QuantMech_Chem_p3_85

Коммутатор оператора координаты и гамильтониана

В качестве другого примера вычислим коммутатор гамильтониана и оператора координаты. Пусть U(x) - потенциальная энергия частицы массой m. Определим результат действия гамильтониана на волновую функцию следующим образом:

H(h ,m,U,x ,ψ) := −h2 d2 ψ + U ψ

2 m dx2

Собираем коммутатор и упрощаем полученное выражение. ComHX(h ,m,U,x ,ψ) := H(h ,m,U,x ,X(x ,ψ)) − X(x ,H(h ,m,U,x ,ψ))

d ψ(x) ComHX(h ,m,U(x) ,x ,ψ(x)) simplify → −h2 dx m

Принимая во внимание явный вид оператора проекции импульса, находим ответ.

[H,X] = −i mh Px

Коммутаторы операторов момента импульса

Определим явный вид операторов проекций момента импульса с помощью соотношений:

Lx(h ,x ,y ,z,ψ) := −i y h d ψ + i z h d ψ dz dy

Ly(h ,x ,y ,z,ψ) := −i z h d ψ + i x h d ψ dx dz

Lz(h ,x ,y ,z,ψ) := −i x h d ψ + i y h d ψ dy dx

Тогда операторы квадратов проекций момента импульса и его модуля можно задать следующим образом:

L2x(h ,x ,y ,z,ψ) := Lx(h ,x ,y ,z,Lx(h ,x ,y ,z,ψ))

L2y(h ,x ,y ,z,ψ) := Ly(h ,x ,y ,z,Ly(h ,x ,y ,z,ψ))

L2z(h ,x ,y ,z,ψ) := Lz(h ,x ,y ,z,Lz(h ,x ,y ,z,ψ))

L2(h ,x ,y ,z,ψ) := L2x(h ,x ,y ,z,ψ) + L2y(h ,x ,y ,z,ψ) + L2z(h ,x ,y ,z,ψ)

11

Вычислим следующий коммутатор проекций момента импульса.

[Lx,Ly] = ih Lz

Сначала вычислим произведение операторов в левой части равенства, а затем и сам коммутатор.

C1(h ,x ,y ,z,ψ) := Lx(h ,x ,y ,z,Ly(h ,x ,y ,z,ψ))

C2(h ,x ,y ,z,ψ) := Ly(h ,x ,y ,z,Lx(h ,x ,y ,z,ψ))

Com(h ,x ,y ,z,ψ) := C1(h ,x ,y ,z,ψ) − C2(h ,x ,y ,z,ψ)

Com(h ,x ,y ,z,ψ(x ,y ,z)) simplify → −y h2 d ψ(x ,y ,z) + x h2 d ψ(x ,y ,z)

Для проверки правильности результата сопоставим его с произведением ih Lz и находим

Упражнения

1. Проверить следующие равенства для коммутаторов:

а) [X,Py] = 0 , б) [Px,Py] = 0 , в) [f(x),Px] =i h d f(x) dx

2. Вычислить коммутаторы: а) [X,Px2] ; б) [X2,Px]; в) [X2,[X,Px2]] .

12

Квантовый гармонический осциллятор Задача 3

Для частицы массой m движущейся в потенциальном поле квазиупругой силы найти: а) зависимость плотности вероятности обнаружения частицы от ее координаты и сопоставить с решением задачи о классической частице; б) дисперсии значений координат, импульсов и вычислить произведение неопределенностей основном состоянии осциллятора; в) проверить, что матричные элементы оператора координаты в базисе из собственных функций гамильтониана определяются соотношениями:

<n -1| X |n> = b (n/2)1/2 , <n +1| X |n> = b ((n+1)/2)1/2 .

Решение

Классический осциллятор

Пусть параметры потенциала соответствуют частоте колебаний молекулы водорода, а масса частицы - приведенная масса двух атомов водорода.

ω := 7.82 1014 rad s− 1 m := 0.5 1.672 10− 24 g

Оценим константу упругости связи (силовую постоянную), равную

Тогда классические границы движения определяются из условия обращения скорости в нуль, а нормированное распределение вероятности имеет вид ([1-3]):

13

14

Дисперсии и произведение неопределенностей

Выпишем в явном виде волновую функцию основного состояния осциллятора. Она имеет вид гауссовской функции распределения.

Поскольку средние значения координаты и импульса равны нулю, то дисперсии координат и импульсов равны средним квадратам соответствующих величин основного состояния осциллятора. Используя символьный процессор, находим интегралы:

Произведение неопределенностей для основного состояния осциллятора соответствует минимально возможному значению в неравенстве Гей-

зенберга.

Dx(β) Dp(h ,β) assume,β > 0 → 14 h2

Матричные элементы

По определению, матричные элементы оператора координаты равны:

⌠∞

<n | X | m> = Ψ(n ,x ,b) x Ψ(m,x ,b) dx

⌡− ∞

Вычислим эти интегралы для нескольких низших состояний с точностью

16

Сопоставим этот результат с предложенным в условии задачи, который вычислим с помощью следующей функции.

Полученный результат подтверждает известные правила отбора [1,3] для спектральных линий излучения гармонического осциллятора. В дипольном приближении допустимые переходы определяются условием:

n = ± 1

Упражнения

1. Вывести приведенные выше формулы для классических границ движения и плотности вероятности. Проверить условие нормировки.

17

2. Используя возможности символьного процессора MathCAD и формулу Родрига (см.[3]),

получить в явном виде аналитические выражения для первых пяти полиномов Эрмита. Проверить рекурентные соотношения для полиномов Эрмита. Какими свойствами четности обладают эти полиномы?

ξ Hn (ξ) = n Hn−1 (ξ) + 12 Hn+1(ξ)

3.Проверить ортогональность волновых функций гармонического осциллятора и найти нормировочную постоянную

4. Найти для квантового осциллятора в состоянии с произвольным n вероятность пребывания вне классических границ движения.

5.Показать, что средние значения координаты и импульса для квантового осциллятора в любом состоянии равны нулю.

6.Вычислить среднее значение кинетической и потенциальной энергии в состоянии с произвольным n. Доказать теорему вириала:

T = U = h2ω n + 12

7.Вычислить произведение неопределенностей координат и импульсов для гармонического осциллятора в состоянии с произвольным n.

8.Используя рекурентные соотношения для полиномов Эрмита проверить, что волновые функции гармонического осциллятора удовлетворяют следующим соотношениям ([1-3]):

9. Получить связь матричных элементов операторов координаты и им-

пульса

Pn−1,n = −i m ω Xn−1,n Pn+1,n = i m ω Xn+1,n

10. Найти собственные значения гамильтониана для одномерного уравнения Шредингера с потенциалом U(x) = mω2x2/2 при x > 0 и U(x) = ∞

при x < 0.

18

Жесткий ротатор Задача 4

Пусть частица массой m свободно движется по поверхности сферы радиуса a. Используя решение уравнения Шредингера найти: а) явный вид первых сферических гармоник; б) проверить их условие нормировки; в) зависимость плотности вероятности обнаружения частицы на поверхности сферы и построить пространственные изображения плотности вероятности в некоторых состояниях; г) вычислить частоты ротационного спектра молекулы водорода.

Решение

Сферические функции

Поскольку в центрально симметричном поле операторы квадрата момента импульса и его проекции коммутируют с гамильтонианом, то сферические гармоники являются общим набором собственных функций этих трех операторов и удовлетворяют уравнениям (см.[1-3]):

L2 Yl,m (θ,φ) = h2 l (l+1) Yl,m (θ,φ) Lz Yl,m (θ,φ) = hm Yl,m (θ,φ)

В явном виде нормированные сферические гармоники (шаровые функции) выражаются через присоединенные полиномы Лежандра. Следуя [3], представим эти зависимости с помощью встроенных функций и операторов MathCAD. Здесь и далее 0 ≤ L ≤ 5 и −L ≤ m ≤ L -

квантовые числа модуля момента и его проекции на ось Z.

Полиномы и присоединенные полиномы Лежандра имеют вид:

где вместо x следует сделать замену x = cos(θ).

19

Сферические гармоники определяются соотношениями:

Y(L,m,x ,φ) := am(m) C(L,m) Pm(L,m,x) exp(i m φ) (1)

В качестве примера найдем явный вид функции Y1,1 (θ,φ). Для этого сделаем подстановку x =cos(θ) и укажем явно значение функции csgn(z).

Нормировка сферических функций

Условие нормировки представляется как интеграл от произведения сопряженной (SHIFT+") и прямой сферических функций в пределах полного телесного угла (см.[2]).

Сферические функции являются ортонормированной системой.

⌠

Y(L1,m1,cos(θ),φ)Y(L,m,cos(θ),φ)dΩ = δ(L1,L) δ(m1,m)

⌡

и удовлетворяют теореме сложения, где α - угол между (θ,φ) и (θ1,φ1).

20