QuantMech_Chem_p3_85

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Обнинский государственный технический университет атомной энергетики (ИАТЭ)

Факультет естественных наук

Ф.И. Карманов, А.Н. Евдокимов

Квантовая механика и квантовая химия

Компьютерный практикум по курсу «Квантовая механика и квантовая химия»

ОБНИНСК 2007

Наблюдаемые и их характеристики Задача 1

Пусть частица массой m движется в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Используя решение задачи о собственных значениях для гамильтониана системы найти: а) зависимость плотности вероятности обнаружения частицы от ее координаты в яме; б) средние значения координаты, импульса и энергии частицы; в) проверить соотношение неопределенностей Гейзенберга для координат и импульсов частицы; г) коэффициенты разложения функции вида Ψ(x) = Ax (a2 - x2) по базису из собственных функций гамильтониана.

Решение

Волновые функции и плотность вероятности

Пусть распределение потенциала задано в следующей форме.

U(x) 5

0

x

Рис. 1. Распределение потенциала

Тогда задача на собственные значения для области 0 < x < a с учетом граничных условий и условия нормировки будет иметь вид:

−h2 d2 Ψ(x) + U(x) Ψ(x) = E Ψ(x) 2 m dx2

⌠a

Ψ(0) = Ψ(a) = 0 Ψ(x) Ψ(x) dx = 1

⌡0

Решение этой задачи - волновые функции и спектр энергий (см. [1-3])

3

Используя панель Symbolic и определяя значения sin(nπ) =0 для целых n, проверим условие нормировки волновой функции, а также вычислим вероятность обнаружить частицу в средней трети потенциальной ямы, например, в основном состоянии n = 1.

4

Средние значения координаты, импульса и энергии

По определению, среднее значение координаты x состоянии, определяемом волновой функцией φ(n ,a,x), равно

substitute,sin(n π) = 0 Pav(n ,a,h) cos(n π)2 = 1 → 0

Среднее значение потенциальной энергии, очевидно, равно нулю, а для кинетической - равно средней полной энергии в состоянии с номером n.

5

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

По определению, дисперсия значений координат задается соотношением

Поскольку среднее значение импульса равно нулю, то дисперсия значений импульса совпадает со средним квадратом импульса.

Произведение дисперсий по порядку величины равно h2.

Среднеквадратичные отклонения координат и импульсов задаются соотношениями

(n ,a) := Dx(n ,a) , p(n ,a,h) := Dp(n ,a,h) ,

а их произведение с точностью до 3-х значащих цифр, например, при n = 1 равно:

6

Разложение волновой функции по базису

Пусть волновая функция некоторого состояния имеет вид:

ψ(a,x) = A(a) x (a2 − x2)

Выполним нормировку и определим константу А(a)

Проверим условие нормировки:

⌠a

A(a) x (a2 − x2) 2 dx → 1

⌡0

Найдем коэффициенты разложения функции ψ(a,x) по базису из соб-

simplify

Квадраты модулей коэффициентов разложения определяют вероятности обнаружить систему в состоянии с волновой функцией φ(n ,a,x).

Как легко видеть, эти вероятности быстро убывают с ростом номера состояния и основной вклад вносит состояние с n =1.

P(1 ,a) float,6 → .982951

7

Выполним численные расчеты коэффициентов разложения. Сформируем приближенную волновую функцию Φ(m,x) и оценим изменения в этой волновой функции по мере увеличения количества учитываемых

x

Рис. 5. Исходная и приближенная волновые функции. Как видно из рисунка, учет уже трех слагаемых позволяет с хорошей точностью воспроизвести исходную функцию

8

Упражнения

1.Вычислить средние значения координат, импульсов и энергии частицы в состоянии с волновой функцией вида ψ(x) = A x (a - x). Проверить соотношение неопределенностей Гейзенберга для координат и импульсов частицы.

2.В потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в состоянии с волновой функцией ψ(x) находится частица. Определить вероятность ее пребывания в n-м квантовом состоянии и среднюю энергию, если

средние значения физических величин, отвечающих следующим комбинациям операторов координаты и импульса: xp, px, x2p и p2x .

4. Волновая функция одномерной системы имеет вид ψ(x) = Aexp(-x2/2a2). Здесь А - нормировочная константа, а - параметр. Найти вероятность обнаружить частицу в интервале -a < x < a. Вычислить средние значения координат, импульсов и их квадратов. Найти произведение x p.

5.Решить задачу о собственных значениях для оператора квадрата импульса в случае одномерного свободного движения частицы. Выполнить нормировку собственных функций с использованием дельта-функ- ции Дирака и найти средние значения координаты и импульса.

6.Волновая функция состояния частицы имеет вид

где Φ(x) - вещественная функция. Показать, что p0 - средний импульс частицы в рассматриваемом состоянии.

8. Определить возможные собственные значения оператора Lz и их вероятности для системы, находящейся в состоянии:

а) ψ(φ) = A sin2(φ); б) ψ(φ) = A(1+cos(φ))2 .

9

Коммутаторы эрмитовых операторов Задача 2

Используя возможности символьного процессора вычислить следующие коммутаторы: а) [X,Px] ; б) [H,X] ; в) [Lx,Ly] .

Решение

Коммутатор операторов координаты и импульса

Определим законы действия операторов координаты и проекции импульса на волновую функцию ψ. Пусть

Проверим действие этих операторов на функцию ψ, зависящую от x.

Коммутатор операторов координаты и проекции импульса равен ([1-3]), где I - единичный оператор:

[X,Px] = ih I

Используя возможности символьного процессора MathCAD при подстановке и расширении аргументов функции, сформируем комбинацию, соответствующую произведению операторов в прямом порядке и обратном порядке и вычислим их:

А теперь собираем коммутатор и упрощаем полученное выражение с использованием команды simplify панели Symbolic:

X(x ,Px(h ,x ,ψ(x))) − Px(h ,x ,X(x ,ψ(x))) simplify → i h ψ(x)

10