Karmanov_Reznichenko

9. Покажите, что коэффициент прохождения для потенциальной ступеньки не зависит от направления движения волны при условии

E > max(U1,U2).

При каких условиях этот результат можно перенести на барьеры более сложной формы?

10. В рамках матричного формализма получите аналитическое выражение для коэффициента прохождения через прямоугольный барьер.

11. Матричным методом рассчитайте зависимость коэффициента прохождения от энергии для прямоугольного барьера переменной ширины. Как зависят результаты от ширины барьера? Постройте график зависимости T(E,r) и сопоставьте получаемые результаты с результатами упражнения 10. Как объяснить обращение в единицу коэффициента прохождения при определенных значениях энергии?

12. Рассчитайте зависимость от энергии коэффициента прохождения через один δ- барьер. Сравните полученные результаты с [8].

13. Используя символьный процессор MathCAD, получите аналитическую зависимость от энергии коэффициента прохождения через два δ- барьера вида U(x) = α δ(x), отстоящих друг от друга на расстояние a.

14. Рассчитайте зависимости коэффициентов отражения и прохождения от энергии через два прямоугольных барьера одинаковой ширины, но разной высоты, разделенных областью нулевого потенциала такой же ширины. Сравните Ваши результаты для барьеров одинаковой высоты с результатами для одного такого же прямоугольного барьера. Как объяснить происхождение пиков при энергии ниже высоты барьера и выше около барьера? Какие новые особенности вносит изменение высоты второго барьера?

41

Задача 6

Рассчитать вероятность прохождения частицы через систему из N прямоугольных потенциальных барьеров. Проанализировать результаты при увеличении числа барьеров. Для бесконечного одномерного кристалла оценить границы интервалов энергии, в пределах которых частица беспрепятственно проходит кристалл.

Решение

Элементарная ячейка

Рассмотрим сначала один прямоугольный барьер и межбарьерный промежуток как элементарную ячейку, повторением которой можно воспроизвести бесконечный одномерный кристалл.

Рис. 1. Потенциальный барьер

При анализе задачи будем следовать работе [7]. Введем безразмерные переменные e = E/Uo для энергии и r = x/a для расстояний и определим матрицу перехода для одной элементарной ячейки. Нам потребуются две матрицы скачка потенциала и две матрицы распространения на расстояние a и b.

42

T1(e) := P1(e) D12(e) P2(e) D21(e)

N - ячеек. Общий обзор

Матрица перехода для N - ячеек равна произведению матриц перехода для каждой ячейки. Диагональные элементы матрицы произведения матриц определяют вероятность перехода через систему.

Представим сначала зависимости вероятности от энергии для одного и двух одинаковых барьеров. При переходе от одного барьера к двум барьерам при энергии E < Uo появляются новые, очень узкие пики, отвечающие единичной вероятности прохождения.

43

e := 0.1,0.10005 .. 2.5

1

T(e,2)

T(e,1) 0.5

e

Рис. 2. Коэффициенты прохождения для одного и двух барьеров

При увеличении количества барьеров пики единичной вероятности располагаются поблизости друг от друга, формируя целые области счетного множества таких точек.

1

T(e,10) 0.5

e

Рис. 3. Коэффициенты прохождения для N = 10 барьеров

44

N - ячеек. Тонкая структура

Интересно, что пики, формирующиеся в окрестности e = 0.22 и e = 0.8, имеют тонкую структуру, состоящую из N - 1 очень узкого пика.

e := 0.215,0.215001 .. 0.23

1

T(e,10) 0.5

e

Рис. 4. Структура пиков в окрестности e = 0.22

e := 0.75,0.75001 ..0.86

1

T(e,10) 0.5

e

Рис. 5. Структура пиков в окрестности e = 0.8

45

Зонная структура

Ясно, что в предельном случае бесконечного кристалла резонансные пики заполняют полностью целые области, формируя зонную структуру. Получаемое распределение пиков, например, огибающая снизу в четвертой зоне (см. рис.3), дает визуальную картину плотности состояний. Как видно из рисунков, плотность состояний минимальна в центре зоны и возрастает к ее краям.

Оценим теперь границы зон. Как уже упоминалось выше, матрица всей системы равна N- ой степени матрицы одной элементарной ячейки. Волна вероятности может распространяться в бесконечном кристалле только в том случае, если ее амплитуда не нарастает и не убывает при переходе от одной ячейки к другой. Если λ - собственное значение матрицы перехода элементарной ячейки, то λN - собственные значения матрицы системы. Отсюда ясно, что условием ограниченности волны вероятности будет |λ | = 1, причем для N - нечетных требуется условие λ = +1 .

Можно показать (см. упражнение 8), что характеристическое уравнение для матрицы элементарной ячейки имеет вид

Полагая в этом уравнении λ = ± 1, получаем два уравнения, решения которых дают необходимые границы зон:

cos(k2 a) cos(k1 b) − (k12 + k22) sin(k2 a) sin(k1 b) = ±1 2 k1 k2

Выполним графическое отделение корней. Для этого введем вспомогательную функцию g(e), выделяющую расположение зон, следующим образом:

f1(e) := cos(k2(e) a) cos(k1(e) b)

f2(e) := −(k1(e)2 + k2(e)2) sin(k2(e) a) sin(k1(e) b) 2 k1(e) k2(e)

46

1

0.5

T(e,10)

g(e) 0

0.5

1

Рис. 6. Границы зон

Зоны разрешенных значений энергии для бесконечного кристалла соответствуют интервалам энергии, в пределах которых функция g(e) принимает значения, равные -1.

Упражнения

1. Покажите, что элементы матрицы T1 обладают следующими свойствами. Если

47

3. Докажите, что обратная матрица к матрице T1 имеет вид

4. Используя теорему Гамильтона - Келли о связи матрицы и ее характеристического уравнения, покажите, что вероятность прохождения через N одинаковых прямоугольных барьеров равна

TN = 1 + ( t0,1 Ucheb(N − 1,ξ))2 − 1

где Ucheb(n,ξ) - полином Чебышева второго рода степени n,

аξ = 12 tr(T1) - половина следа матрицы T1.

5.Проверьте приведенную в упражнении 4 формулу, сопоставляя результаты расчета с иллюстрациями, представленными при решении данной задачи. Как эти результаты согласуются с точным решением для одного барьера?

6.Можно ли перенести приведенную в упражнении 4 формулу, на барьеры более сложной формы?

7.Из какого количества пиков состоят третья и четвертая области; пятая и шестая? С чем связано появление одного дополнительного

пика в каждой нечетной области при e > 1?

8.Используя символьный процессор, вычислите в явном виде произведение матриц, составляющих матрицу перехода одной ячейки. Преобразуйте его и получите приведенное в тексте характеристическое уравнение.

9.С помощью функции root() и используя приведенные в тексте приближенные значения, рассчитайте границы зон по энергии.

10. Получите характеристическое уравнение для матрицы элементарной ячейки δ - кристалла и рассчитайте границы зон по энергии.

48

Литература

1.Давыдов А.С. Квантовая механика. -М.: Наука, 1973

2.Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия. -М.: Мир, 2001, 519с.

3.Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1976, 480с.

4.Джонсон К. Численные методы в химии: Перевод с англ. -М.:Мир, 1983, 504с.

5.Пирумов У.Г. Численные методы.-М.: Дрофа, 2003, 224с.

6.Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М., Наука, 1980, 728с.

7.Walker J.S., Gathright J. Computers in Physics, v6, n4, p. 393, 1992. Am. J. Phys., v62, n5, p. 408-422, 1994.

8.Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. -М.: Наука, 1992, 880с.

Содержание

49