Karmanov_Reznichenko

Задача 5

Рассчитать коэффициенты отражения и прохождения частицы через прямоугольный потенциальный барьер.

20

uT

xT

Рис. 1. Потенциальный барьер

Следуя стандартной схеме [1], выписываем решения уравнения Шредингера для трех областей (x<0 , 0<x<a, x>a), принимаем во внимание условия непрерывности волновой функции и ее производной в точках x =0 и x =a и, считая A1 -амплитуду падающей слева на барьер волны равной единице, получаем систему уравнений для определения коэффициентов B1 , A2 , B2 , A3.

Для решения этой системы уравнений воспользуемся специальным вычислительным блоком Given - Find(). Начальные значения в этом случае присваивать не обязательно, а решение получается в символьной форме. Формируем вычислительный блок, определяем список переменных, рассматриваемых как неизвестные, и заканчиваем оператор Find() знаком символьных вычислений (стрелкой) в меню

Evaluation ->, т. е. Find(B1,A2,B2,A3)->

31

Given

1 + B1 = A2 + B2

k1 − k1 B1 = k2 A2 − k2 B2

exp(i k2 a) A2 + exp(−i k2 a) B2 = exp(i k1 a) A3 k2 exp(i k2 a) A2 − k2 exp(−i k2 a) B2 = k1 exp(i k1 a) A3

Find(B1,A2,B2,A3)

Полученное решение очень громоздко и потому здесь полностью не приводится, но его можно упростить, используя символьный процессор. Поскольку нас интересует коэффициент прохождения T = |A3|2, извлечем 4-ю компоненту вектора решения и, собирая в знаменателе дроби подобные слагаемые (Symbolics-> Collect), получаем:

−4 k2 k1 exp(−i k1 a)

A3 =

(k1 − k2)2 exp(i k2 a) − (k1 + k2)2 exp(−i k2 a)

Аналогично, извлекая первую компоненту вектора решения и приводя подобные, находим

(k1 − k2)2 exp(i k2 a) − (k1 + k2)2 exp(−i k2 a)

Знаменатель обеих формул можно привести к виду

и тогда находим точное решение [1] для коэффициента прохождения:

Построим графики зависимости коэффициентов отражения R(E) и прохождения T(E) от энергии E и сравним результат с традиционно используемым [1] приближением Tth(E) для высокого и широкого барьера (a Uo>>1).

32

33

Матричное описание процесса распространения

Волновую функцию частицы в кусочно постоянном потенциале можно представить с помощью двух матриц: вектора-строки плоских волн и вектора-столбца коэффициентов [7]:

При распространении частицы в таком потенциале на расстояние r можно рассматривать две системы координат, для которых

x = x1 + r и ψ1(x1)= ψ(x)

Учитывая это условие, получаем P матрицу распространения:

Пусть потенциал испытывает разрыв в точке x = 0, тогда из условий непрерывности волновой функции и ее производной получаем:

A2 + B2 = A1 + B1 i k2 (A2 − B2)= i k1 (A1 − B1)

Разрешая эту систему уравнений относительно A2 и B2, находим в явном виде матрицу скачка потенциала от U1 (слева) до U2 (справа):

34

барьера будет состоять из условия непрерывности функции и соотношения для скачка производной:

A2 + B2 = A1 + B1

Отметим, что все волновые числа, входящие в определение матриц, стандартным образом зависят от энергии E и от потенциала U.

Матричный расчет

Воспользуемся введенными матрицами для расчета коэффициента прохождения через прямоугольный барьер следующей формы:

и покажем зависимость результатов от высоты правой ступеньки.

35

20

uT

Рис. 3. Потенциальный барьер

Вводим матрицы скачков потенциала и распространения волны:

Пусть каждой из трех областей постоянства потенциала соответствует свой вектор коэффициентов (Aj , Bj ). В рамках обсуждаемого матричного формализма

36

Использованное здесь произведение матриц определим как матрицу перехода частицы из области с потенциалом U1 = 0 к U3.

T13(E,u3) := D23(E,u3) P2(E) D12(E)

В случае, если волна падает на барьер слева направо, то, как обычно, A1 = 1, B3 = 0 или, если волна падает справа, A1 = 0, B3 = 1 и, в силу симметрии процесса прохождения, система принимает вид

Вычисляя плотности потоков вероятности (см. [1,8] ), получаем

T

Рис. 4. Зависимость коэффициента прохождения от энергии E и высоты правой ступеньки U3

37

Упражнения

1. Повторите символьные расчеты, получите выражения для коэффициентов отражения и прохождения и убедитесь в том, что при любой энергии имеет место условие нормировки вероятности

R(E) + T(E) = 1 .

2. В приближении широкого и высокого барьера (a Uo >> 1) получите соотношение

3. Рассчитайте коэффициенты отражения и прохождения, численно решая систему уравнений для коэффициентов волновых функций. Для этой цели можно использовать встроенную функцию lsolve(). Постройте графики рассчитанных зависимостей R(E) и T(E).

4. Теория α- распада атомных ядер, предложенная Г. Гамовым, основана на расчете в приближении ВКБ вероятности t(ε) подбарьерного туннельного перехода α- частиц в сферически симметричном потенциальном поле, образованном прямоугольной "ядерной" ямой и кулоновским барьером [6]. Рассчитайте зависимость периода полураспада T(ε) от энергии α- частиц в интервале [4 - 9] МэВ и сопоставьте с законом Гейгера-Неттола, например, для тория (Z = 90):

При расчете принять следующие параметры потенциала для тория: радиус R = 10фм, глубина ямы Uo = 25 МэВ и учесть, что период полураспада T(ε) и вероятность прохождения t(ε) связаны соотношением

39

5. Проверьте следующие свойства матрицы распространения частицы в постоянном потенциале:

a)P(0) = 1 0 = P(r) P(−r) = I

0 1

b)P(r1)P(r2)= P(r1 + r2)= P(r2)P(r1)

6. Докажите следующие свойства матрицы скачка потенциала:

b)D12 D23 = D13

7. Проверьте следующие свойства матрицы δ- потенциала:

при условии, что при U2 -> ∞

lim a (U2 − U1) = α a → 0

8. Покажите, используя матричный формализм, что коэффициент отражения частицы от потенциальной ступеньки, состоящей из одного скачка потенциала, равен

40