Karmanov_Reznichenko

5. Рассчитайте уровни энергии и волновые функции в системе из двух близко расположенных потенциальных ям конечной глубины Ua , разделенных дополнительной ямой глубины Ub , отсчитываемой от уровня дна исходных потенциальных ям, если 0 < Ub < Ua. Сопоставьте результаты со спектром энергий частицы в одной потенциальной яме суммарной ширины.

6.Подготовьте программу и рассчитайте уровни энергии и волновые функции в системе из двух близко расположенных потенциаль-

ных ям, разделенных барьером конечной высоты Ub , отсчитываемой от уровня дна исходных потенциальных ям. Проанализируйте зависимость спектра и вида волновых функций от параметра непроницаемости потенциального барьера, пропорционального произведению высоты и ширины барьера.

7.Рассмотрим одномерную решетку, состоящую из 5 - 10 атомов. Каждому атому соответствует прямоугольная потенциальная яма. Все ямы отделены друг от друга равновысокими барьерами. Подготовьте программу и рассчитайте спектр энергий в системе и волновые функции нескольких состояний, принадлежащих каждой группе (зоне) близко расположенных уровней.

8.Предположим, что в подобной одномерной системе (упр. 7) один из атомов является нестандартным (примесь). Потенциальная яма, соответствующая данному атому, имеет ширину, большую или меньшую ширины потенциальных ям атомов решетки. Рассчитайте спектр энергий в такой системе и волновые функции нескольких состояний атома-примеси. Сравните полученный спектр энергий со спектром однородной цепочки атомов. Зависит ли положение уровня энергии атома-примеси в спектре от расположения его потенциальной ямы в решетке? Где локализована волновая функция атома - примеси? Зависят ли результаты от соотношения ширины ямы для атомапримеси и атома решетки?

9.Будем считать, что одномерная модель аморфного твердого тела представляет собой цепочку одинаковых потенциальных ям, разделенных барьерами переменной ширины. Задавая ширину барьеров согласно какому-либо правилу (или распределению случайных величин со средним значением, близким к ширине барьера однородной цепочки атомов), вычислите спектр энергий и сопоставьте его со спектром однородной цепочки атомов. Сохраняется ли и в этом случае "зонная" структура спектра?

11

12

Выберем пробную функцию в виде

Φ(x) = c0 u0(x) + c1 u1(x) + c2 u2(x) + c3 u3(x),

где c0, c1, c2, c3 - варьируемые параметры.

В соответствии с общими положениями вариационного метода минимизируемый функционал в задаче на условный экстремум имеет вид

F(c0,c1,c2,c3,ε) = E(co,c1,c2,c3) − ε (Φ,Φ).

Здесь ε - неопределенный множитель Лагранжа, а среднее значение энергии определяется соотношением

(Φ H Φ)

E(c0,c1,c2,c3) = (Φ,Φ) .

Условие экстремума для квадратичного функционала - система линейных уравнений (см, например, [2] )

j = 0

13

где Hj k и Sj k - матричные элементы гамильтониана H и интегралы перекрытия, определяемые соотношениями

Как легко видеть, в силу ортонормированности волновых функций гармонического осциллятора, матрица S = I - единичной матрице.

Вычисление матричных элементов гамильтониана

14

Собственные значения и собственные векторы

Вычислим собственные значения и соответствующие им векторы, используя встроенные функции eigenvals() и eigenvecs(), и сравним результаты со значениями уровней энергии первых 4-х состояний гармонического осциллятора. Отметим, что функция eigenvecs() возвращает матрицу, составленную из собственных векторов.

0.27

0.804 G := eigenvals(H) G =

1.9551.331

Внимание! Порядок собственных значений, возвращаемых функцией eigenvals(), не соответствует порядку рассчитываемых состояний. Поэтому собственные значения и, конечно, собственные векторы следует упорядочить.

Перестановка 3-го и 4-го столбцов в матрице из собственных векторов.

Проверка правильности нахождения собственных векторов - расчет невязки системы уравнений. Отметим, что найденные собственные векторы уже нормированы на единицу.

15

QRразложение

Воспользуемся встроенной функцией qr() для преобразования исходной матрицы H и приведения ее к матрице треугольной или жордановой структуры.

B := qr(H)

Полученная матрица B содержит две матрицы Q и R и представляет матрицу H в виде произведения H = QR.

Q := submatrix(B,0,3,0,3)

Здесь матрица Q ортогональна, а матрица R , очевидно, верхняя треугольная. Проверим правильность разложения:

Использование QR -разложения для нахождения собственных значений и векторов основано на итерационном процессе вычисления преобразованной матрицы Hk+1 с использованием Qk и Rk матриц:

16

Следующая подпрограмма, основанная на итерационном использовании встроенной функции qr(), возвращает диагональные элементы последней преобразованной матрицы. Здесь а - исходная матрица размерности n, eps - требуемая точность расчета собственных значений, и δm > eps - начальное значение модуля разности для диагональных элементов матрицы ak на соседних итерациях.

EigVals(n,a,eps,δm) := for j 0 .. n − 1 adj ← aj, j

jr ← rows(a) − 1 kc ← 2 jr + 1 while δm > eps

b ← qr(a)

q← submatrix(b,0, jr,0, jr)

r← submatrix(b,0, jr, jr + 1,kc)

a← r q

17

Упражнения

1.Объясните, почему диагональные матричные элементы оператора H совпадают в нашем расчете со спектром гармонического осциллятора.

2.Рассчитайте собственные значения гамильтониана H как корни характеристического или векового уравнения

D(E) = H − E I = 0 ,

где I - единичная матрица 4-го порядка. Проведите графический анализ расположения корней и вычислите корни, используя встроенную функцию root().

3. Используя встроенную функцию lsolve(), найдите собственные векторы C из решения системы уравнений

j = 0

4.Проверьте положительную определенность матрицы H гамильтониана и найдите собственные векторы, решая систему уравнений c симметричной матрицей с помощью встроенной функции cholesky().

5.Рассчитайте собственные значения и собственные векторы для гамильтониана данной задачи итерационным методом, используя QR - разложение.

6.Проверьте нормировку и ортогональность рассчитанных волновых функций.

7.Согласно теореме вириала для гармонического осциллятора, среднее значение кинетической энергии в каждом состоянии равно среднему значению потенциальной энергии в этом же состоянии. Проверьте, выполняется ли эта теорема для состояний с рассчитанными волновыми функциями ангармонического осциллятора.

8.Используя линейный вариационный метод Ритца и волновые функции гармонического осциллятора, рассчитайте уровни энергии первых 4-х состояний частицы в потенциале вида

V(x) = α x2 + β x .

19