SimulationPhysProc_1_81

Пусть отношение скорости релаксации разности населённостей поглотителя к скорости затухания интенсивности γ, отношение интенсивности насыщения активных атомов к интенсивности насыщения поглощающих атомов ε, отношение коэффициента поглощения к коэффициенту ослабления q – нормированный линейный коэффициент поглощения, принимают указанные ниже значения. Оценим пороговые значения накачки

61

Q

Рис. 4. К описанию бистабильности генерации лазера

Рис. 4 наглядно показывает, что при Q < Q0 у лазера возможно одно стационарное состояние J1 = 0; при Q0 < Q < Q1 возможны три стационарных состояния J1 = 0 и J2,3 > 0, а при Q > Q1 – два J1 = 0 и J2 > 0.

Исследование этих решений на устойчивость показывает, что 1) решение J3 при любых значениях параметра Q неустойчиво, 2) решение J 1 = 0 является устойчивым только при Q < Q1, и 3) решение J2 устойчиво только при Q > Q0. Таким образом, в лазере с нелинейным поглотителем могут быть созданы условия, при которых устойчивыми являются два стационарных состояния лазера. Лазерная система, находящаяся в таком состоянии, называется бистабильной.

После включения импульса накачки лазера коэффициент усиления растёт, соответственно увеличивается и величина параметра Q, но до тех пор, пока его величина не достигнет определённого порогового значения, генерация не начинается. Такому безгенерационному увеличению Q соответствует изменение интенсивности вдоль прямой J = J1 = 0.

При изменении Q в пределах Q0 < Q < Q1 лазер обладает двумя устойчивыми состояниями J1 и J2, но поскольку устойчивость состояния J1 сохраняется, то генерация не начинается. Как только значение Q превысит Q1 состояние J1 станет неустойчивым и интенсивность излучения скачкообразно переходит к устойчивому состоянию J2, чему на рис. 4 соответствует переход по прямой Q = Q1 от точки J = 0, Q = Q1 к точке

62

J = J2(Q1), Q = Q1. (Здесь мы анализируем поведение стационарных решений лазера. В действительности отмеченный переход происходит не мгновенно, а в течение определённого промежутка времени.)

При дальнейшем увеличении Q происходит нарастание интенсивности излучения вдоль линии J = J2(Q). На хвосте импульса накачки величина параметра Q уменьшается, соответственно по линии J =J2(Q) происходит уменьшение интенсивности излучения, которое продолжается до тех пор, пока Q не достигнет порога устойчивости генерационного состояния J2. При Q = Q0 происходит скачкообразное прекращение генерации, чему на рис. 4 соответствует переход вдоль прямой Q = Q 0 от точки J = J2(Q0), Q = Q0 к точке J = 0, Q = Q0. Последующее уменьшение Q сопровождается изменением интенсивности вдоль прямой J = J1 =0. В бистабильном лазере пороги начала и прекращения генерации не совпадают. Она начинается и заканчивается при ненулевых значениях.

Неустойчивая генерация, пульсации и хаос излучения

Обсуждавшееся выше условие устойчивости стационарных состояний, полученное на основе балансных уравнений, является лишь необходимым условием в силу их приближенного характера. Для установления условия абсолютной устойчивости стационарных состояний лазера необходимо провести анализ на устойчивость полной системы лазерных уравнений. Эта система включает в себя уравнения для интенсивности излучения J, разности населённостей рабочих уровней лазерного перехода D, квадрата поляризации активных атомов R и для работы поля излучения в единицу времени над активными атомами (-S).

Опуская детали вывода, выпишем окончательную форму уравнений:

где k – скорость затухания интенсивности излучения в резонаторе, нормированная на скорость релаксации поляризации активных атомов γp; γ – скорость релаксации разности населённостей, нормированная наγp; Q – отношение линейного усиления к потерям; τ = γpt – время, нормированное на γp; J = I/Iнас – отношение интенсивности излучения к интенсивности насыщения активных атомов. Все остальные величины в системе соответствующим образом отнормированы.

Система имеет следующие стационарные решения для интенсивности и разности населённостей: 1) J1 = 0, D1 = Q , устойчивые при Q < 1;

2) J2 = Q – 1 , D2 = 1, устойчивые при 1< Q < Qcr , k < kcr , где

63

Полученные результаты показывают, что стационарные генерационные решения системы при выполнении обоих неравенств не только совпадают с подобными решениями балансной системы уравнений стабильной генерации (2), но и являются устойчивыми. Новой интересной особенностью данной системы является то, что она предсказывает нарушение устойчивости стационарного генерационного решения при невыполнении неравенств с kcr и Qcr, т.е. если созданы такие условия, что выполняются оба неравенства k > kcr и Q > Qcr, то у лазера оба стационарных состояния становятся неустойчивыми. Лазер, находящейся в таком неустойчивом состоянии, генерирует излучение либо в виде регулярной последовательности импульсов (пичковый режим), либо в виде хаотических пульсаций. Выберем отношение скорости затухания излучения в резонаторе к скорости релаксации поляризации k, отношение скорости

релаксации разности населённостей к скорости релаксации поляризации активных атомов γ = 0.1– 0.4, оценим критические параметры, зададим начальные значения и рассчитаем интенсивность J и разность заселенностей D.

64

100

J 0 50

0 50

(J 0 ,D 0 ,S 0 )

J 3 50

0 50

(J 3 ,D 3 ,S 3 )

Рис. 5. Зависимости интенсивности J от времени τ и отразности заселенностей D при k = 8, Q = 12 и γ = 0.1, 0.4, иллюстрирующие переход от регулярных колебаний к хаосу при изменении параметра γ

Упражнения

1. Используя символьный процессор MathCAD, получить обсуждавшиеся выше стационарные решения для заселенностей уровней и спектральной плотности энергии. Построить графики зависимостей N1, N2

иW как функций от скорости накачки R.

2.Выполнить операцию обезразмеривания системы уравнений (1), принимая во внимание выбранные масштабы переменных.

3.Рассчитать зависимость от времени населенностей и плотности энергии в докритическом режиме. Сопоставить результат со стационарным решением.

4.Проанализировать зависимость от времени населенностей и плотности энергии в закритическом режиме при изменении скорости накачки

искорости спонтанного распада а21.

65

5. Выполнить оценку жесткости системы уравнений (1). Как зависит жесткость системы уравнений от скорости накачки r, скорости спонтанного распада а21.

6.Определить особые точки системы дифференциальных уравнений (1) и проанализировать их устойчивость.

7.Показать, что при Q < 1, независимо от величины параметра k, при любых начальных условиях решения системы уравнений (2) для J и α стремятся при τ >> 1 к стационарному решению с J = 0.

8.Показать, что при Q > 1, независимо от величины параметра k, при любых начальных условиях решения системы уравнений (2) для J и α стремятся при τ >> 1 к стационарному решению с J2 = Q – 1.

9.Исследовать характер установления стационарного решения c J2 для интенсивности в зависимости от величины параметра k.

10.Проанализировать процесс установления, протекания и прекращения генерации лазера при импульсной накачке, когда Q = Q(t) и не равна нулю в течение ограниченного промежутка времени, в уравнениях (2) .

11.В колебательном режиме установления генерации (см. уравнения (2)) получить зависимость периода Т и декремента затухания Г от k и Q.

12.Определить особые точки систем уравнений (3-4), построить в их окрестности фазовые портреты и проанализировать устойчивость особых точек. Могут ли среди них быть странные аттракторы?

13.Найти приведенные выше стационарные решения системы уравнений (4) и проанализировать их устойчивость. Получить выражения для критических значений параметра накачки. При каких условиях решение J3 отсутствует? Построить в этом случае зависимость J(Q).

14.Поскольку в лазерной активной среде всегда имеются возбуждённые атомы, испускающие спонтанное излучение, система уравнений (4) в более реалистичной постановке становится неоднородной за счет вклю-

чения Js – интенсивности излучения источников, нормированной на интенсивность насыщения Iнас. Выбирая начальные условия для J(0) =

Js = 10-10-10-6 и β(0) = q(0), рассчитать и построить графики зависимости J(Q). Как влияет Js на свойства стабильности системы?

15. Проанализировать процесс установления, протекания и прекращения генерации лазера при импульсной накачке в системе уравнений упр. 14, когда Q = Q(t) и не равна нулю в течение ограниченного промежутка времени, для различных соотношений между ε и 1 + 1/q.

66

Глава 7. Динамика реакторно-лазерной системы

Лазеры, в которых накачка осуществляется продуктами ядерных реакций (осколки деления урана, протоны, α - частицы), называют лазерами с ядерной накачкой. Поскольку в лазерах с ядерной накачкой происходит прямое преобразование ядерной энергии в когерентное оптическое излучение, то их также называют ядерно-оптическими преобразователями энергии. Сочетание возможности вкладывать в лазерную среду огромное количество энергии ядерных реакций с относительной компактностью и автономностью лазерной системы делает лазеры с ядерной накачкой одними из перспективнейших источников мощного когерентного оптического излучения. В данной главе на примере реакторно-лазерной системы, создаваемой в ГНЦ РФ ФЭИ, исследуем особенности динамики основных энергетических характеристик системы, которые определяют вклад энергии оскол-

ков деления в активную среду лазера с ядерной накачкой.

Устройство и процессы в реакторно-лазерной системе

Лазер с ядерной накачкой представляет собой систему, состоящую из двух основных нейтронно-связанных подсистем: импульсного ядерного реактора и лазерного блока. Причём, реактор располагается внутри лазерного блока. Поэтому, в отличие от лазеров других типов, на динамике установки весьма существенно сказывается связь между источником накачки (реактором) и лазерной системой. Лазерный блок плотно заполнен большим количеством отдельных лазерных активных элементовстальных герметичных трубок, на внутреннюю поверхность которых нанесён слой урана и которые наполнены газовой лазерной смесью.

Нейтроны, родившиеся в реакторе, вызывают деления в урановом покрытии лазерных элементов. В результате чего образуются высокоэнергетичные осколки деления, часть которых попадает в лазерную среду. В лазерной среде осколки деления тормозятся, отдают энергию атомам лазерной смеси, возбуждают их и при определённых условиях в среде возникает инверсия населённостей. Количество инвертированных атомов лазерной смеси, определяющих энергию генерируемого лазерного излучения, зависит от мощности, выделившейся при делении урана в лазерном блоке (т. е. в урановых слоях всех лазерных элементов, образующих блок). Таким образом, важной энергетической характеристикой лазера с ядерной накачкой, определяющей потенциальные энергетические характеристики лазера, является мощность деления Nb в лазерном блоке.

По нейтронно-физическим характеристикам лазерный блок представляет собой подкритическую систему. В нём не может протекать само-

67

значения мощности реактора Nr(0)= 1Вт, а Nb(0) = 0, Er(0) = 0, Еb(0) = 0; tr = 10-8cек и tb = 10-4сек – среднее время жизни мгновенных нейтронов в реакторе и лазерном блоке соответственно; kr =1+ δk – эффективный коэффициент размножения быстрых нейтронов в реакторе; δk = 0.001 ÷

0.002– мгновенная надкритичность реактора; kb = 0.95 – эффективный коэффициент размножения быстрых нейтронов в подкритическом лазерном блоке; krb =0 ÷ 0.003 – коэффициент нейтронной связи блок-ре-

актор, определяющий вклад нейтронов, которые родились в блоке, в деления урана в реакторе; kbr = 0.4 – коэффициент нейтронной связи реак- тор-блок, определяющий вклад нейтронов, которые родились в реакторе, в деления урана в лазерном блоке; B =1/E0– коэффициент гашения реактивности, определяющий влияние на динамику реактора отрицательных тепловых обратных связей (E0 = 1 ГДж).

Решение системы уравнений

Система уравнений описывает динамику реакторно-лазерной системы в рамках двухточечной модели кинетики системы с учётом только мгновенных нейтронов и с учётом основных механизмов, влияющих на динамику мощности реактора и лазерного блока. Запаздывающими нейтронами в данной модели пренебрегается. Перейдя к новым переменным и функциям

69