2.2Предел функции

(обозначается A = lim f (z)

), если для любой окрестности

U ( A) точки A найдётся

z →a

U '(a) точки a, что для всех

z U '(a) справедливо

такая проколотая окрестность

˙

˙

причём

lim (f (z)±g( z)) = A±B ; lim (f (z) g (z)) = AB .

z →a

z→ a

У т в е р ж д е н и е 2. Если в условиях Утверждения 1 справедливо

B ≠ 0 , то для

функции

f

существует предел при z→a , причём lim

f (z)

=

A

.

g

z →a

g(z)

B

lim f (z) и

lim f (z) = f (a) .

z →a

z →a

точки

z0 , непрерывны в точке

z0 , то в той же точке будут непрерывны функции

f ±g ,

f g .

У т в е р ж д е н и е 2. Если в условиях Утверждения 1 справедливо g(z0) ≠ 0 , тo

функция

f

также непрерывна в

z0 .

g

У т в е р ж д е н и е 3. Пусть функция f определена в U (z0 ) , функция g определена в

U (w0)

, причём

w0=f (z0), f (U ( z0 )) U (w0 )

. Пусть f непрерывна в

z0 , а g

непрерывна в

w0

. Тогда композиция функций

g ( f (z)) непрерывна в

z0 .

У т в е р ж д е н и е 4.

Пусть функция f непрерывна на компакте D (см. Определение 14

п.2.1). Тогда она ограничена на нём, то есть

C : f (z) C z D .

У т в е р ж д е н и е 5.

Пусть функция f непрерывна на компакте D. Тогда найдутся такие

точки z1, z2 D , что

f (z1 ), f (z2) - минимальное и максимальное значение функции f на

компакте D, то есть f (z1 ) f (z) f (z2),

z D .

(2) f (λ z )=λ f (z),

z , λ .

П р и м е р. f (z)=(2+3 i) z

является линейной функцией; функция

f (z)=(2+3 i) z+1 не

является линейной.

Т е о р е м а 1. Любая линейная функция

f : →

имеет вид

f (z)=a z , где a –

некоторая комплексная константа.

Д о к а з а т ел ь с т в о. В теореме утверждается, что:

(1) функция вида f (z)=az

линейна;

(2) если функция f линейна, то она имеет указанный вид.

Первое утверждение совсем очевидно:

f (z1 +z2)=a(z1 +z2)=az1 +az2=f (z1)+f (z2); f (λ z)=a λ z=λ a z=λ f (z) .

Второе утверждение следует из свойства (2) линейных функций:

f (z)=f (z 1)=z f (1) .

Обозначив a=f (1)

, получим

f (z)=az

.■

З а д а ч а 1.

1. Доказать, что функция комплексного сопряжения

f (z)=̄z

не является линейной.

2. Пусть f, g — линейные функции. Доказать, что функция h(z) = λ f (z)+μ g (z)

, где λ,μ -

некоторые комплексные числа, также линейна.

Р е ш е н и е.

1. Предположим, f линейна, тогда, в частности,

f (i)=f (i 1)=i f (1)=i

. Но, по определению

комплексного сопряжения,

f (i)= i =−i

. Полученное противоречие вытекает из

̄

предположения о линейности f. Следовательно, f не является линейной функцией.

2. В силу Теоремы 1

f (z)=az ,

g (z)=b z

для некоторых

a,b . Тогда

h(z) = λ f (z)+μ g (z) = λaz+μbz =( λa+μb) z

, то есть функция h линейна.■

З а м е ч а н и е 1. Линейная функция

f (z)=a z , a≠0 является взаимно-однозначным

отображением комплексной плоскости на себя (обратное отображение -

g(z)= 1 z

).

a

Преобразование f (z)=az

сводится к повороту на

arg (a)

с растяжением в

z

раз,

см. Определение 4 п.1.1.

o(Δ z) - некоторая функция, обладающая свойством

lim

o (Δ z )=0

(такие функции

z→0

z

называются малыми высшего порядка относительно

z ).

О п р е д е л е н и е 2. Функция l(z) называется дифференциалом f в точке a и

обозначается df (z) .

Поскольку любая линейная функция имеет вид c z , см. п.2.4, то и

df (z)=c z . Число c,

f ' (a) .

П р и м е р 1.

1. Функция

f (z)=z2

дифференцируема в любой точке: (a+Δ z)2=a2+2a

z+Δ z2

, а так

как

z2=o (Δ z) при

z→0 , то df (Δ z)=2 a z , f '(a)=2 a .

2. Функция

f (z)=̄z не является дифференцируемой ни в какой точке:

f (a +Δ z)− f (a)=

, но функция комплексного сопряжения

z →

не

a +Δ z

−̄a=Δ z

z

является линейной, см. Задачу 1 п.2.4.

c f (z)+g (z), c , f ( z)g (z)

также дифференцируемы в точке a и справедливы

соотношения

(c f (a)+g (a))'=cf '(a)+g' (a),

(f (a)g(a))'=f '(a)g(a)+f (a) g'(a) .

Если при этом

g(a)≠0

, то функция

f (z)

дифференцируема в точке a и справедливо

g (z)

f (a) '

f ' (a)g(a)−f (a)g' (a)

соотношение

(

)=

.

g (a)

g2 (a)

2. Пусть функция f дифференцируема в точке a, функция g дифференцируема в точке

b=f (a)

, тогда функция g ( f (z))

дифференцируема в точке a и справедливо

соотношение

(g ( f (a)))'=g ' ( f (a)) f ' (a) .

3. Пусть функция f имеет обратную функцию g в некоторой окрестности точки a,

дифференцируема в точке a и

f ' (a)≠0 , тогда функция g дифференцируема в точке

b=f (a)

и справедливо соотношение

g '(b)=

1

.

f ' (a)

П р и м е р 2.

1.

Так как z'=1 , то из утверждения 1 Теоремы 1 следует (zn)'=nzn−1 (доказывается

методом математической индукции).

2.

Из утверждения 1 Теоремы 1 следует

(1z )'=−

1

, z≠0 .

z2

3.

Из утверждения 2 Теоремы 1 следует

(e z2 )'=2 z ez2 .

переменных, дифференцируема в точке

a=a1 +ia2

в действительном смысле, то есть

∂ f (a1 ,a2)

∂ f (a1 ,a2 )

y +o(√

) .

f (a1 +Δ x ,a2 +Δ y )=f (a1 ,a2 )+

x+

x2+Δ y2

∂ y

∂ x

Т е о р е м а 2. Функция

f (z)=u (z)+i v (z)

является дифференцируемой (в точке a) тогда

и только тогда, когда

∂u(a) =

∂ v (a) ,

∂ u(a) = − ∂ v (a)

∂ x

∂ y

∂ y

∂ x

Эти соотношения называются условием Коши-Римана (их также называют условием

CR).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Любую функцию

g(z),

z можно рассматривать как функцию двух действительных

переменных:

g(x , y ),

z=x +iy

. Если существуют пределы

lim

g(z0 +Δ x )−g(z0 )

= lim

g (x0+Δ x, y0 )−g(x0 , y0)

,

x

x→0

x→0

x

,

lim

g (z

+i y )−g(z

)

= lim

g( x , y

+Δ y )−g(x

, y

)

0

y

0

0

0

y

0

0

y →0

y→ 0

то они являются частными производными функции g:

∂ g(z0 )

= lim

g(z0 +Δ x)−g( z0)

,

∂ g (z0)

= lim

g(z0 +i

y)−g (z0)

.

∂ x

x→ 0

x

∂ y

y→0

y

Поскольку каждая линейная функция может быть представлена в виде

l(z)=с z,

c ,

см. Теорему 1 п. 2.4, условие дифференцируемости f в точке a можно записать так:

lim

f (a+Δ z)−f (a)

=c .

z→0

z

Пусть

c=c1 +i c2 , рассмотрим сперва действительные приращения

z=h1+i 0

. Тогда

c1+ic2=lim

f (a+h1)−f (a)

=lim

u (a+h1)−u (a)

+i

v (a+h1)−v (a)

)

=

∂ u(a)

+i

∂ v (a)

.

h1

h1

h1

∂ x

∂ x

h1→0

h1→ 0 (

Теперь рассмотрим чисто мнимые приращения

z=0+i h2 . Тогда

c1+ic2=lim

f (a+ih2 )−f (a)

=lim

(

u(a+ih2 )−u(a)

+i

v (a+ih2)−v (a)

=

1 ∂u(a)

+

∂ v (a)

.

ih2

ih2

ih2

i ∂ y

∂ y

h2→0

h2 →0

)

Следовательно,

∂u(a)=c = ∂ v (a) ,

∂ v (a)=c

=−∂ u(a) .

∂ x

1

∂ y

∂ x

2

∂ y

Обратно, пусть теперь для функции

f (z)=u (z)+i v (z)

справедливо условие CR в точке a.

Докажем дифференцируемость f в точке a. Положим

c1=

∂u(a)

=

∂ v (a)

, c2=

∂ v (a)

=−

∂ u(a)

, c =c

1+i c2 ,

z=Δ x+i y .

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

Тогда

f (a+Δ z)−f (a)=u(a1+Δ x, a2 +Δ y)−u (a1 ,a2 )+i(v (a1 +Δ x ,a2 +Δ y )−v (a1 ,a2 ))=

∂u(a)

∂u(a)

∂ v (a)

∂ v (a)

,

2

2

=∂ x

x+∂ y

y +i(∂ x

x +∂ y

y )+o (√ x +Δ y )=

z+o (

z )

=c1

x −c2

y +i(c2

x +c1 y)+o (

z )=(c1 +ic2 )(Δ x+i y )+o (

z )=c

что является определением дифференцируемости f в точке a в комплексном смысле.■

П р и м е р 3.

1. Для функции

f (z)=z2

условие CR, очевидно, выполняются:

f (z)=x2− y2 +2 ixy ,

u(x , y )=x2− y2 ,

v (x , y )=2 xy ,

.

∂u

=2 x=

∂ v

,

∂u

=−2 y=−

∂ v

∂ x

∂ y

∂ y

∂ x

2. Для функции

f (z)=̄z

условие CR, очевидно, не выполняются:

f (z)=x−iy ,

u (x, y)=x,

v(x , y)=− y,

∂u

=1≠

∂ v

=−1 .

∂ x

∂ y

3. Функция

f (z)= z2

является дифференцируемой лишь в точке 0:

2

2

2

∂ u

∂u

∂ v ∂ v

z =x

+ y

,

=2 x,

=2 y ,

=

≡0,

, поэтому условие CR соблюдается лишь в

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

точке 0.

З а м е ч а н и е 1. Многие очень «простые» функции комплексного переменного не

являются дифференцируемыми, например,

f (x+iy)=3 x +i y

. Причина в том, что далеко не

всякое линейное в действительном смысле отображение

f : 2 → 2

является линейным