окрестность ∞ определяется как

U R ∞ . Открытые и замкнутые множества в

̄

плоскости

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть на сфере имеются гладкие кривые

γ1 ,γ2

, пересекающиеся в

точке A, см рис.1 (a). Пусть точка A лежит в северной полусфере.

Их образы

γ '1 , γ '2 при стереографической проекции пересекаются в точке A'.

Направляющие векторы касательных к в точке A обозначим через

u

, u

. Проведём через

1

2

Проведём плоскости

P1 , P2

через N и касательные. Точки пересечения касательных с

плоскостью P обозначим через

B1

и B2 , а с плоскостью

- через

B '1

и

B '2 .

Предположим также, что кривые параметризованы так, что векторы

u

, u

направлены от

1

2

A к

B1 и B2 .

Прямые A ' B '1 и A ' B '2

, являющиеся пересечениями плоскостей

P1 , P2

с

,

суть касательные к

γ '1 , γ '2

. Этот факт принимаем без строгого доказательства; пояснить

можно следующим образом. При проецировании кривой

γ1

на плоскость

луч из N,

проходящий через точки кривой

γ1

, описывает некоторую (коническую) поверхность Π,

которая касается плоскости

P1

в точке A, поскольку кривая

γ1

касается прямой

AB1 .

Луч NA принадлежит и этой поверхности, и плоскости

P1 , то есть поверхность Π касается

P1

по лучу NA. Из определения стереографической проекции следует, что кривая

γ '1

является пересечением Π с

. Прямая A ' B '1 , являясь пересечением

P1

и ,

является касательной к γ '1 .

Образы

u '

1

, u '

2

векторов

u

, u

являются направляющими векторами прямых

A ' B '

1

1

2

и A ' B '2

и направлены от

B '1

и B '2

соответственно. Поэтому направление

вращения от

u

к

u

, если глядеть из центра сферы, совпадает с направлением

вращения от

1

к

2

на плоскости

.

1

2

u '

u '

Таким образом, требуется доказать, что угол B '1 A' B '2

равен углу B '1 AB' 2

(оба угла

считаются положительными).

Из построения следует, что

NB1 A' B '1 , NB2 A' B '2

, то есть треугольник

AB1 N

подобен треугольнику

AB '1 A'

, а треугольник AB2 N

подобен треугольнику

AB '2 A '

. Но

B1 N =B1 A , B2 N =B2 A

, так как являются касательными к сфере, проведёнными из

одной точки, поэтому

B '1 A=B '1 A' , B '2 A=B '2 A'

. Следовательно, треугольники

AB '1 B ' 2

и A ' B '1 B '2

равны, откуда следует равенство углов B '1 A' B '2

и

B '1 AB' 2 .

В случае иной параметризации кривых изменится направление векторов

u

, u

и

1

2

u'

, u'

, но величины углов, образуемых касательными, останутся теми же. Рассматривая

1

2

три случая изменения направления касательных векторов (изменение направления только у

одного или сразу у обоих), нетрудно видеть, что направление вращения от

u

к

u

, если

1

2

глядеть из центра сферы, будет по-прежнему совпадать с направлением вращения от

u'

1

к

u'

на плоскости

.

через

B2 . Тогда пересечением плоскости

P1

(содержащей

AB1

и N) и

является

прямая

A ' B '1 , пересечением плоскости

P2

(содержащей

AB2

и N) и

- прямая

A ' B '2

. Очевидно, AB1 A ' B '1

и

NB2 A' B '2 .

Плоскость, содержащая обе касательные, пересекает по прямой

B '2 A' '

. Также

очевидно, что

AB1 A ' ' B '2 .

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, получаем, что надо доказать равенство

φ=φ' .

Сперва докажем, что прямая

A B1

перпендикулярна плоскости AON

. Сечение сферы

плоскостью

AB1 O является окружностью с центром в O, сечение сферы плоскостью,

проходящей через

A B1 и перпендикулярной

ON , является окружностью с центром,

лежащим на

ON

. Прямая

A B1

является касательной к обеим окружностям, поэтому

она перпендикулярна их радиусам, проведённым из центров в точку A. Следовательно, она

перпендикулярна плоскости, содержащей эти радиусы, то есть

AON .

Отсюда следует, что прямая

A ' ' B '2

также перпендикулярна плоскости

AON .

Следовательно, углы

A ' A' ' B' 2 ,

A' A' ' A

- прямые.

Треугольник AB2 N

- равнобедренный, так как

B2 A

и

B2 N

- касательные к сфере. В

силу подобия треугольников

AB2 N

и

AB '2 A '

заключаем, что

AB '2= A' B '2 .

Следовательно, прямоугольные треугольники

AB '2 A ' '

и

A ' B '2 A' ' равны, что

означает и равенство углов

AB '2 A ' '

и

A ' B '2 A' ' .

В силу параллельности прямых

AB1 , A' ' B '2 , A' B '1

отсюда следует, что φ=φ' .