численные методы.-М.: Дрофа, 2003, -224с.

7.Физические величины. Справочник. Под редакцией

И.С.Григорьева, Е.З.Мейлихова. М., Энергоатомиздат, 1991.

8.Матвеев А.Н. Атомная физика. -М.: Высш. шк., 1989, -439с.

9.Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. -М.: Мир., 1969.

10.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. -М.: Наука, 1988.

11.Экштайн В. Компьютерное моделирование взаимодействия частиц с поверхностью твердого тела. -М.: МИР, 1995, -321с.

12.Машкова Е.С., Молчанов В.А. Применение рассеяния ионов для анализа твердых тел. -М.: Энергоатомиздат, 1995, -176с.

13.Минкин В.И., Симкин Б.Я., Миняев Р.М. Теория строения молекул. Ростов-на-Дону, "Феникс", 1997, -560с.

14.Steinfeld J.I. et .al. Chemical Kinetics and Dynamics. Prentice Hall, 1999, p.179-216.

15.Печенкин В.А. Период нестационарности концентраций точечных дефектов в теории распухания металлов. ЖТФ т.52, в.9, с.1712-20 (1982)

16.Mansur L.K. Void swelling in metals and alloys under irradiation: an assessment of the theory. Nuclear Technology v.40, p. 5-34, 1978.

17.Карлов Н.В. Лекции по квантовой электронике. -М.: Наука, 1988.

18.Хакен Г. Лазерная светодинамика. -М.: Мир, 1988, -350с.

19.Готтфрид К., Вайскопф В. Концепции физики элементарных

частиц. -М.: МИР. 1988.

20.Быков А.А., Дремин И.М., Леонидов А.В. Потенциальные модели кваркония. УФН, т. 143, в. 1, с. 3-32 (1984).

21.Miller K.J. and Olsson M.G.. Phys. Rev. D25, (1982), p.2382; Durand L. et.al. Phys. Rev. D28, (1983), p.607.

22.Широков Ю.М, Юдин Н.П.. Ядерная физика. -М.: Наука,1980,-728с.

23.Михайлов В.М., Крафт О.Е. Ядерная физика. Изд-во ЛГУ,1988,328с.

80