01

Преобразуя последнее уравнение, получим выражение для ускорения груза

а1 4( 2m1R m ) g . R( 8m1 3m )

Задача 62 (рис. 90), (рис. 91)

Постоянный вращающий момент М вр приложен к барабану лебедки радиуса r и массы m. К концу А троса прикреплен груз массы m1, который поднимается по наклонной плоскости с углом α . Определить ускорение

163

груза, пренебрегая трением между грузом и наклонной плоскостью. Барабан лебедки считать однородным круглым цилиндром.

М вр – вращающий момент; Ф – сила инерции груза; M оФ – момент сил

инерции точек барабана; δs – возможное перемещение груза; δφ – возможное угловое перемещение барабана.

Рисунок 91

На основании общего уравнения динамики имеем

(Mвр MоФ ) (m1g sin Ф) s 0 .

Воспользуемся зависимостями:

164

где a – ускорение груза; ε – угловое ускорение барабана; Jo – момент инерции барабана относительно оси вращения.

С учетом указанных выше зависимостей находим ускорение груза a M вр m1gR sin

(m1 12 m)R

Задача 63 (рис. 92), (рис. 93)

К зубчатой рейке массы m приложена сила Т. Рейка приводит в движение зубчатое колесо радиуса r и массы m1, к которому приложен момент сопротивления Мс. Определить угловое ускорение колеса, считая его однородным диском.

Рисунок 92

Решение. (рис. 93)

Рейка совершает поступательное движение с ускорением a, зубчатое колесо –

вращательное движение с угловым ускорением ε.

Приложим к звеньям механизма силы mg , m1g , Ф и моменты М с и

M оФ .

Рисунок 93

165

При сообщении рейке возможного поступательного перемещения δs,

колесо получит возможное вращательное перемещение δφ.

Общее уравнение динамики имеет вид

где a – ускорение рейки; ε – угловое ускорение колеса; Jo – момент инерции колеса относительно оси вращения

Используя указанные выше зависимости, определяем угловое ускорение колеса

T M c

r . (m1 12 m)r

Задача 63 (рис.94), (рис. 95)

Центробежный регулятор вращается в установившемся режиме вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . Определить угол отклонения стержней СА и СВ от вертикали, принимая во внимание только массу m каждого из шаров А и В, а также массу m1 муфты С. Все стержни имеют одинаковую длину.

166

sB rB lOB l ;sC CPBC BC 2l sin .

Составим общее уравнение динамики:

mg rA ФА rA mg rВ ФВ rВ m1g rС 0 .

Выполним преобразования

2mg sA cos( 90 ) 2ФА sA cos m1g sС cos 180 0

Задача 64 (рис. 96), (рис. 97)

Барабан лебёдки радиуса r, установленный на консольной балке, вращается с угловым ускорением ε . К барабану приложен вращающий момент М вр .

Массы лебедки и поднимаемого груза равны m и m1, момент инерции барабана лебедки относительно оси вращения О равен Jo. Пренебрегая массой балки и троса, найти реакцию заделки и вращающий момент М вр .

Рисунок 96

Решение. (рис. 97)

168

Расчетная схема для решения задачи дана ниже. На этом рисунке Х А , У А –

составляющие реакции заделки; mA – момент заделки; mg и m1g – силы

тяжести лебёдки и груза; Ф – сила инерции груза; М вр – вращающий момент; М оФ – момент сил инерции точек барабана; δs – возможное перемещение груза; δφ – возможное угловое перемещение барабана.

Рисунок 97

Применим к системе «лебёдка-груз» общее уравнение динамики: (Мвр МоФ ) (m1g Ф) s 0 .

получим формулу для определения вращающего момента

Мвр (Jo m1r 2 ) m1gr .

Применим теперь к системе «балка-лебёдка-груз» принцип Даламбера.

На основании этого принципа составляем следующие уравнения:

X A 0;

YA mg m1g Ф 0;

m1g(b r) mgb Ф(b r) M oФ M вр mA 0.

169

Из этих уравнений находим реакцию и момент заделки.

Задача 65 (рис. 98), (рис. 99), (рис. 100), (рис. 101)

Три груза массы m каждый соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через блок. Два груза лежат на гладкой плоскости, а третий груз подвешен вертикально. Определить ускорения грузов и натяжение нити в сечениях bc и de .

Рисунок 98

Решение. (рис. 99)

Применим для решения задачи общее уравнение динамики и принцип Даламбера.

Грузы совершают поступательное движение с ускорениями a1 a2 a3 a .

170