19.Второй замечательный предел.

Число e (число Эйлера) является иррациональным и приблизительно равно . Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают lnx (lnx=log_ex)

Второй замечательный

или в другой записи

В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

Разберем несколько примеров нахождения предела по второму замечательному пределу сподробным оприсанием решения.

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

Подставляем бесконечность:

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения и останавливаемся на применении второго замечательного предела.

Сделаем замену переменных. Пусть

Если , то 

Исходный предел после замены примет вид:

Ответ:

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

Подставляем бесконечность:

Пришли к неопределенности единица в степени бесконечность, которая указывает на применение второго замечательного предела. Выделим целую часть в основании показательно степенной функции:

Тогда предел запишется в виде:

Сделаем замену переменных. Пусть

Если , то 

Исходный предел после замены примет вид:

В преобразованиях были использованы свойства степени и свойства пределов.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

Преобразуем функцию, чтобы применить второй замечательный предел:

Сейчас домножим показатель на и разделим на это же выражение, затем используем свойства степени:

Так как показатели степени числителя и знаменателя дроби одинаковые (они равны 6), то предел этой дроби на бесконечности равен отношению коэффициентов при старших степенях (см. непосредственное вычисление пределов):

Если произвести замену , то получим второй замечательный предел в чистом виде, следовательно,

Ответ:

20. Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых

Что тут сказать… Если существует предел , то функция  называетсябесконечно малой в точке .

Существенным моментом утверждения является тот факт, что функция может быть бесконечно малой лишь в конкретной точке.

Начертим знакомую линию : Данная функция бесконечно малА в единственной точке:  Следует отметить что, в точках «плюс бесконечность» и «минус бесконечность» эта же функция будет уже бесконечно большой: . Или в более компактной записи: 

Во всех других точках, предел функции будет равен конечному числу, отличному от нуля.

Таким образом, не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке.

! Примечание: для краткости я часто буду говорить «бесконечно малая функция», подразумевая, что она бесконечно малА в рассматриваемой точке.

Таких точек может быть несколько и даже бесконечно много. Изобразим какую-нибудь непуганую параболу: Представленная квадратичная функция является бесконечно малой в двух точках – в «единице» и в «двойке»: 

Как и в предыдущем примере, на бесконечности данная функция является бесконечно большой: 

Смысл двойных знаков:  Запись  обозначает, что при , а при .  Запись  обозначает, что при , а при . Запись  обозначает, что и при , и при . Запись  обозначает, что и при , и при . Прокомментированный принцип «расшифровки» двойных знаков справедлив не только для бесконечностей, но и для любых конечных точек, функций и ряда других математических объектов.

А теперь синус . Это пример, когда функция бесконечно малА в бесконечном количестве точек: Действительно, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:Заметьте, что сверху/снизу функция ограничена, и не существует такой точки, в которой бы она была бесконечно большой, синусу остаётся разве что облизываться на бесконечность.

Отвечу ещё на пару простых вопросов:

Может ли функция быть бесконечно малой на бесконечности?

Конечно. Таких экземпляров воз и маленькая тележка.  Элементарный пример: . Геометрический смысл данного предела, к слову, проиллюстрирован в статье Графики и свойства функций.

Может ли функция НЕ БЫТЬ бесконечно малой?  (в любой точке области определения)

Да. Очевидный пример – квадратичная функция, график которой (парабола) не пересекает ось . Обратное утверждение, кстати, в общем случае неверно – гипербола из предыдущего вопроса, хоть и не пересекает ось абсцисс, но бесконечно малА на бесконечности.