Задачи

1.

Вычислить:

(а)

(−2−5 i)+ (1−2 i)

;

π

π

π

π

(б)

2(cos 4 + isin

4 )+ 2(cos7 4 + i sin7

4 )

;

(в)

2+ 3 i+

;

(2+ 3 i)

(г)

.

−2+ 3 i−(−2+ 3 i)

Р е ш е н и е.

(а)

(−2−5 i)+ (1−2 i)=(−2+ 1)+ (−5−2)i=−1−7 i

;

π

π

1

π

π

π

π

π

π

cos 7

4

=cos

4

=

; sin 7 4

=−sin

4

2 (cos

4

+ i sin

4 )+ 2

(cos 7

4

+ isin 7

4 )=

√

(б)

2

=

2

+

2

= 2 √

;

2

√2

√2

(в)

;

2+ 3 i+

(2+ 3 i

)=2+ 3 i+ (2−3 i)=4

(г)

)=−2+ 3 i−(−2−3i)=6 i .

−2+ 3 i−(−2+ 3 i

О т в е т.

(а)

−1−7 i

; (б)

2 √

; (в) 4; (г) 6 i .

2

2.

Найти следующие значения:

(а)

i3

; (б)

i−1

; (в)

i13

; (г)

i−15 .

Р е ш е н и е.

(а) i3=i i2=i (−1)=−i ;

(б)

i−1 =

i

=

i

=−i ;

2

i

−1

(в)

i13=i i12=i (i4)3 =i 13=i

;

(г)

i−15 =

1

=

i

=i .

15

i

16

i

О т в е т.

(а)

−i

; (б)

−i

; (в)

i ; (г)

i .

(а) (−2−5 i) (1−2 i)

;

(б) 2(cos

π

π

(cos7

π

π

4

+ isin

4 ) 3

4

+ i sin7

4 ) ;

(в)

−2−5 i

;

1−2i

2(cos3

π

+ isin 3

π)

4

(г)

4

.

1

+ i

1

√2

√2

(а)

(−2−5 i) (1−2 i)=−2−10+ (−5+ 4 )i=−12−i

;

2(cos

π

π

π

π

π

π

π

π

(б)

4

+ isin 4 ) 3(cos7 4

+ i sin7

4 )=2 3(cos (

7

4

+

4 )+ isin (7

4

+

4 ))=6 (1+ i 0)=6 ;

(в)

−2−5 i

=

(−2−5 i) (1+ 2 i)=−2+ 10−5i−4 i =

8

− 9 i

;

1−2i

(1−2 i)(1+ 2i)

5

5 5

2(cos 3

π

+ isin 3 π ) cos 3

π + isin 3 π

4

π

π

π

π

4

4

4

(г)

=2

=2(cos (3

4

−

4 )+ isin

(3

4

−

4 ))=2(0+ i)=2i .

1

+ i

1

cos

π + isin π

4

4

√2

√2

О т в е т.

8

9

(а)

−12−i

;(б) 6; (в)

5

−5 i

; (г)

2i .

π

π

(б)

R e (2(cos

6 + isin

6 ))

;

I m(3(cos

π

π

(в)

6 −i sin

6 ))

;

(г)

(−2−5 i)(−2+ 5 i) .

(а) −2−5 i =√

(−2)2+ (−5)2

=√

;

29

π

π

π

=√3

(б)

R e (2(cos

6 + isin

6 ))=2 cos 6

;

I m(3(cos

π

π

π

3

(в)

6 −i sin

6 ))=−3 sin

6

=−

2

;

(г)

)=(−2)2+ (−3)2 =13 .

(−2−3 i)(−2+ 3 i)=(−2−3i)(−2−3 i

О т в е т.

(а)

−2−5 i =√

; (б) √

; (в)

−3

; (г) 13.

29

3

2

7. При каком условии квадрат комплексного числа z=u+ iv будет чисто мнимым числом?

Р е ш е н и е.

Аргумент

z2 должен быть

π

или

3 π

, следовательно, аргумент z должен быть

π

,

2

2

4

или

π + π

, или

3 π

, или

3 π

+ π

, то есть точка z должна лежать на биссектрисе

4

4

4