Shpory_1

20 Линейные системы. Общие свойства линейных систем.

Рассмотрим системы вида . Такие системы будем называть линейными. Здесь A – матрица системы (матрица коэффициентов системы). Если A – постоянна, то эта система называется системой с постоянными коэффициентами, иначе – системой с переменными коэффициентами. Векторная функция – это неоднородность системы. Если , то система однородна, иначе – неоднородна.

Будем использовать обозначения: . Будем полагать, что и определены на .

Дополним систему условием: , где – фиксирована. Имеем задачу Коши. Пусть и непрерывны на . Тогда задача Коши имеет единственное решение на всём .

Общие свойства линейных систем:

1. Если – решение системы , то – тоже решение этой системы при любом постоянном С.

2. Если и – решения системы , то – тоже решение этой системы.

3. (Принцип суперпозиции) Пусть и пусть – решение системы . Тогда – решение системы .

4. Пусть – решения системы . Тогда – решения этой же системы при любых постоянных .

5. Пусть – любое частное решение системы – решение системы . Тогда – решение системы .

Пусть система имеет комплексное решение . Тогда функции и будут вещественными решениями этой системы.

21. Определитель Вронского для системы векторных функций. Теорема.ФСР

Пусть рассматривается система векторных функций . Эта система называется линейно независимой, если тогда и только тогда, когда , иначе система называется линейно зависимой.

1. Если – линейно зависимые решения системы, то определитель Вронского .

2. Если линейно независимые решения системы , то .

Система линейно независимых решений системы порядка n называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Функции ФСР получаются при решении задачи Коши.

Пусть – ФСР системы . Тогда – общее решение. Здесь любые постоянные.

Чтобы получить общее решение системы достаточно построить ФСР этой системы. В общем случае переменных коэффициентов общего метода построения ФСР в элементарных функциях нет. В случае постоянных коэффициентов ФСР системы можно получить всегда.

22. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему уравнений , где . Будем искать решение в виде . Подставляем , – собственный вектор, а  – собственное значение матрицы A. Собственные значения – корни характеристического (векового) уравнения . Это алгебраическое уравнение относительно  степени n.

1. Пусть уравнение имеет простые вещественные корни . Тогда матрица A имеет простые собственные значения . Каждому сопоставляем собственный вектор . Имеем собственные векторы . Они линейно независимы. По формуле получаем решение системы . Эти решения линейно независимы (т.к. определитель Вронского отличен от 0), их n, следовательно, они образуют ФСР. Общее решение системы .

2. Корни характеристического уравнения простые, но среди них есть комплексные. Пусть – корни уравнения . Они являются собственными значениями матрицы A. Пусть – какой-либо корень. Если он вещественный, то по формуле получаем решение: . Пусть теперь – комплексный корень, . Тогда в силу вещественности матрицы A существует ещё один корень . Этим комплексным значениям соответствуют комплексные собственные векторы и , причём , следовательно, корням и сопоставляется комплексные решения и . При этом , . Выбираем . В итоге двум комплексным корням поставлены в соответствие два вещественных решения. Разбираясь таким образом с каждым корнем уравнения , получаем n решений. Эти решения линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, следовательно, можно записать общее решение системы .

3. Пусть уравнение имеет корни , соответственно, кратности . Имеем . Если , то все корни простые. Этот случай уже рассмотрен. Пусть, тогда существует хотя бы один корень кратности . По-прежнему сопоставляем каждому корню решения системы , число которых равно кратности корня. Поскольку – кратный корень, ему можно сопоставить по формуле в общем случае несколько решений , где

4. – линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному значению . Если , недостающие решения можно искать в виде , где – неопределённые постоянные векторные коэффициенты (удобнее взять ). Выбирая , достраиваем недостающие решения до . Поступая таким образом с каждым кратным корнем, получаем n решений системы . В общем случае эти решения комплексные. Выделяя вещественные и мнимые части у построенных решений (как в пункте 2), получаем n вещественных решений системы . Они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР. Получаем общее решение системы . Отметим, что можно ограничиться и выбором комплексной ФСР. В этом случае при записи общего решения системы произвольные постоянные также должны быть комплексными.

Можно предложить ещё один способ решения систем уравнений с постоянными коэффициентами. Он позволяет решать и неоднородные системы : делаем замену , где C – невырожденная постоянная матрица. . Выбираем C таким, что – наиболее простая матрица, например, диагональная.

23. Теорема о общем решении неоднородной линейной системы.

24 Решения неоднородных линейных систем. Метод вариации постоянных. Матрица Коши.

Рассмотрим неоднородную систему .

Пусть – фундаментальные системы решений, соответствующие системе – частное решение системы . Тогда – общие решения системы , где – произвольное постоянные.

Общее решение неоднородной системы представляется суммой частного решения и общего решения соответствующей неоднородной системы.

Решить неоднородную систему можно, если подобрать какое-либо частное решение этой системы и решить соответствующую однородную систему. Если частное решение подобрать не удаётся, можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Пусть уже построена ФСР соответствующей однородной системы. Тогда её общее решение имеет вид . Полагая , будем искать решения системы в виде : , т.к. . Введём матрицу составив её из всех столбцов . Тогда уравнение запишется в виде . Заметим, что при , следовательно, . Интегрируя, получаем: , где . Заметим, что формула приводится к виду , где – матрица Коши. Здесь – общее решение соответствующей однородной системы, а – частное решение неоднородной системы.

. При фиксированном s матрицу Коши можно понимать как матричное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

25 Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки покоя.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений порядка . Предполагается, что определена при и и что выполнены условия теоремы существования и единственности решения. Будем полагать, что система имеет решение определённое при .

Решение называется устойчивым (по Ляпунову), если для при для любого решения , в начальный момент удовлетворяющего условию .

Решение называется притягивающим при , если для любого решения .

Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и является притягивающим.

Решение , которое не является устойчивым, будем называть неустойчивыми.

Обычно исследование на устойчивость произвольного решения сводят к исследованию на устойчивость тривиального решения. В противном случае можно сделать замену в уравнении . Решению соответствует . Т.к. , то , где . Заметим, что .

Исследуем на устойчивость в фазовом пространстве системы . Всякому постоянному решению отвечает точка. Такие точки мы будем называть точками покоя системы .

Все предыдущие определения легко переносятся в фазовые пространства. В этом случае можно говорить об устойчивых точках покоя, асимптотически устойчивых точках покоя, неустойчивых точках покоя. Если надо исследовать при , то можно сделать замену

26.Простейшие типы точек покоя на плоскости

Будем рассматривать систему в векторной форме: . Точки покоя этой системы можно найти, решая систему . Если , то эта система имеет единственное решение , иначе система имеет бесконечное множество решений. Ограничимся случаем .

1. Пусть и – собственные числа, и – соответствующие им собственные векторы. Общее решение системы представляется в виде .

1. точка покоя асимптотически устойчива. Называется устойчивым узлом.

2. . Фазовый портрет подобен предыдущему, но направление движения противоположно. Точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом.

3. (второй рисунок). Точка покоя является неустойчивой и называется седлом.

27. Случай комплексных корней хар. ур-ия

2. Пусть A имеет комплексные собственные числа: , и – соответствующие им собственные векторы. Тогда общее решение будет записываться в виде: . Удобнее записать его несколько иначе: (здесь – линейная комбинация и ).

1. Точка покоя устойчива. Асимптотической устойчивости нет. Точка покоя называется центром.

2. В первом случае точка покоя называется устойчивым фокусом. Она асимптотически устойчива. Во втором случае точка покоя называется неустойчивым фокусом.

28 Простейшие типы точек покоя на плоскости. (Случай кратных корней)

3. Матрица A имеет собственные значения , т.е. собственное значение является кратным. Тогда оно вещественное.

1. Собственному значению  соответствует два линейно независимых вектора и . Общее решение: . Все фазовые траектории прямолинейны. При точка покоя асимптотически устойчива. Она называется устойчивым дикритическим узлом. При точка покоя неустойчива. Она называется неустойчивым дикритическим узлом.

2. Собственному значению  соответствует один линейно независимый вектор . Общее решение: . Модно считать, что . Здесь при точка покоя асимптотически устойчива. Она называется устойчивым (вырожденным) узлом. При точка покоя неустойчива. Она называется неустойчивым (вырожденным) узлом.

Эта картина получается из первого случая при .

Отметим, что из условия следует, что матрица A не имеет нулевых собственных значений. Однако можно рассмотреть аналогичными методами и случай вырожденной матрицы A.

Проведённый анализ позволяет утверждать следующее:

1. Если все собственные значения матрицы имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя асимптотически устойчива (устойчивые узлы и фокусы).

2. Если хотя бы одно собственное значение матрицы имеет отрицательную вещественную часть, то точка покоя неустойчива (неустойчивые узлы, сёдла).

Во втором случае второе собственное значение может быть нулевым. В остальных случаях требуется дополнительное условие.

Приведённые утверждения остаются справедливыми, если порядок системы равен n.

29Исследование на устойчивость по первому приближению

Рассмотрим произвольную нелинейную систему . Предположим, что определена при . Пусть для этой системы выполнены условия теоремы существования и единственности и на . Последнее условие обеспечивает существование точки покоя . Далее будем полагать, что функция в окрестности точки допускает разложение , где имеет оценку: , где M и  – положительные постоянные. Сопоставим системе линейную систему . Эта система называется системой первого приближения, для первоначальной системы.

Система первого приближения называется стационарной, если матрица A постоянна.

Точка покоя системы является также точкой покоя и системы первого приближения.

Будем говорить, что система допускает исследование точки покоя на устойчивость по первому приближению, если эта точка является одновременно устойчивой (неустойчивой), как для системы , так и для системы .

В случае, когда система допускает исследование на устойчивость по первому приближению, это исследование можно провести для более удобной системы .

Пусть допускает разложение , где имеет оценку: , где M и  – положительные постоянные. Пусть при этом система первого приближения стационарна. Тогда

1. (теорема об устойчивости): Если все собственные значения матрицы A имеют отрицательную вещественную часть, то исследование на устойчивость по первому приближению точки покоя для системы возможно, причём точка покоя асимптотически устойчива.

2. (теорема о неустойчивости): Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то исследование на неустойчивость по первому приближению точки покоя для системы возможно, причём точка покоя неустойчива.

Эти теоремы не охватывают все возможные случаи. Так, они не работают, если у матрицы A все собственные значения с неположительной вещественной частью и есть собственное значение с нулевой вещественной частью. Такой случай называется критическим. В критическом случае исследование на устойчивость по первому приближению невозможно.

На неустойчивость либо неустойчивость точки покоя оказывают влияние только знаки вещественных частей собственных значений матрицы A, но не модули этих собственных значений. Отсюда следует, что для исследования на устойчивость достаточно установить знаки вещественных частей собственных значений, не решая векового уравнения. Для этого можно воспользоваться существующими критериями, например, критерием Гурвица.