- •1.Системы координат
- •2. Векторы и операци над веторами
- •5. Скалярное произведение. Свойства высчисления
- •Скалярное произведение в координатах.
- •Свойства скалярного произведения.
- •Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.
- •6.Вексторное произведение. Свойства вычисления.
- •Свойства векторного произведения
- •7.Смешанное произведение.Свойста вычисления. Свойства смешанного произведения
- •8.Линейные образы на плоскости.
- •9. Кривые 2 порядка
- •10.Линейные образы в пространстве.
- •11. Поверхности второго порядка.
- •12.Матрицы, правило крамера.
- •Разложение по строке или столбцу
- •Правило Саррюса
- •Свойства определителей
- •Решение систем уравнений
- •Нахождение обратной матрицы
- •13. Теорема Крамера Капелли, метод гаусса
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
- •14.Фундаментальный набор решений однородной системы уравнений.
- •15.Функции. Последовательность как функция дискретного аргумента.
- •16. Бескоечно большие, бесконечно малые и ограниченные велечины и их свойства.
- •Предел функции
- •4.4. Правила предельного перехода
- •4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •4.6. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин и связь между ними
- •Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины
- •17.Арифметическое свойство придела.
- •18. Первый замечательный предел.
- •19.Второй замечательный предел.
- •20. Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых
- •Сравнение бесконечно малых функций
- •21.Неперывность ффункции, классификация точекк разрыва.
- •22.Производная и ее свойства.
- •Правила дифференцирования
- •Основные формулы дифференцирования.
- •23. Производная сложной и обратной функции.
- •24.Геометрический смысл производной.
- •25. Дефференциал.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •26. Теорема лагранжа о конечном приращении.
- •27. Теорема ролля Теорема Ролля
- •28. Теорема ферма Теорема Ферма
- •29.Теорема коши
- •30. Монотонность и экстремумы функции. Применение производной. Монотонность функции, основные понятия и определения
- •Связь монотонности функции с ее производной
- •31. Асимптоты. Точки перегиба. Построение графиков функций
- •32. Логарифмическое дифференцирование.
- •Случай независимой переменной
- •Случай зависимой переменной
- •34. Формула тейлора
- •Формула Тейлора
- •35. Функции нескольких переменных. Непрерывность. Дифференцируемость.
- •36. Повторное дифференцирование.
- •37. Геометрический смысл частных производных.
- •38. Дифференциал функции нескольких переменных.
- •39. Производная по направлению. Градиент.
- •40. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.
- •41. Экстремумы функции нескольких переменных.
- •42. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа
Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.
Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул
;
;
или ;
.
Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.
Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.
Пример.
Вычислите скалярное произведение двух векторов и , если их длины равны 3 и 7единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
Решение.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: .
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной системе координат заданы два вектора и , найдите их скалярное произведение.
Решение.
В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:
Ответ:
.
Пример.
Вычислите скалярное произведение векторов и , если известны координаты трех точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости .
Решение.
Найдем координаты векторов по координатам точек их начала и конца:
Теперь можно использовать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах:
Ответ:
.
Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению.
Пример.
Вычислите скалярное произведение векторов и , если векторы и перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.
Решение.
. По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем . Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:
В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид .
Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем . Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:
Ответ:
.
Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.
Пример.
Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а проекция вектора на направление вектора имеет координаты .
Решение.
Векторы и противоположно направленные, так как , следовательно, числовая проекция вектора на направление вектора будет равна длине вектора со знаком минус: .
Вычисляем скалярное произведение .
Ответ:
.
Также встречается масса обратных задач, когда скалярное произведение векторов известно, а требуется найти, например, длину одного из векторов, угол между векторами, числовую проекцию, либо что-нибудь еще.
Пример.
При каком значении скалярное произведение векторов и равно -1.
Решение.
Так как скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат, то . С другой стороны по условию . Тогда искомое значение находим из уравнения , откуда .
Ответ:
6.Вексторное произведение. Свойства вычисления.
Определители очень полезны не только для решения симстем уравнений, но и при изучении очень многих других вопросов. Так, с помощью определителей можем вычислить векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Соответственно, можем использовать их в решении различных физических задач для определения моментов силы, инерции и т.д., в электричестве. Также легко вычислять площадь параллелограмма, зная координаты трех его вершин.
Определение. Векторным произведением векторов и , угол между которыми равен , называется вектор, модуль которого равен , перпендикулярный плоскости векторов , направленный так, чтобы тройка векторов была правой (если смотреть с конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого ко второму должен происходить против часовой стрелки).
Обозначение. или .