Семинар n 4

Меры центральной тенденции и показатели вариации.

Темы для конспектов:

1. Мода. Соглашение о использовании моды.

2. Медианы. Вычисление медианы.

3. Вычисление и интерпретация моды, медианы и среднего.

4.

5. Дисперсия и её свойства.

6. Выбор меры центральной тенденции.

Задача:

Для проверки эффективности новой развивающей программы были созданы 2 группы детей 6-летнего возраста. Экспериментальная группа занималась по новой программе, а контрольная – по старой. После эксперимента детей протестировали. Можно ли утверждать, что новая программа более эффективна, чем старая?

N n/n	Экспериментальн. гр.	Контрольн. гр.	N n/n	Экспериментальн. гр.	Контрольн. гр.
1	12	14	9	9	15
2	13	13	10	10	13
3	10	14	11	11	13
4	8	14	12	12	13
5	13	14	13	13	13
6	12	13	14	14	9
7	15	12	15	15	13
8	12	12	16	16	13

Xi1	Xi2	Xi12	Xi22
12 – 11,81 = 0,19	1	0,04	1
1,19	0	1,42	0
- 1,81	1	3,28	1
- 3,81	1	14,52	1
1,19	1	1,42	1
0,19	0	0,04	0
3,19	-1	10,18	1
0,19	-1	0,04	1
-1,81	2	3,28	4
-0,81	0	0,66	0
1,19	0	1,42	0
-0,81	0	0,66	0
-0,81	0	0,66	0
2,19	-4	4,8	16
-0,18	0	0,66	0
1,19	0	1,42	0
x̅­1 = 11,81	x̅2 = 13	ΣXi12 = 44,44	ΣXi22 = 26

t = |X - X| = __|11,81 – 13|____ = |-1,19|_ = 1,19 = -0,27

m₁² + m₂² (*) 44,44/16 + 26/16 (*) 0,17 + 0,1(*) 0,52

16 16

df – (n1 + n2 – 1) = 31, p - 0,27 > 0, значит p<0,05 => новая программа эффективней старой.

Локин. «Биометрия». Москва 1990, стр 46 – 49.

Конспект 3. Дисперсия и её свойства s2, σ2.

Несмотря на явное преимущество среднего линейного отклонения перед лимитами и размахом вариации, этот показатель не получил широкого применения в биометрии. Наиболее подходящий показатель, построенный не на отклонениях вариант от их средних, а на квадратах этих отклонений, его называют дисперсией (лат. dispersio – рассеяние) и выражают формулами:

Sx² = Σf_i (xⁱ –x̅)²

n

или

Sx² = Σ_i=f (x_i – x̅)²

n

_r

где Σ _i=f - знак суммирования произведений отклонений вариант xi от их средней на веса или частоты fi этих отклонений в пределах от первого до f-го класса; n-общее число наблюдений. Индекс x y символа дисперсии обозначает, что этот показатель характеризует варьирование числовых значений признака вокруг их средней величины.

Ценность дисперсии заключается в том, что являясь мерой варьирования числовых значений признака вокруг их средней арифметической она измеряет и внутреннего изменчивость значений признака зависящую от разностей м/у наблюдениями.

Преимущество дисперсии перед другими показателями вариации состоит также и в том, что она разлагается на составные компоненты, позволяя тем самым оценивать влияние различных факторов на величину учитываемого признака.

Вместе с тем установлено, что рассчитывается по формуле дисперсия оказывается смещённой по отношении к своему генеральному параметру на величину, равную n / (n-1)

Чтобы получить несмещённую дисперсию, нужно в формулу ввести в качестве множителя поправку на смещённость, называемую поправкой Бесселя.

В лез. формула преобр. след. обр.:

Sx2 = Σ_i=f (x_i – x̅)² * _n_ = Σ_i=f (x_i – x̅)²

n n – 1 n - 1

Разность n – 1, обозначаемую в дальнейшей строчной буквой латинского алфавита K, называют число степеней свободы, пд которым понимают, число свободную варьирующ. единиц в составе численно ограниченной статистической совокупности.

Так, если совокупность состоит из n-го числа членов и характеризуются средней величиной x̅, то любой член этой совокупности может иметь какое угодно значение, не измеряя при этом среднюю x̅, кроме одной варианты, значение которых определяется разностью между суммой значений всех остальных вариантов и величиной n*x̅, следовательно, 1 варианта численно ограниченной статистической ограниченной статистической совокупности не имеет свободы вариации. Отсюда число степеней свободы для такой совокупности будет равно её объёму и без единицы, т.е. k = n-1. А при наличии не одного, а нескольких ограничений свободы вариации, число степеней свободы вариации будет = k=n-v (ню), где v(ню) обознач. число ограничений свободы вариации.

Дисперсия обладает рядом важных свойств, из которых необходимо отметить следующие:

1. Если каждому варианту совокупности уменьшить или увеличивать на одно и то же постоянно число А, то дисперсия уменьшиться или увеличится в А² р. При наличии в совокупности многозначных вариантов их можно сократить на какое-то постоянное число А и по результатам вычислить дисперсию. Затем полученную величину умножить на квадрат общего делителя А – что даст в сколько величину дисперсии.

7.03.13