1 Комплексная плоскость

1.1Комплексные числа

Действительные числа обладают существенным недостатком: не все алгебраические уравнения имеют корни, например, простейшее квадратное уравнение x2+ x+ 1 = 0 не имеет действительных корней. А подобные уравнения возникают во многих естественнонаучных задачах. Поэтому возникла потребность «расширения» множества действительных чисел, то есть создания чисел, которые включают в себя все действительные как частный случай.

Действительные числа можно интерпретировать как точки прямой. Рассмотрим теперь плоскость с выбранной декартовой системой координат xOy. Точки этой плоскости будем называть «комплексными числами». Для того, чтобы такое название было правомерным, надо уметь складывать и умножать эти числа; должны существовать нейтральные по сложению и умножению элементы (то есть 0 и 1); для каждого числа z должно существовать ему противоположное (то есть такое z', что z+ z' = 0 ) и для каждого ненулевого z — ему обратное (то есть такое z'', что z z ' ' = 1 ); кроме того, должны выполняться законы арифметики (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность).

Каждой точке z этой плоскости сопоставим вектор, начинающий в O и оканчивающейся в z - «радиус-вектор».

Ось абсцисс будем считать действительной прямой, то есть её точки — суть действительные числа.

У т в е р ж д е н и е 1. Для каждого числа z имеется ему противоположное число u, то есть такое, что z+ u=0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Число u, радиус-вектор которого имеет ту же длину, но направлен в противоположную сторону, является противоположным z в силу Определения 1.■

Число, противоположное z, будем обозначать через -z.

3

О п р е д е л е н и е 1а. Выражение z1+ (−z2) назовём разностью чисел z1 и z2 и будем обозначать через z1−z2 .

Заметим, что для точек действительной прямой введённое сложение совпадает с «обычным» сложением действительных чисел.

О п р е д е л е н и е 2. Модулем комплексного числа z (обозначается через z ) называется длина его радиус-вектора.

П р и м ер 1. На рис.1: z =√32 +22=√13

Заметим, что для любой точки действительной прямой так определённый модуль совпадает с «обычным» модулем действительного числа.

О п р е д е л е н и е 3. Аргументом ненулевого комплексного числа z (обозначается через arg (z) ) называется величина угла между положительным направлением оси абсцисс и

радиус-вектором z. Угол отсчитывается против часовой стрелки. Аргумент числа 0 не определяется.

Очевидно, аргумент принимает значения в промежутке [0, 2 π) . П р и м е р 2. На рис. 1 аргумент z есть φ=arctg 23 .

Аргумент действительного положительного числа равен, очевидно, 0, а отрицательного -

π .

Рис. 1. Радиус-вектор и аргумент комплексного числа.

4

Д о к а з а т е л ь с т в о. Радиус-вектор числа -z противонаправлен радиусу-вектору числа z.

Рис. 2. Умножение комплексных чисел.

Так определённое умножение ассоциативно и коммутативно (в силу ассоциативности и коммутативности сложения и умножения действительных чисел). Роль единицы играет точка

5

действительной оси, соответствующая действительному числу 1: аргумент равен 0, а модуль равен 1.

У т в е р ж д е н и е 3. Для любого ненулевого числа z существует число u, ему обратное, то есть такое, что z u=1 .

П р и м е р 4. На рис. 3 изображены число z и ему обратное.

отрицательно число, к нему надо прибавить 2 π .

6

Введённая операция умножения в случае действительных чисел совпадает с «обычным» умножением действительных чисел (очевидно).

Имеет место дистрибутивность умножения относительно сложения: для любых комплексных чисел u, v, w справедливо: u (v+ w)=u v+ u w . Это следует из подобия параллелограммов, построенных на радиус-векторах v и w, uv и uw; подробное доказательство опускаем.

Таким образом, мы построили новое множество чисел, которые можно складывать и умножать, причём все обычные свойства арифметических операций сохраняются; кроме того, это множество содержит в качестве подмножества все действительные числа, а новые операции сложения и умножения совпадают на подмножестве действительных чисел с привычными сложением и умножением.

Но комплексные числа обладают и непривычными свойствами. Обозначим через i число, модуль которого равен 1, а аргумент равен π/ 2 . Квадрат этого числа, то есть i i , равен числу, модуль которого равен 1 1=1 , а аргумент равен π/ 2+ π/2=π ; это число есть -1. Таким образом, i2=−1 , то есть из -1 можно извлечь квадратный корень! Отсюда следует, что из любого отрицательного действительного числа −a , a> 0 можно извлечь квадратный корень: (√a i)2=−a (и таких корней будет два: √a i и −√a i ).

Оп р е д е л е н и е 5. Число i называется мнимой единицей.

Оп р е де л е н и е 6. Ненулевые числа, расположенные на мнимой оси называются чисто мнимыми.

Каждое чисто мнимое число можно представить в виде b i , где b — ненулевое действительное число. Например, 2i ; −11,4 i ; π2 i . Знак умножения « » при этом обычно опускают.

О п р е д е л е н и е 7. Плоскость, на которой расположены комплексные числа называют

комплексной плоскостью и обозначают , ось абсцисс называют действительной осью и

обозначают R e (от французского réel), ось ординат — мнимой осью и обозначают I m (от французского imaginaire).

У т в е р ж д е н и е 4. Аргумент чисто мнимого числа, расположенного в верхней полуплоскости, равен π/ 2 , расположенного в нижней полуплоскости, равен 3 π/2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Следует непосредственно из Определения 3.■

Рассмотрим произвольное ненулевое комплексное число z. Разложим его радиус-вектор r по осям: r =u+ v . Проекция на действительную ось u есть радиус-вектор некоторого

7

действительного числа a, а проекция на мнимую ось v есть радиус-вектор некоторого чисто мнимого числа b i .

О п р е де л е н и е 8. Число a называется действительной частью z, Число b называется называется мнимой частью z.

Комплексное число z с действительной частью a и мнимой частью b можно записать так: z=(a ,b) . Это есть просто запись точки z (или соответствующего её радиус-вектора) в

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое соотношение следует из теоремы Пифагора, второе — из

8

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое соотношение следует из того, что точка, соответствующая ̄z , симметрична точке, соответствующей z относительно действительной оси. Второе

соотношение сразу следует из Утверждения 5.■ У т в е р ж д е н и е 7. ̄z z= z 2

Д о к а з а т е л ь с т в о. Немедленно следует из Утверждения 6. ■ З а д а ч а 1. Доказать, что

Из Определения 1 следует, что координаты суммы двух комплексных чисел суть суммы

9

Пользоваться этими формулами умножения и деления неудобно. Более удобный способ умножать и делить комплексные числа состоит в следующем. Любое комплексное число

z=(a ;b) можно представить в виде суммы z=(a ;0)+ (0 ;b) . Первое слагаемое есть действительное число a, второе — чисто мнимое число bi (см. Определение 6). Поэтому для краткости число z записывают так: z=a+ bi . Иногда, для удобства, мы будем писать также z=a+ ib .

Для записанных в таком виде комплексных чисел не надо запоминать формулу умножения;

Часто бывает удобно выразить действительную и мнимую части числа z=a+bi через его модуль и аргумент.

Из геометрических соображений очевидно, что a= z cos (arg z ), b= z sin (arg z ) . Обозначая для краткости ρ= z , φ=arg z , получим так называемую тригонометрическую форму

последнее соотношение имеет смысл, конечно, только при z2 ≠0 .

10

П р и м е р 9.

(1+ √ 3 i) (3 1√ 2 + 31√ 2 i)=√ 1+ 3(cos π3 + i sin π3 ) √181 + 181 (cos π4 + isin π4 )=

З а д а ч а 2. Доказать, что

(а)z1+ z2=z̄1+ z̄2 ;

Р е ш е н и е.

(а) пусть z j =a j+ b j i , j=1 ; 2 , тогда

z1+ z2=a1+ a2+ (b1+ b2)i=a1+ a2−(b1+ b2)i=a1 −b1 i+ a2−b2 i=z̄1+ z̄2 ;

(б) пусть , z j = ρ j (cos φ j + i sin φ j ), j=1 ; 2 тогда

z1 z2 = ρ1 ρ2 (cos (φ1+ φ2)+ isin (φ1+ φ2)) = ρ1 ρ2 (cos(φ1+ φ2)−isin (φ1+ φ2)) =

=ρ1 ρ2 (cos(−φ1−φ2)+ i sin (−φ1 −φ2)) = ρ1 (cos (−φ1)+ isin (−φ1)) ρ2 (cos (−φ2)+ isin (−φ2)) =

=ρ1 (cos φ1−isin φ1) ρ2 (cos φ2−i sin φ2) = z̄1 z̄2

З а м е ч а н и е 2. При умножении числа z на число u радиус-вектор z поворачивается против часовой стрелки на угол arg u и растягивается в u раз. При делении числа z на число u радиус-вектор z поворачивается по часовой стрелке на угол arg u и сокращается в

u раз. В частности, если u =1 , то умножение или деление на u равносильно повороту в ту или иную сторону на arg u .

11

Построим на комплексной плоскости единичную окружность с центром в точке O. Корни n-й степени из 1 располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в эту окружность так, что одна из его вершин находится в точке 1.

Пусть имеется комплексное число u=ρ(cos φ+ i sin φ) , рассмотрим уравнение

12

З а м е ч а н и е 4. Часто бывает удобно нумеровать члены последовательности с помощью целых неотрицательных чисел (то есть начинать не с 1, а с 0).

Аналогичным образом вводится понятие предела последовательности.

13

Так же, как и в случае действительных чисел, справедливо следующее утверждение.

Так же, как и в случае действительных чисел, рассматриваются ряды комплексных чисел

∞

∑ z j . Аналогичным образом вводится понятие суммы ряда.

j=1

14