QuantMech_Chem_p3_85
.pdf
eigenvec(Sx,0.5) = |
0.707 |
|
eigenvec(Sx,−0.5) = |
−0.707 |
|
|
|
|
|
0.707 |
|
||
|
0.707 |
|
|
|
|
|
Поскольку базисными векторами Sz -представления являются векторы
1 |
|
= α |
и |
| 1/2, −1/2 |
0 |
|
= β , |
||
| 1/2, 1/2 >= |
0 |
|
>= |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то полученные волновые функции можно записать в виде:
Ψsx =1/2 = 1/ |
2 ( |
| 1/2,1/2 > + |
| 1/2, −1/2 >) = 1/ |
2 (α + β) |
Ψsx = --1/2 = 1/ |
2 |
( | 1/2,1/2 > |
- | 1/2, −1/2 >) = 1/ |
2 (α - β) |
Оператор проекции спина
Построим оператор проекции спина на произвольное направление,
задаваемое вектором n = { sin(θ) cos(φ), sin(θ) sin(φ), cos(θ)}. Для этого зададим явно матрицы Паули (см.[1,2,4,5,6,12])
σx := |
0 |
1 |
σy := |
0 −i |
σz := |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||
|
1 |
0 |
|
i 0 |
|
|
|
0 |
|
|
и определим оператор проекции спина |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
Sn = 2 |
n σ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Sn |
( |
θ,φ |
) |
:= |
1 |
|
( |
|
( |
) |
|
( |
φ |
) |
σx |
|
|
|
( |
) |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
σz |
) |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
sin θ |
|
cos |
|
+ sin θ |
|
sin φ |
|
σy + cos θ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя символьный процессор и упрощая выражения, находим: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Sn(θ,φ) := |
1 |
|
|
|
|
cos(θ) |
|
|
|
exp(−i φ) sin(θ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
( |
i φ |
) |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
sin θ |
|
|
|
|
−cos θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Например, для состояний | 1/2,1/2 > |
и | 1/2, −1/2 > |
получаем следующие |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
средние значения проекций спина (в единицах h): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
( 1 |
|
0 ) Sn |
( |
θ,φ |
) |
1 |
|
→ |
1 |
|
|
|
( |
) |
|
( 0 |
1 ) Sn |
( |
θ,φ |
) |
0 |
→ |
−1 |
( |
θ |
) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
cos |
θ |
|
|
|
|
|
|
2 |
cos |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
По определению среднего значения проекции sn |
и с учетом того, что |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумма вероятностей проекций равна 1, можно написать (sz = ± 1/2) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sn = w 1 |
1 |
+ w −1 |
−1 |
= |
1 |
2 w |
1 |
|
− 1 = s cos(θ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
41
Отсюда вероятности w(sn = 1/2) и w(sn = -1/2) соответственно равны:
1 |
|
= |
1 |
(1 |
+ 2 sz cos(θ)) |
|
−1 |
|
= |
1 |
(1 |
− 2 sz cos(θ)) |
w 2 |
|
|
w |
2 |
|
|
||||||
2 |
2 |
Упражнения
1.Получить матрицы операторов J2, Jz , J+ , J_ , Jx , Jy для случая j = 3/2.
2.Найти средние значения величин Jx2 и Jy2 в следующих состояниях:
а) |
j = 1/2 , |
m = 1/2 ; |
б) j = 1 , m = 0 ; |
в) |
j = 1, |
m = -1; |
г) |
j = 3/2 , m = 3/2. |
3. |
Найти дисперсии величин Jx и Jy |
в следующих состояниях: |
||||||
а) |
j = 1/2 , |
m = 1/2 ; |
б) j = 1 , m = 0 ; |
в) |
j = 1, |
m = -1; |
г) |
j = 3/2 , m = 3/2. |
4. Используя коммутационные соотношения и ортогональность базисных функций показать, что дисперсии величин Jx и Jy равны (см.[1,4,6]:
D(Jx)= D(Jy)= 12 j ( j + 1) − m2
5. Выписать матрицы операторов S2, Sz , Sx и Sy при j = 1/2 и установить их связь с матрицами Паули (см.[1,2,6]). Проверить, что матрицы Паули обладают следующими свойствами : а) они эрмитовы σx = σx+ ; б) унитарны σy σy+ = I ; в) различные матрицы Паули антикоммутируют между собой σx σ y = - σy σx ; г) произведение двух матриц Паули дает третью σx σy = i σz и т. д. циклической перестановкой индексов.
6.Вычислить средние значения и дисперсии проекций спина в состояниях, собственных для оператора Sx , на направление n(θ,φ) .
7.Решить задачу о собственных значениях для оператора Sy . Вычислить коэффициенты разложения собственных функций оператора Sy по базису {S2, Sz}представления. Найти средние значения и дисперсии
проекций на направление n(θ,φ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
|
Показать, что собственные функции оператора проекции спина |
на |
|||||||||||||||||||||
направление n(θ,φ) соответственно равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
cos(0.5θ) |
|
|
|
|
−1 |
|
|
sin(0.5θ) |
|
|
||||||||||
Ψ |
2 |
= |
|
( |
i φ |
) |
|
( |
|
) |
Ψ |
|
2 |
|
= |
−exp |
( |
i φ |
) |
|
( |
) |
||
|
|
exp |
|
|
sin 0.5θ |
|
|
|
|
|
cos 0.5θ |
|
|
|||||||||||
9. |
|
Показать, что средние значения и дисперсии проекций момента на |
||||||||||||||||||||||
направление n(θ,φ) |
в состояниях | j m > |
соответственно равны: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
jn = m cos(θ) |
|
|
D(jn) |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
sin(θ) |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
2 j ( j + 1) − m |
|
||||||||||||||||
10. |
Найти вид вектора |
| 1 1 > |
в {J2,J |
}- представлении. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
Сложение моментов Задача 8
Для системы двух спинов с s = 1/2 найти собственные функции операторов квадрата суммарного спина и его проекции на ось Z с помощью понижающих операторов и решая задачу о собственных значениях. Выполнить сложение орбитального и спинового моментов одного электрона из р-оболочки и построить собственные функции полного момента.
Решение
Система двух спинов
Суммарный спин системы двух спинов может принимать два значения: S = 1 (триплет, 3 состояния с Sz = 1, 0, −1 ) и S = 0 (синглет, Sz = 0 ) при
параллельной и антипараллельной ориентации спинов частиц. Будем искать волновую функцию системы в виде линейной комбинации произведений базисных функций подсистем, построенных из собственных функций операторов квадратов момента и проекций на ось Z. В общем случае эти линейные комбинации выражаются через коэффициенты Клебша - Гордана (см.[1,2,4,6,12]). На простом примере системы двух спинов покажем, как можно вычислить эти коэффициенты. В состоянии с максимальными значениями S и Sz = 1 линейная комбинация состоит лишь из одного слагаемого и потому коэффициент Клебша - Гордана равен единице. Аналогично и для Sz = −1 будет только одно слагаемое.
Обозначим | 1/2, 1/2 >1 = α (1) и | 1/2, −1/2 >1 = β (1) и т.д. и выпишем волновые функции этих состояний и коэффициенты Клебша - Гордана.
χ11 = α(1) α(2) |
χ1−1 = β(1) β(2) |
C(1/2, 1/2, 1/2,1/2 ; 1,1) = 1 |
C(1/2, -1/2, 1/2, -1/2 ; 1, -1) = 1 |
Для получения линейной комбинации в оставшемся состоянии триплета с нулевой проекцией спина | 1 0 > введем понижающий оператор для всей системы по правилу
S(1)_ = S(1/2)_ 1 + S(1/2)_ 2 ,
так, что каждый из операторов подсистем действует только на волновую функцию "своей" подсистемы. Используя вид матричных элементов
(см.[1,2,4,5,12]) для оператора всей системы, |
можно получить нужное |
||||||||
состояние | 1 0 > |
всей системы. |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
||
|
|
||||||||
S(1)_ | 1 1 > = |
2 | 1 0 > или |
|
|
|
|
0 |
|
= 1.414 |
|
2 |
0 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
||
43
С другой стороны, принимая во внимание действия операторов подсистем на "свои" функции как, например,
S(1/2)_α = β |
или |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
, |
|
|
0 |
|
|
= |
1 |
|
|||
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||
находим (функции, на которые действуют операторы подсистем, заключены в фигурные скобки):
S(1)_ | 1 1 > = {S(1/2)_ 1α (1)}α (2) + α (1) {S(1/2)_ 2 α (2)}
Отсюда волновая функция и коэффициенты Клебша-Гордана равны:
χ10 |
= 1 (β(1) α(2) + α(1) β(2)) |
|
|
2 |
|
C(1/2, -1/2, 1/2,1/2 ; 1,0) = 1/ 2 |
C(1/2, 1/2, 1/2,-1/2 ; 1,0) = 1/ 2 |
|
Для нахождения волновой функции состояния | 0 0 > всей системы используем условие ее ортогональности к функции состояния | 1 0 >.
< 1 0 | 0 0 > = 0
Пусть она имеет вид χ00 = a β(1) α(2) + b α(1) β(2)
Волновые функции α и β ортонормированы в "своих" подсистемах, ((α(1), β(1)) = 0, (α(1), α(1)) = 1, (β(1), β(1)) = 1 и т.д.) Тогда из условия
(β(1) α(2) + α(1) β(2))T (a β(1) α(2) + b α(1) β(2)) = 0
следует, что a = - b , а с учетом условия нормировки a2 + b2 = 1, волновая функция и коэффициенты Клебша-Гордана равны:
|
χ00 |
= 1 (β(1) α(2) − α(1) β(2)) |
|
|
|
|
2 |
|
|
C(1/2, -1/2, 1/2,1/2 |
; 0,0) = 1/ 2 |
C(1/2, 1/2, 1/2, -1/2 ; 0,0) = −1/ 2 |
||
Отметим, что триплетные состояния симметричны относительно перестановки спиновых координат частиц 1 и 2, а синглетное состояние
антисимметрично.
Задача о собственных значениях
Прежде всего решим задачу о собственных значениях для оператора квадрата момента одной частицы. Задаем явно матрицы Паули и
i := −1 |
σx := |
0 |
1 |
σy := |
0 −i |
σz := |
1 |
0 |
||
1 |
0 |
i 0 |
|
0 |
−1 |
|||||
|
|
|
|
|||||||
44
вычисляем матричные элементы квадрата момента (в единицах h).
|
2 |
3 |
0 |
|
1 |
|
2 |
0.75 |
0 |
||
σ := σx + σy + σz σ |
|
= |
0 |
|
S2 := |
|
σ |
|
S2 = |
|
|
|
4 |
|
0 |
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0.75 |
|||
Cобственные значения λ = s (s+1) = 3/4 и собственные векторы α и β находим с помощью встроенных функций MathCAD.
|
|
|
|
0.75 |
s = 1/2 |
eigenvecs(S2) = |
|
1 |
|
0 |
||
eigenvals(S2) = |
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
0.75 |
|
|
|
|
|
1 |
||
Выясним, как матрицы Паули действуют на векторы α и β . |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
σz α = |
|
1 |
|
|
α := |
σx α = |
σy α = |
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
σx(α) = β |
|
σy(α) = i β |
σz(α) = α |
|
|
||||
|
0 |
|
|
1 |
|
−i |
σz β = |
|
0 |
|
|
|
β := |
σx β = |
σy β = |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
σx(β) = α |
|
σy(β) = −i α |
σz(β) = −β |
|
|||||
Оператор суммарного спина действует на пространстве размерности 4, базисные векторы которого можно задать в виде:
1 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
αα = |
αβ = |
βα = |
ββ = |
||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
||||||||
Оператор квадрата суммарного спина равен (см.[1,2,4,5,12]):
S2 = 14 (σ1 + σ2)2 = 14 (σ12 + σ22)+ 12 (σ1x σ2x + σ1y σ2y + σ1z σ2z)
Используя информацию о действии матриц Паули на векторы α и β , определим действие оператора произведения спинов на базисные векторы 4-х мерного пространства.
σ12x(αα) = ββ |
σ12x(αβ) = βα |
σ12x(βα) = αβ |
σ12x(ββ) = αα |
σ12y(αα) = −ββ |
σ12y(αβ) = βα |
σ12y(βα) = αβ |
σ12y(ββ) = −αα |
σ12z(αα) = αα |
σ12z(αβ) = −αβ |
σ12z(βα) = −βα |
σ12z(ββ) = ββ |
45
Тогда матричные элементы произведений компонент спинов частиц
|
0 0 0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
−1 |
|
|
1 0 0 |
0 |
||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 −1 0 |
0 |
|
|||||||
σ12x := |
|
|
|
σ12y := |
|
|
σ12z |
:= |
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 0 |
|
−1 |
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
−1 0 0 |
0 |
|
|
0 0 0 |
1 |
|||||||||||||||
и матричные элементы самого оператора суммарного спина S2 равны: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
||||
S2 := |
3 |
|
|
+ 1 (σ12x + σ12y + σ12z) → |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
0 0 1 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 2 |
|
||||||||||
Cобственные значения λ = s (s+1) и нормированные собственные векторы легко находим с помощью встроенных функций MathCAD.
eigenvals(S2)T = ( 2 |
2 |
0 |
2 ) |
λ = 0 (s = 0); |
λ = 2 (s = 1) |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
eigenvec(S2,0) = |
−0.707 |
eigenvecs(S2) = |
0 |
−0.707 |
−0.707 |
0 |
|||||
|
0.707 |
|
|
−0.707 |
0.707 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Причем, синглетному состоянию соответствует антисимметричная, а триплетному - симметричные волновые функции.
Сложение орбитального и спинового моментов электрона
Построим волновые функции с определенным полным моментом для одного р-электрона. В этом случае квантовое число полного момента может принимать только два значения j = 3/2 (квадруплет - 4 состояния) и j = 1/2 (дублет - 2 состояния).
s = 1/2, l = 1, j = l + s, l + s -1 . . . |
| l - s | |
Квадруплет
Вид волновой функции при j = 3/2 и mj = ± 3/2 очевиден.
| 3/2, 3/2 > = | 1 1 > α |
| 3/2, -3/2 > = | 1 -1 > β |
Для получения волновой функции при j = 3/2 и mj = 1/2 воспользуемся понижающим оператором полного момента.
46
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
или |
||||
|
3 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1.732 |
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|
J(3/2)_ | 3/2, 3/2 > = 3 | 3/2, 1/2 > |
|||||||
|
0 |
2 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
0 |
3 0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|||||||
С другой стороны, операторы понижения подсистем действуют по пра-
вилу: J(1)_ | 1 1 > = 2 | 1 0 > |
и S(1/2)_α = β , |
а их совместное дей- |
||
ствие приводит к такому результату: |
|
|
||
| 3/2, 1/2 > = |
2 |
| 1 0 > α + |
1 |
| 1 1 > β |
|
3 |
|
3 |
|
Применение повышающих операторов к волновой функции | 3/2, -3/2 >
дает состояние | 3/2, -1/2 > |
с проекцией mj = - 1/2. |
|
||||
| 3/2, -1/2 > = |
|
1 | 1 -1 > |
α + |
2 | 1 0 > β |
||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
Дублет |
|
|
|
= 1/2 предполо- |
Для построения волновой функции при j = 1/2 и mj |
||||||
жим, что она имеет вид |
|
a | 1 0 > α + b |
|
|
||
| 1/2, 1/2 > = |
| 1 1 > β |
|
||||
ортогональна к волновой функции | 3/2, 1/2 > и нормирована, . |
||||||
< 3/2, 1/2 | 1/2, 1/2 > = |
2 |
a + |
1 |
b = 0 |
и a2 |
+ b2 = 1 |
3 |
3 |
|||||
Из двух последних уравнений находим коэффициенты |
a и b. |
|||||
| 1/2, 1/2 > = |
1 |
| 1 0 > α - |
2 |
| 1 1 > β |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
Волновая функция | 1/2, -1/2 > получается аналогично из состояния | 1/2, 1/2 > применением понижающих операторов.
| 1/2, -1/2 > = |
2 |
| 1 -1 > α - |
1 |
| 1 0 > β |
|
3 |
|
3 |
|
Вероятности и средние значения проекций моментов
Рассмотрим в качестве примера волновую функцию | 3/2, 1/2 > . Ортонормированность угловых и спиновых переменных позволяет записать средние значения для спина < 3/2, 1/2 | Sz | 3/2, 1/2 >
2 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
( 1 0 ) |
|
|
|
+ |
|
( 0 1 ) |
|
|
|
→ |
|
||||
3 |
|
3 |
2 |
6 |
||||||||||||
|
2 0 |
−1 |
0 |
|
|
|
0 |
−1 |
1 |
|
|
|||||
47
и углового момента < 3/2, 1/2 | Lz | 3/2, 1/2 > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
1 0 0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
1 0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( 0 1 0 ) |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
+ |
|
( 1 0 0 ) |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
0 |
0 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 −1 |
0 |
|
|
|
||||||||||
и вероятности w(lz = 1) = w(sz = -1/2) = 1/3 , |
w(lz = 0) = w(sz = 1/2) = 2/3 |
|||||||||||||||||||||||
Вычисление коэффициентов Клебша-Гордана
Рассмотрим систему, состоящую из двух слабо взаимодействующих подсистем. Пусть J1, J2 и J = J1 + J2 операторы моментов импульса этих подсистем и всей системы. Они могут быть орбитальными и спиновыми моментами двух частиц, орбитальным и спиновым моментами одной частицы и т.д. Состояние системы может быть охарактеризовано как квантовыми числами j1, j2, m1, m2, где j1, j 2 - собственные значения операторов моментов импульса подсистем , а m1, m2 - их проекций, так и четверкой чисел j, m, j1, j2, где j, m - собственные значения оператора полного момента системы и его проекции, причем m = m1 + m2 . Связь между волновыми функциями этих представлений выражается через коэффициенты C(j1,m1,j2,m2;j,m) векторного сложения Клебша -Гордана.
Определение и свойства коэффициентов Клебша -Гордана (см.[1,2,6,12]).
| j1 j2 j m > = ∑∑C(j1,m1, j2,m2, j ,m) | j1m1> | j2m2> m1 m2
Обычно коэффициенты Клебша - Гордана вычисляются с помощью рекурентных соотношений, а в некоторых частных случаях могут быть найдены по простым формулам. Так при j2 = 1/2 C(j1,m1,1/2,m2;j,m) =
|
j |
m2 |
|
|
|
1 2 |
|
−1 2 |
|
|
|
|
||
j1 |
+1 2 |
j1 + m +1 2 |
j1 |
− m +1 2 |
2 j1 +1 |
|
2 j1 +1 |
||
|
|
|
||
j −1 2 |
− j1 − m +1 2 |
j1 |
+ m +1 2 |
|
1 |
|
2 j1 +1 |
|
2 j1 +1 |
|
|
|
||
Наряду с коэффициентами Клебша - Гордана используются более симметричные и потому более удобные 3j-символы Вигнера. Ниже приведена программа для расчета коэффициентов Клебша - Гордана по формуле Вигнера (см.[1,12,13]).
48
C( j1,m1, j2,m2, j ,m) := |
return |
0 |
|
if |
( j < 0) ( j1 < 0) ( j2 < 0) |
||||||||||||||||||||||
|
return |
0 |
|
if |
(m ≠ m1 + m2) ( j < |
|
m |
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
return |
0 |
|
if |
( j1 < |
|
m1 |
|
) ( j2 < |
|
m2 |
|
) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
return |
0 |
|
if |
( j > j1 + j2) ( j < |
|
|
|
j1 − j2 |
|
) |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
w ← (2 j + 1) ( j1 + m1)! ( j1 − m1)! |
||||||||||||||||||||||||||
|
w ← w (( j2 − m2)! ( j2 + m2)!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
w ← w ( j − j1 + j2)! ( j1 + j2 − j)! |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( j + j1 + j2 + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
w ← w (( j − m)! ( j + m)! ( j1 − j2 + j)!) |
||||||||||||||||||||||||||
|
s ← 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
nmax ← min( j1 + j2 − j , j1 − m1, j2 + m2) |
||||||||||||||||||||||||||
|
for n 0 .. nmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
continue |
if |
( j − j2 + m1 + n < 0) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
continue |
if |
( j − j1 − m2 + n < 0) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t ← |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
( j1 + j2 − j − n)! ( j1 − m1 − n)! |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t ← t (n! ( j2 + m2 − n)!)− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
t ← |
|
|
(−1)n t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( j − j2 + m1 + n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
t ← t (( j − j1 − m2 + n)!)− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
s ← s + t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
w ← w s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Например, для системы двух спинов в синглетном состоянии находим
C(0.5,−0.5,0.5,0.5,0 ,0) = −0.707 |
C(0.5,0.5,0.5,−0.5,0 ,0) = 0.707 |
или, в дублетных состояних р-электрона атома (с точностью до знака).
C(1 |
,0 ,0.5,0.5,0.5,0.5) = −0.577 |
C(1 |
,1 |
,0.5 |
,−0.5 |
,0.5 |
,0.5) = 0.816 |
C(1 |
,−1 ,0.5,0.5,0.5,−0.5) = −0.816 |
C(1 |
,0 |
,0.5 |
,−0.5 |
,0.5 |
,−0.5) = 0.577 |
49
Упражнения
1. Вычислить собственные значения оператора спинового обмена для системы двух спинов, определяемого соотношением
Pσ = S2 − I = 12 (I + σ1 σ2)
2. Проекционные операторы, проектирующие любое состояние системы двух спинов на синглет или триплет имеют вид:
Ps = I − |
1 |
S2 |
= |
1 |
(I − σ1 σ2) |
Pt = |
1 |
S2 |
= |
1 |
(3 I + σ1 σ2) |
|
2 |
4 |
2 |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверить действие этих операторов на найденные выше волновые функции системы двух спинов и вычислить их собственные значения.
3.Для системы трех спинов показать, что функция вида α(1)α(2)α(3)
является собственной для операторов Sz и S2 и найти их собственные значения. Найти среднее значение проекций спинов для этой функции.
4.В системе трех спинов получить все 2S + 1 собственные функции для S = 3/2, используя понижающий оператор
S_ = S_ 1 + S_ 2 + S_ 3
5.Используя понижающие (повышающие) операторы, найти собственные функции, отвечающие полному моменту импульса одного электрона с d-оболочки атома. Проверить свои результаты с помощью приведенных выше программы и таблицы расчета коэффициентов.
6.Найти собственные функции оператора квадрата полного момента импульса для одного р-электрона из решения задачи о собственных значениях. Вычислить средние значения проекций моментов.
7.Система состоит из двух частиц c моментами l1 и l2 = 1. Полный момент j может принимать значения j = l1 + 1 и j = l1 - 1. Выразить собственные функции операторов J2 и Jz через собственные функции квадратов момента и проекций момента на ось Z отдельных частиц
(см.[4-6,12,13]). Для l1 = 1 выписать полученные коэффициенты волновых функций и вероятности состояний. Найти среднее значение проекций моментов в этих состояниях.
8.Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-угловые волновые функции состояний с определенными значениями l , jz и j = l ± 1/2 , используя
проекционные операторы P(j) следующего вида (см.[2,4-6]),
P |
( l + 1/2) = |
( I |
) |
P |
( l - 1/2) = |
( I |
) |
|
|
(l + 1) + σL /(2 l +1) , |
|
|
l - σL /(2 l +1) , |
где σL = 2 L S = 2 Lz Sz + L+S_ + L_ S+ - оператор произведения спина и орбитального момента.
50