12.3. Лабораторная работа 3 Критерии устойчивости сау

Цель работы: изучение математических методов оценки устойчивости линейных систем при помощи программы Scilab.

Задания к работе:

1. Получить переходный процесс и проверить устойчивость разомкнутой системы с помощью критерия Гурвица.

2. Найти полюса и нули передаточной функции разомкнутой системы и представить их графически.

3. Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Михайлова (и следствия из него).

4. Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Найквиста.

5. Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью логарифмического критерия устойчивости

Пример выполнения

1. Задана передаточная функция для произвольной системы.

Получим переходный процесс для данной системы. Для этого введем значение передаточной функции заданной системы.

W=poly([2 1],'s','c')/poly([3 5 4 3],'s','c')

W =

2 + s

---------------

2 3

3 + 5s + 4s + 3s

Зададим тип объекта как линейной непрерывной системы.

S=syslin('c',W)

S =

2 + s

---------------

2 3

3 + 5s + 4s + 3s

Построим график переходного процесса и зададим названия этого графика и осей, добавим координатную сетку.

plot(csim("step",0:0.1:20,S))

xgrid()

xtitle('Transition Function','Time,c','Magnitude')

Характеристическое уравнение:

Составим определитель Гурвица:

Проверка устойчивости:

С₀ = 3 > 0

Δ₁ = С₁ = 4 > 0

det([4 3;3 5])

ans =

11.

Δ₂ = 11 > 0

det([4 3 0;3 5 0;0 4 3])

ans =

33.

или

Δ₃ = С₃Δ₂ = 3 * 11 = 33 > 0

Следовательно, по критерию Гурвица разомкнутая система устойчива.

2. Найдем нули и полюса передаточной функции разомкнутой системы и изобразим их графически.

Корни характеристического уравнения разомкнутой системы:

roots(poly([3,5,4,3],'s','c'))

ans =

! - 0.8054824 !

! - 0.2639255 + 1.0825135i !

! - 0.2639255 - 1.0825135i !

-->plzr(S)

3. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Михайлова.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

poly([3,5,4,3],'s','c')+poly([2,1],'s','c')

ans =

2 3

5 + 6s + 4s + 3s

deff('u=re(w)','u=5-4*w^2')

deff('v=im(w)','u=(6*w)-3*w^3')

x=re(0:0.1:100);

y=im(0:0.1:100);

plot(x,y)

xgrid

plot(x(1:20),y(1:20))

xgrid

По критерию Михайлова замкнутая системы устойчива.

roots(poly([5,0,-4],'w','c'))

ans =

! - 1.118034 !

! 1.118034 !

roots(poly([0,6,0,-3],'w','c'))

ans =

! 0 !

! - 1.4142136 !

! 1.4142136 !

plot2d(roots(poly([5,0,-4],'w','c')),[0,0],style=-1)

plot2d(roots(poly([0,6,0,-3],'w','c')),[0,0,0],

style=-3)

Корни действительной и мнимой частей характеристического полинома перемежаются, значит согласно следствию из критерия Михайлова замкнутая система устойчива.

4. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Найквиста.

nyquist(S);

Годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатой (-1,0), значит замкнутая система устойчива.

5. Проверим устойчивость замкнутой системы с помощью логарифмического критерия устойчивости. И определим запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

-->bode(S,0.1,1)

[gm,fr]=g_margin(S)

fr = //Частота пересечения ЛАЧХ с осью -180°

0.2977516

gm = //Запас устойчивости по амплитуде

14.807254

[pm,fr2]=p_margin(S)

fr2 = //Частоты среза

! 0.1591549 !

! 0.1648781 !

pm = //Запас устойчивости по фазе

! - 90. !

! - 97.645873 !

Варианты домашних заданий:

№ варианта	а0	а1	а2	b0	b1	b2	b3
1	-	2	-3	-	4	5	1
2	4	8	-	3	5	-	2
3	3	-1	4	5	-	-2	3
4	-	7	-1	3	4	2	5
5	2	-	4	6	-1	-	3
6	-	4	6	-	2	5	4
7	-	3	-9	-	7	1	-5
8	1	-7	-	3	-	5	7
9	-	5	2	-	4	-6	3
10	2	4	-	5	7	-	1
11	3	-8	2	4	-	5	6
12	-	5	-3	2	6	1	7
13	4	-	3	2	5	-	1
14	-	7	5	-	3	3	8
15	-	5	2	-	3	9	7
16	-	5	-	-	1	3	4
17	-	3	-6	-	4	7	5
18	2	1	-	4	7	-	-3
19	6	1	-2	2	-	3	1
20	-	4	-7	2	1	4	3

Контрольные вопросы:

1. Понятие устойчивости для линейных САР.

2. Условия устойчивости, типы границы устойчивости.

3. Необходимое условие устойчивости САР, достаточное для систем 1-ого и 2-ого порядков.

4. Критерий устойчивости Гурвица.

5. Критерий устойчивости Михайлова. Свойства, примеры годографов Михайлова.

6. Критерий устойчивости Найквиста. Свойства, примеры годографов Найквиста.

7. Определение устойчивости по ЛАЧХ & ЛФЧХ. Методика построения асимптотических ЛАЧХ & ЛФЧХ линейных систем.

8. Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе.