01

Подставив в полученные выражения начальные условия t 0 ; x b ; x 0 , получим систему уравнений для нахождения констант интегрирования

Откуда C1 C2 b2 .

Закон относительного движения шарика

x b2 ( e t e t ).

131

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Задача 43 (рис. 64)

. Какую начальную скорость, параллельную линии наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса радиуса r , чтобы оно,

катясь без проскальзывания, поднялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом ? Коэффициент трения качения равен . Колесо считать однородным диском. Определить также ускорение оси колеса.

Решение. (рис. 64)

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

nA

T T0 Ake .

i 1

Рисунок 64

Кинетическая энергия колеса в начальном положении

скорость Vrc ,

На колесо действуют силы: тяжести mg , нормальная реакция плоскости

N mg cos , трение скольжения Fтр и момент трения качения Mтр N .

132

Работа активных сил, приложенных к колесу, с учетом того, что угол

Задача 44 (рис. 65)

Вагонетка для обслуживания пути двигалась по горизонтальному участку пути под действием двигателя. Масса корпуса вагонетки М=5000кг,

масса каждой из двух колесных пар m=600кг, коэффициент трения качения=0.003м. Колесные пары представляют собой однородные диски радиуса r=0.3м. Какой путь пройдет вагонетка до остановки после выключения двигателя, если в момент выключения ее скорость была V0=36км/ч?

Решение. (рис. 65)

133

Конструкция состоит из трех тел: корпуса и двух колесных пар. Корпус движется поступательно, колесные пары – плоскопараллельно. Используем теорему об изменении кинетической энергии:

nA

T T0 Ake .

i 1

Работа сил, приложенных к колесу, с учетом того, что угол поворота колеса

134

или

Поскольку в конце рассматриваемого промежутка времени вагонетка остановится, следовательно, V 0. Поэтому после преобразований получим величину пройденного пути

135

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ.

ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Задача 45 (рис. 66)

По призме Е массой m 7 кг могут двигаться тележки А и В массами m1 1кг и m2 2 кг соответственно . Тележки связаны тросом. В начальный момент времени система находилась в состоянии покоя, а затем тележка А начинает двигаться относительно призмы вправо под действием внутренних сил. Пренебрегая потерями на трение, определить перемещение призмы Е для момента времени t1 0.5с, если закон относительного движения тележек s 2t2 м.

Рисунок 66

Решение. (рис. 66)

Система состоит из трех подвижных тел и все тела двигаются поступательно. На систему тел действуют внешние силы: тяжести mЕ g , mА g и mВ g , а также результирующая нормальной реакции поверхности N .

Для решения используем теорему об изменении количества движения

системы:

dQ nF

x F e ; dt i 1 kx

136

nF

Fkxe 0;Qx const 0

i 1

По условию задачи (все внешние силы вертикальны, вначале система неподвижна, призма Е перемещается по горизонтальной плоскости).

k1

Спомощью этой зависимости составим выражение:

m1 x10 m2 x20 m x0

где sотн =2t2 –закон относительного движения тележки;

sпризм = sпер –переносное перемещение тележки (перемещение

призмы)

Окончательно найдем

Задача 46 (рис. 67)

Механизм шарнирного параллелограмма состоит из двух кривошипов

О1А и О2В, а также шатуна АВ, имеющих массу m и длину l каждый.

Кривошипы вращаются с постоянной угловой скоростью . Определить

137

сумму горизонтальных составляющих реакций шарниров О1 и О2 в функции угла .

Решение. (рис. 67)

Система состоит из трех подвижных тел, два из которых двигаются вращательно, а одно – поступательно. На систему тел действуют внешние силы: тяжести mg , а также составляющие реакций неподвижных шарниров

ХО1 , YО1 , Х О2 , YО 2 .

По теореме о движении центра масс системы в проекции на ось Х

Рисунок 67

nF

M õc Fkõe , i 1

где М=3m и Fkx =X01 + X02 .

Горизонтальная координата центра масс равна:

Дифференцируя это выражение по времени t , с учетом t , получим

138

Сумма горизонтальных составляющих реакций шарниров равна:

Задача 47 (рис. 68)

Тонкий однородный стержень ОА массы m и длины l может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси О. В начальный момент стержень отведен в горизонтальное положение и отпущен без начальной скорости.

Определить реакцию оси О при повороте стержня ОА на угол 30 .

Решение. (рис. 68)

Рисунок 68

К стержню приложена сила тяжести mg , а также составляющая реакции шарнира О вдоль осей координат ÕÎ , YÎ .

139

Используем теорему о движении центра масс в проекциях на оси координат

Составляющие реакции оси О определяются по формулам:

Координаты центра масс стержня

xc 2l cos и yc 2l sin .

При дифференцировании получим

Приходим к окончательному результату

140