Shpory_1

1 Уравнения первого порядка, разрешённые относительно производных. Их геометрическая интерпретация.

Рассмотрим уравнение 1-го порядка вида , предполагая, что функция определена в некоторой области . Область D – область определения уравнения. Чаще всего предполагается непрерывной в D. Решением на называется функция , непрерывная и непрерывно дифференцируемая на [a;b], для которой при и , .Здесь x пробегает некоторое множество. Если рассматривается , то говорят, что – решение уравнения на .

Общим решением уравнения в области D называется функция , удовлетворяющая условиям:

1. Для любой точки уравнение однозначно определяет .

2. Функция является решением уравнения .

Решение уравнения , получающееся из общего решения при конкретном задании постоянной C называется частным решением уравнения.

Решение, не являющееся частным решением, называется особым решением.

Геометрически решению уравнения отвечает интегральная линия на плоскости xy (график функции ), а общему решению – семейство интегральных линий. Заметим, что через любую точку в области проходит единственная интегральная линия из этого семейства.

Для уравнения можно поставить дополнительные условия: найти интегральную линию, проходящую через дополнительную точку . Получается начальное условие: . Имеем задачу Коши. Решить задачу Коши значит среди всех интегральных линий уравнения найти ту, которая проходит через данную точку .

Уравнение в области D задаёт векторное поле (поле касательных направлений).

Геометрически решить уравнение – это провести линии в области D так, чтобы в каждой точке такой линии касательная определялась векторным полем.

Изоклина – геометрическое место точек, в каждой точке которых векторы равны.

В дальнейшем будем считать, что переменные x и y в уравнении равноправны. В случае, когда установится неограниченным, можно рассматривать уравнение . Будем также записывать уравнение в виде , где в D.

Часто не удаётся получить решение уравнения в явном виде. Если решение удаётся получить в неявном виде – , – то такое конечное уравнение называется интегралом уравнения . Если в неявном виде получается общее решение уравнения , то имеем общий интеграл уравнения .

2 Уравнение с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнение в предположении, что определена на определена на . Такое уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными.

Т1. Пусть непрерывна на непрерывна на на . Тогда через любую точку прямоугольника проходит единственная интегральная линия уравнения .

Условие в теореме является условием единственности.

Условие является слишком ограничительным. Например, уравнение этому условию не удовлетворяет на , т.к. при .

Условие единственности можно заменить более общим: единственность сохраняется, если расходится (здесь ). При сходимости этого интеграла единственности может не быть.

Уравнение при непрерывной функции на при любых начальных значениях имеет единственное решение.

3 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Рассмотрим уравнение . Предположим, что функции M и N определены, непрерывны, непрерывно дифференцируемы и одновременно не обращаются в ноль в некоторой области D. Тогда уравнение – уравнение в полных дифференциалах, если .

Пусть . Тогда , т.е. . Таким образом, интегральные линии уравнения оказываются линиями уровня функции .

Функция называется первым интегралом уравнения .

Таким образом, общий интеграл уравнения можно получить, построив первый интеграл.

В случае односвязной области D уравнение является уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда .

Пусть уравнение – уравнение в полных дифференциалах. Для построения можно учесть, что и восстановить . Можно также воспользоваться формулой . Здесь вычисляется криволинейный интеграл II-го рода по кривой, соединяющей точки и . Точка – фиксированная точка из D. Результат интегрирования не зависит от выбора пути интегрирования, т.к. подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, следовательно, пути интегрирования можно выбирать по своему усмотрению. Часто удобным оказывается составить его из участков, параллельным координатным осям.

Если , уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, однако его можно попытаться привести к такому с помощью интегрирующего множителя . Умножим на и потребуем, чтобы полученное уравнение было уравнением в полных дифференциалах, т.е. является решением уравнения . Таким образом, выбирая функцию среди решений этого уравнения и умножая на неё исходное уравнение, получаем уравнение в полных дифференциалах. Такая функция называется интегрирующим множителем уравнения.

Заметим, что полученное уравнение является уравнением с частными производными I-го порядка. Решение такого уравнения в общем случае может оказаться более сложной задачей, чем решение исходного уравнения.

Нас интересует только одно решение этого уравнения и в некоторых случаях его можно подобрать.

4 Линейные уравнения первого порядка.

Линейными уравнениями I-го порядка будем называть уравнения вида . Здесь – коэффициент линейного уравнения, – неоднородность линейного уравнения.

Если , то уравнение называется неоднородным, иначе – однородным. Если в уравнении формально отбросить , то получится соответствующее однородное уравнение.

Будем полагать, что функции и определены на . Зафиксируем точку . Дополним линейное уравнение начальным условием . В результате мы получили задачу Коши.

Пусть и непрерывны на . Тогда задача Коши имеет единственное решение, определённое на .

1. Единственность: Пусть задача Коши имеет два различных решения и . Тогда удовлетворяет уравнению и начальному условию . Имеем уравнение с разделяющимися переменными, расходится, следовательно задача Коши имеет единственное решение (см. второе замечание § 1.2), что противоречит условию.

2. Существование: Пусть существует функция , являющаяся решением задачи Коши. Получим представление для неё: . Умножим обе части тождества на . Преобразуем получившееся выражение: . Таким образом, решение задачи Коши, если оно существует, представляется в виде этого тождества. Рассмотрим его. В правой части имеем непрерывно дифференцируемую функцию, определённую при . Подставив её в уравнение, проведя преобразования в обратном порядке, убедимся, что она – решение этого уравнения. Таким образом, решения задачи Коши существуют.

Линейное уравнение всегда имеет интегрирующий множитель .

Способы решения линейных уравнений:

1. Метод интегрирующего множителя.

2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) – это метод решения неоднородных уравнений. В нём можно выделить два этапа:

   1. Решаем соответствующее однородное уравнение . Общее решение – (C – любое число).

   2. Полагаем и ищем решение линейного уравнения в виде . Подставляем в уравнение: и . Отсюда . Подставим в . Здесь – любое число. Эта формула даёт общее решение линейного уравнения.

Следовательно, решение задачи Коши легко получить соответствующим . Общее решение неоднородного линейного уравнения, представляющееся суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного линейного уравнения, можно получить, решив соответствующее однородное уравнение и подобрав каким-либо образом частное решение неоднородного уравнения.

Общие свойства линейных уравнений:

1. Пусть – решение уравнения . Тогда – тоже решение этого же уравнения.

2. Пусть и – решения уравнения . Тогда – тоже решения этого же уравнения.

3. Принцип суперпозиции: пусть в неоднородном уравнении и – решение уравнения . Тогда – решение уравнения .

5. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешённого относительно производной. Особые точки. Особые решения

Рассмотрим уравнение , предполагая, что определена в области D. Зафиксируем точку и дополним уравнение начальным условием . В результате получим задачу Коши.

Пусть функция непрерывна в D, причём в любой ограниченной замкнутой подобласти удовлетворяет условию Липшица: , где L – постоянная Липшица, . Тогда найдётся отрезок и , на котором наша задача Коши имеет единственное решение.

Эта теорема часто называется теоремой Пикара. В ней непрерывность функции обеспечивает существование решения, а условие Липшица отвечает за его единственность.

При условиях теоремы уравнение имеет единственное решение вида , где C – произвольная постоянная.

Приведённая теорема позволяет выделять множество так называемых обыкновенных точек:

Точка называется обыкновенной (регулярной) точкой уравнения , если найдётся окрестность этой точки, через каждую точку которой проходит единственная интегральная линия уравнения.

Точка , не являющаяся обыкновенной, называется особой точкой уравнения.

Особые точки:

1. Граничные точки.

2. Точки неединственности.

3. Предельные точки для множества особых.

Особая точка называется изолированной, если найдётся окрестность этой точки, в которой нет других особых точек. В противном случае она называется неизолированной.

Если из особых точек составлена линия, то такая линия называется особой линией. Если особая линия является интегральной линией, то она называется особой интегральной линией.

Решение уравнения, соответствующее особой интегральной линии – особое решение.

Классическим примером особой интегральной линии является огибающая семейства интегральных линий (например, в уравнении ).

6. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной.

В общем случае уравнения первого порядка представляются в виде .

Уравнением, не разрешённым относительно производной, называют уравнение вида , которое не удаётся свести к виду .

Рассмотрим уравнение вида , предполагая, что определена в некоторой области . Пусть точка : найдётся такое p, что . Дополнив уравнение начальным условием , получим задачу Коши.

Задача Коши называется корректно поставленной, если через точку проходит конечное число интегральных линий уравнения , имеющих различные угловые коэффициенты.

В случае, когда задача Коши поставлена корректно, решение этой задачи можно выделить однозначно, дополнительно указав угловой коэффициент. Выбор углового коэффициента можно произвести, решая конечное уравнение относительно p. Тогда p и есть угловой коэффициент.

Пусть непрерывна в D и имеет непрерывные производные и . Пусть также в точке . Тогда задача Коши имеет единственное решение на некотором , удовлетворяющее условию .

Методы решения:

1. Прямое разрешение уравнения . Результат – система уравнений . Решая эту систему, находим решение исходного уравнения.

2. Параметризация. Интегральные линия уравнения описываются в параметрическом виде. В простейших случаях можно обойтись одним параметром: . Так решаются, например, уравнение Клеро и уравнение Лагранжа .

Для уравнений, неразрешённых относительно производной также можно ввести понятие особой точки, особого решения.

7 Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения порядка выше первого.

В общем случае уравнения порядка выше первого представляются в виде . Если такое уравнение приводится к виду , то оно называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Будем полагать, что f определена в области . Зафиксируем . Дополнив уравнение начальными условиями: получим задачу Коши.

Пусть функция f непрерывна в D и имеет в D непрерывные производные по всем аргументам, начиная со второго. Тогда найдётся отрезок , на котором задача Коши имеет единственное решение.

При условиях теоремы общее решение уравнения представляется в виде , где – произвольные постоянные.

Для доказательства теоремы часто уравнение сводят к системе уравнений. Вводятся новые переменные: . В результате получается система: . Начальные условия при этом принимают вид: . Таким образом, задача Коши сопоставляется с другой задачей Коши, составленной из новых переменных. Свойства системы подобны свойствам уравнения, разрешённого относительно производной из предыдущего раздела. Поэтому она может быть исследована прежними методами. Решив эту задачу Коши, выберем компоненту и получим решение старой задачи Коши.

Отметим, что под решением уравнения понимается функция непрерывная и имеющая непрерывные производные до порядка n включительно, которая, будучи подставленной в уравнение обращает его в тождество.

8 Линейные уравнения порядка n. Общие свойства линейных уравнений.

Под линейными уравнением будем понимать уравнение вида . Здесь – коэффициенты уравнения. Если , то уравнение называется уравнением с переменными коэффициентами. Если постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами. Функция – неоднородность уравнения. Если , то уравнение называется однородным. В противном случае – неоднородным. Если в неоднородном уравнении формально отбросить , то получится соответствующее однородное уравнение.

Введём формальный оператор . Тогда уравнение примет вид: .

Общие свойства линейных уравнений:

1. Пусть – решение . Тогда – решение этого же уравнения при .

2. Пусть и – решения уравнения . Тогда – решение .

3. (принцип суперпозиции) Пусть в уравнении неоднородность представляется в виде: . Пусть – решение уравнения . Тогда – решение .

Пусть – решения однородного уравнения. Тогда – решение этого же уравнения при .

Пусть – решение уравнения – решение . Тогда – решение уравнения .

Следствия дают программу дальнейших исследований. Первое следствие приведёт к общему решению однородного уравнения, а второе – к общему решению неоднородного уравнения.

Пусть уравнение с вещественными коэффициентами имеет комплексное решение . Тогда и – вещественные решения этого же уравнения.

В дальнейшем будем полагать, что функции и определены на .

Пусть . Дополним уравнение начальными условиями , где – заданные значения. Получим задачу Коши.

Пусть функции непрерывны на . Тогда задача Коши имеет единственное решение на всём .

Далее считаем, что – непрерывны на .

9 Решение однородных линейных уравнений

Пусть на рассматриваются функции . Эти функции называются линейно независимыми на , если линейная комбинация с постоянными только при , иначе – линейно зависимыми.

9 Теорема о линейно зависимых функциях: Пусть функции линейно зависимы на , непрерывны и имеют непрерывные производные до порядка . Тогда (определитель Вронского).

Функции по условию линейно зависимы, т.е. , для которых на . Тогда . Имеем систему тождеств. При каждом фиксированном x эту систему можно рассматривать как систему уравнений относительно . Это линейно однородная система, имеющая нетривиальные решения, следовательно, матрица системы вырожденная и её определитель .

Если хотя бы в одной точке , то функции линейно независимы.

10 Теорема о линейно независимых решениях однородного линейного ур-ия порядка n. ФСР: Пусть – решения уравнения . Тогда тогда и только тогда, когда линейно зависимы.

Система линейно независимых решений называется фундаментально системой решений (ФСР) этого уравнения. ФСР существует, т.к. решения , обладающие свойством линейной независимости можно построить так: . При этом .

11 Теорема об общем решении однородного линейного уравнения порядка n: Пусть – ФСР уравнения . Тогда – общее решение этого уравнения. Здесь – произвольные постоянные.

Система решений уравнения порядка n линейно зависима.

Множество решений линейного уравнения образует линейное пространство размерности n, причём ФСР – базис в этом пространстве.

Однородное линейное уравнение можно решить, построив ФСР. В общем случае уравнений с переменными коэффициентами общего метода построения ФСР нет. Возможно понижение порядка, если известно хотя бы одно нетривиальное решение уравнения. На этом пути в простейших случаях удаётся получить ФСР.

Уравнения с постоянными коэффициентами решаются всегда. ФСР однородного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно решить методом Эйлера.