2Функции комплексного переменного
|
|
2.1 |
Понятие функции |
Пусть задано некоторое подмножество |
D . Будем говорить, что на D задана функция |
||
|
f : D→ , если каждой точке z D |
ставится в соответствие некоторая точка f (z) . |
|
П р и м е р 1. |
|
|
|
1. |
Функция |
f (z)=2 z+z2 определена на всей комплексной плоскости. |
|
2. |
Функция |
f (z)=1 /z определена на |
{0 } . |
З а м е ч а н и е 1. Задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух действительных функций комплексного переменного: f (z) = u(z)+i v (z), u,v : D→ . П р и м е р 2.
1. Пусть |
f (z) = z2 |
, тогда f (z) = u(z)+i v (z ), u(x +iy)=x2− y2, v (x+iy)=2 xy . |
2. Пусть |
f (z) = 1/ z |
, тогда |
f (z) = u(z)+i v (z ), |
u(x +iy)=x /(x2 + y2 ), v (x +iy)=−y /(x2 + y2 ) . |
|
О п р е д е л е н и е 1. Функция называется однолистной (или взаимно-однозначной), если из f (z1 )=f (z2) следует z1=z2 . Эквивалентная формулировка: из z1≠z2 следует
f(z1 )≠f (z2) .
Пр и м е р 3.
1. |
Функция |
f : {O }→ , f (z)=1/ z однолистна. |
2. Функция |
f : → , f (z) = z2 не является однолистной (например, i2 = (−i)2 ), но |
|
функция f (z) = z2 , рассматриваемая лишь на открытой верхней полуплоскости (то есть на {z I m z >0 } ), однолистна. Это легко видеть, записав значение функции в
тригонометрической форме: f (ρ ei φ) = ρ2 e2 i φ , 0<φ<π , ρ>0 . Если z1≠z2 , то модули этих чисел различны или различны аргументы (или и то, и другое вместе). В первом случае,
очевидно, |
z1≠z2 . Во втором, поскольку 0<φ1 , φ2<π |
и 0<2 φ1 ,2 φ2 <2 π , то из |
φ1≠φ2 |
следует неравенство arg (z12)≠arg(z22) . |
|
З а д а ч а |
1. |
|
1. Во что переходят дуги {z = ρ eiφ , ρ=const>0, 0<φ<π} |
, см. Рис.1a, под действием |
|
функции |
f (z) = z2 ? |
|
32
Рис. 1a.
2. Во что переходят лучи {z = ρeiφ , ρ>0, φ=const (0, π)} , см. рис.2a, под действием функции f (z) = z2 ?
33
Рис. 2a.
3. Во что переходят прямые {z=x +iy x , y = const>0 } , см. Рис.3a, под действием функции f (z) = z2 ?
34
Рис. 3a.
4. Во что переходят лучи {z=x +iy x = const , y>0 } , см. Рис.4a, под действием функции f (z) = z2 ?
35
Рис. 4a.
Р е ш е н и е.
1. Так как z2=ρ2 e2iφ , то эти дуги переходят в окружности с выколотой точкой: {z = ρ2 eiψ , 0<ψ<2 π} , см рис. 1b.
36
Рис. 1b.
2. Так как z2=ρ2 e2iφ , то эти лучи переходят в лучи {z = σ e2iφ , σ>0 } , см. рис. 2b.
37
Рис. 2b.
3. Так как z2 = x2− y2 +2 ixy , то точки вида (x,c ), x (c — положительная константа) переходят в точки (x2−c2 ,2 cx) . Координаты (u,v ) таких точек связаны условием
2
u = (2vc )−c2 , поэтому эти прямые переходят в параболы, см. рис. 3b.
38
Рис. 3b. |
|
|
|
|
||
4. Так как z2 = x2− y2 +2 ixy , то точки вида |
(c , y ), y>0 (c — любая константа) |
|||||
переходят в точки (c2− y2 , 2cy ) |
. Если |
c=0 , то это — отрицательная часть |
||||
действительной оси. Если c≠0 |
, то координаты (u,v ) таких точек связаны условием |
|||||
u = c2−( |
v |
)2 |
, поэтому лучи |
(c , y ), |
y>0 |
при положительных c переходят в верхние |
2 c |
||||||
ветви парабол, при отрицательных — в нижние, см. рис. 4b.
39