8.1. Алгебраические критерии.

8.1.1 Критерий устойчивости Гурвица.

При рассмотрении алгебраических критериев используются лишь коэффициенты характеристического уравнения и необходимые и достаточные условия устойчивости систем.

Необходимое условие является справедливым для всех систем:

Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

Необходимое условие а₀>0, а₁>0, ..., а_n>0 является и достаточным для систем 1-го и 2-го порядка.

Для устойчивости линейной САУ по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения заданной системы (знаменатель передаточной функции):

Матрица коэффициентов

По диагонали от левого верхнего угла до правого нижнего выписывают все коэффициенты по порядку от а₁ до а_n. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с чётными и нечётными индексами. В случае отсутствия даннного коэффициента или если его индекс <0 или >n, то на его место пишется 0.

Δ₁=а₁>0

>0

>0

Δn =а_n* Δ_n-1>0

Если а_n=0 , то имеет место апериодическая граница устойчивости.

Если Δ_n-1=0, то это колебательная граница устойчивости.

8.1.2 Критерий Раусса.

Так же базируется на коэффициентах характеристического уравнения, из которого строится таблица.

Для устойчивости систем по критерию Раусса необходимо и достаточно чтобы при а0>0 все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса были положительными.

а0	а2	а4	а6	а8
а1	а3	а5	а7	а9
b1	b2	b3	b4	0
c1	c2	c3	…	…
…	…	…	…	…

b₁=(a₁*a₂-a₀*a₃)/a₁

b₂=(a₁*a₄-a₀*a₅)/a₁

b₃=(a₁*a₆-a₀*a₇)/a₁

b₄=(a₁*a₈-a₀*a₉)/a₁

c₁=(b₁*a₃-a₁*b₂)/b₁

c₂=(b₁*a₅-a₁*b₃)/b₁……

Для устойчивости системы все коэффициенты 1-го столбца должны быть больше 0

а₀>0, a₁>0…

8.2. Частотные критерии

8.2.1 Критерий Михайлова.

Критерий базируется на поведении кривой, которую описывает конец вектора (X(ω),Y(ω)) замкнутой системы при изменении частоты от 0 до + .

Возьмём характеристический полином следующего вида:

(1)

Подставим в него и выделим вещественную и мнимую части.

- вещественная часть,

- мнимая часть.

Изобразим годограф Михайлова выражения на комплексной плоскости.

Рис. 10 Пример годографа Михайлова для устойчивых систем.

Берём значения и строим годограф. Для различныхгодограф имеет формы, представленные на рисунке. Эти годографы называютсякривыми Михайлова. Кривая Михайлова строится по точкам, рассчитывается и для данной частоты, на кривой указываются значения частоты.

Формулировка критерия Михайлова

Чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jω) при изменении частоты от 0 до +∞ начал движение с точки, лежащей на положительной вещественной оси, и, вращаясь только против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов комплексной плоскости, повернувшись на угол n∙π/2, где n – степень характеристического уравнения D(jω)=0

Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно квадрантов против часовой стрелки, всё время огибая начало координат и уходила вв том квадранте, номер которого соответствует показателю степени полинома. Если это условие не выполняется, то система является неустойчивой.

Устойчивая Неустойчивая

Апериодическая Колебательная

граница устойчивости граница устойчивости

Рис. 11 Примеры годографа Михайлова для устойчивой и неустойчивой САУ, а так же системы, находящейся на границе устойчивости.

Другая формулировка критерия Михайлова (или следствие из критерия Михайлова):

Она состоит в использовании свойства перемежаемости корней многочленов и .

Идя по кривой Михайлова от т. в направлении возрастания частоты, мы выходим из оси, затем пересекаем ось , потом снова и т. д.

Это значит, что корни уравнений и должны следовать поочерёдно друг за другом.

Кривые и имеют приблизительно такой вид:

Перемежаться должны корни ,,,,... Между ними должно быть следующее соотношение: >>>

Условием устойчивости системы является перемежаемость корней полиномов вещественной и мнимой частей характеристического уравнения. Нарушение этого условия говорит о неустойчивости системы.

8.2.2 Критерий устойчивости Найквиста.

Данный критерий относится к частотным критериям. Как и критерий Михайлова, критерий Найквиста базируется на АФЧХ разомкнутой системы и даёт правила, согласно которым, по виду АФЧХ разомкнутой системы можно судить об устойчивости замкнутой системы. Соответственно существует две формулировки критерия Найквиста, в зависимости от поведения системы в разомкнутом состоянии.

а) система устойчива в разомкнутом состоянии

Если разомкнутая САУ устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно. Чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1; 0j).

Пусть передаточная функция разомкнутой системы такова:

,

Рис. 12 Пример годографа Найквиста для устойчивых разомкнутых систем

Система устойчива

Система на границе устойчивости

Система неустойчива

б) система с неустойчивой разомкнутой цепью

Пусть х.у. разомкнутой системы имеет l корней с положительной вещественной частью. Тогда для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала критическую точку с координатами (-1; 0j) против часовой стрелки на угол lπ.

Другими словами, АФЧХ разомкнутой системы может пересекать ось абсцисс левее точки -1 так, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов была равна l/2. Или, при движении по направлению обхода кривой x.y. (при изменении ω от 0 до +∞), точка (-1, 0j) должна всегда находиться слева.

Положительный переход – сверху вних, отрицательный – снизу вверх.