отображением в комплексном смысле

f : → , см. Замечание п.2.

С л е д с т в и е. Из Теоремы 2 следует, что

f ' (a)= ∂ u(a) +i

∂ v (a )

=∂ f (a) ,

f ' (a )=

∂ v(a)

−i

∂u (a )

=

1 ∂ f (a) .

∂ x

∂ x

∂ x

∂ y

∂ y

i ∂ y

дифференцируема в a и

f ' (a)=0 .

П р и м е р 4.

1. У функции

f (z)=z2

имеется одна стационарная точка z=0 .

2. У функции

f (z)=ez

стационарных точек нет.

З а д а ч а

1. Найти стационарные точки функции

f (z)=z3 +3 z .

Р е ш е н и е. Так как

f ' (z)=3 z2 +3 , то у функции f (z)=z3 +3 z имеются две

стационарные точки -

±i

.■

З а д а ч а

2. Найти стационарные точки функции

f (z)=ez +e−z .

Р е ш е н и е. У функции

f (z)=ez +e−z имеется бесконечно много стационарных точек -

Рис. 1.

Пусть теперь имеются две гладкие кривые

γ1 ,γ2 , пересекающиеся в точке a. Обозначим

через

u

, u

направляющие вектора их касательных в точке a, соответствующие

1

2

направлениям кривых.

О п р е д е л е н и е 1. Углом между кривыми

γ1 ,γ2 в точке a называется меньший из

углов, на который надо повернуть вектор

u

, чтобы он стал коллинеарен и сонаправлен

1

вектору

u

. Если направление вращения совпадает с направлением против часовой

2

Рис.4(a).

γ1 (t)=4 cos t−1+4 i sin t ,

γ2 (t)=4 cos t+3−4i sin t ,

t [ 0, 2 π]

Рис.4(b).

γ1 (t)=t+it 2 ,

γ2 (t )=t +i √

,

t [ 0, 2 ]

t

Р е ш е н и е. (a)

Угол O1 AO2

равен π /3 , см. рис.4(с), угол O2 AC1=O1 AC2

равен

π /2

, поэтому

C1 A , C2 A

являются касательными в точке A к γ2 ,γ1 соответственно и абсолютное

значение искомого угла равно

2 π /3

. Направление вращения от

u

к

u

- по часовой

1

2

стрелке, следовательно, угол между

γ1 , γ2

в точке A равен

−2 π /3 .

Те же рассуждения приводят к выводу, что угол между γ1 ,γ2

в точке B равен

2 π /3 .

(t2)'

(√

)'

1

касательных к кривым

γ1

, γ2 равны

=2 t ,

t

=

соответственно, поэтому

t '

t '

2 √t

tg (

π

−α1)=2 , tg α2=

1

. Следовательно,

α1=α2 =arctg

1

и, поскольку направление

2

2

2

вращения от

u

к

u

- по часовой стрелке, искомый угол равен

(2

2 )

.■

− π −2 arctg

1

1

2

производных

∂u

,

∂ v

,

∂u

,

∂ v

) и матрица, составленная из этих производных в точке

∂ x

∂ x

∂ y

∂ y

известно из действительного анализа, при отображении

(x, y )→(u (x, y ),v (x , y))

действительной плоскости в себя, направляющий вектор

(α' ,β' )

касательной к кривой

(α(t),β(t)) переходит в вектор

(u 'x α'+u' y β ' , v 'x α'+v 'y β ')

, который является

направляющим касательной к кривой (u(α(t),β(t )), v (α(t),β(t )))

. Из

дифференцируемости f в комплексном смысле следует

(u'x α'+u' y β' , v 'x α'+v 'y β')=(u'x α'−v'x β' , v 'x α'+u'x β') . Правую часть последнего

равенства можно переписать так:

(u'x+iv 'x )(α'+iβ') . Что равно

f ' ( x+iy)(α'+iβ' ) , см.

Следствие Теоремы 2. Таким образом, направляющие вектора касательных к кривым

растягиваются и поворачиваются на один и тот же угол, равный

arg

f ' (x +iy) ,

следовательно, углы между ними не меняются.■

П р и м е р 3. На рис.5 изображены кривые, пересекающиеся в точке

1+2i и их образы

( p1 , p2) , p1 , p2

и вектором (q1 ,q2) , q1 , q2 равен π /2 , то

q1 = −t p2 , q2 = t p1

для некоторого действительного положительного t.

координаты

(s1 ,s2 ), s1 ,s2 . Возьмём также кривую, направляющий вектор касательной

к которой (в точке a) имеет координаты

(−s2 ,s1)

. Угол между первой и второй кривой

равен π /2

. Образы направляющих векторов суть

(u ' x s1 +u ' y s2 , v 'x s1 +v' y s2 )

и

(−u' x s2 +u' y s1 , −v' x s2 +v ' y s1) . Угол между ними должен также равняться π /2

, что

−(v 'x s1 +v ' y s2 ) = t(−u ' x s2 +u ' y s1)

означает {

u' x s1 +u' y s2 = t (−v 'x s2 +v' y s1 )

при некотором действительном

положительном t. В силу произвольности

s1 ,s2

получаем соотношения

−v ' x = t u ' y

−v' x = u ' y .

−v' y = −t u' x , откуда (так как u'x+i v 'x≠0 ) следует t=1 и

{

u'x = t v' y

{ v' y = u' x

u' y = −t v x

З а д а ч а 2. Дифференцируема ли в 0 функция

g (z)= z z ?

Р е ш е н и е. Поскольку g(0+Δ z)−g (0)=Δ z

z =0(Δ z)+o (Δ z) , то из определения

З а д а ч а

3.

Сохраняет ли углы в точке 0 функция

g(z)=z z ?

Р е ш е н и е. Так как

g (z )= ρ2(cos φ+i sin φ) , то g оставляет на месте лучи, выходящие из

0, и, следовательно, сохраняет углы между ними. ■

З а д а ч а

4.

Сохраняет ли углы в точке 0 функция

f (z)=z2 ?

Р е ш е н и е. Так как

f (z )= ρ2 (cos 2 φ+i sin 2 φ)

, то f удваивает углы между лучами,