22.Производная и ее свойства.

Определение: Пусть функция определена в точкеи в некоторой ее окрестности. Дадим аргументуприращение, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функциии составим отношение. Если существует предел этого отношения пристремящемся к нулю, то указанный предел называют производной функциив точкеи обозначают. Иначе говоря:

(— приращение функции,— приращение аргумента).

Если в каждой точке из множествау функциисуществует производная, то такая функция называется дифференцируемой на множестве.

Геометрический смысл производной: — угловой коэффициент касательной к графику функциив точкеуравнение касательной в этой точке .

Правила дифференцирования

Пусть функции иопределены и дифференцируемы на некотором множестве,и— любые действительные числа. Тогда на множествесправедливы соотношения:

• ,

• ,

• , ,

• 

Основные формулы дифференцирования.

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

23. Производная сложной и обратной функции.

Пусть у = f(и) и u = φ(х)- тогда у = f(φ{x)) — сложная функция с промежуточным аргументом и н независимым аргументом х.

По условию Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

 илигде. Функцияu = φ(х) имеет производную в точке х: , поэтомуПодставив значение Δи в равенство (20.6), получим т.е.Разделив полученное равенство на Δх и перейдя к пределу при Δх→0, получим Итак, для нахождения производной сложной функции надопроизводную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у = f(u), u = φ(v), v = g{х), то Пустьу = f(x) и х = φ(y)— взаимно обратные функции. Рассмотрим обратную функциюх = φ(y). Дадим аргументу у приращение Δу ≠ 0. Ему соответствует приращение Δх обратной функции, причем Δх ≠ 0 в силу строгой монотонности функции у = f(x). Поэтому можно записать   Если Δy→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение Δх→0. И так как , то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Правило дифференцирования обратной функции записывают так: Пример 1. Найти производную функции Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: , где, гдеz = tg q, где q =.. По правилу дифференцирования сложной функции ()получаем:Пример 2. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функцииРешение: Обратная функция имеет производную. Следовательно,

24.Геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y= f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+x)−f(x0)=tg, где - угол наклона секущей AB.  Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.  Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.  Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.