Лекция 14.

Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами. Интегро - интерполяционный метод. Консервативные РС.

Для решения конкретной задачи следует использовать разностную схему, которая аппроксимирует исходную задачу и является корректной, т.е. приводит к единственному решению, устойчивому по отношению к малым возмущениям входных данных.

Мы видели, что для одной и той же задачи часто можно построить много аппроксимирующих разностных схем, в том числе и устойчивых.

Таким образом, возникает необходимость выбора конкретной РС из ряда возможных. Критериями выбора могут быть:

•Более высокая точность

•Простота реализации вычислительного алгоритма

•Экономичность вычислений.

Но есть и другие требования.

1.Одной из искомых характеристик в задачах, например, о сплошной среде (газе, плазме) является плотность. Она не может быть отрицательной. Отсюда дополнительное требование: сеточная функция в узлах сетки должна быть положительна. Так приходят к положительным РС.

2.Может быть заранее известно, что некоторая физическая величина (например, плотность, температура) распределена вдоль координаты монотонным образом. Можно построить РС, которые гарантируют монотонное распределение соответствующей величины (монотонные РС).

3.Особенно важную роль играют консервативные РС.

Дело в том, что при решении физических задач ДУ, расчет которых планируется, часто выражают собой математическую запись законов сохранения. С точки зрения математики, ДУ являются следствием некоторых интегральных соотношений и выражают закон сохранения локально, т.е. в данной точке пространства и в данный момент времени.

127

(изменение температуры в данный момент времени в данной точке пространства равно изменению теплового потока в этой же точке).

Интегральные же законы сохранения являются общей формой записи законов сохранения, в конечной области пространства, на конечном интервале времени.

Тот же пример с уравнением теплопроводности:

Было бы очень важно потребовать от РС, аппроксимирующей ДУ (т.е. локальный закон сохранения), чтобы следствием разностных уравнений была аппроксимация интегральных соотношений, т.е. законов сохранения в интегральной форме.

Схемы, удовлетворяющие этому условию, называются консервативными. Важность консервативности обусловлена универсальностью законов сохранения (практически в каждой физической задаче есть те или иные законы

сохранения).

Во-вторых, как показывает практика расчетов, во многих случаях только консервативные схемы позволяют получить достоверные результаты. Особенно, когда используются заведомо грубые сетки.

Пример 1.

Мы рассматривали семейство шеститочечных схем для уравнения теплопроводности в классе непрерывных коэффициентов теплопроводности и теплоемкости:

128

Если теперь умножить уравнение (3) на h и на τ и просуммировать его по координате X и по времени t , то получим для левой части уравнения:

Таким образом, (4) - это разность температуры в конечный и начальный момент времени.

Сумма пространственного слагаемого в правой части уравнения (3) равна

Поскольку внутренняя энергия E = cρu = const u , то соотношение (5) можно прочесть так: Внутренняя энергия системы в момент времени t =T равна внутренней энергии системы в момент времени t = 0 , за вычетом потоков тепла на границе:

Пример 2. (Схема, расходящаяся в случае разрывных коэффициентов). Рассмотрим стационарное уравнение теплопроводности

Естественно, на первый взгляд для получения аппроксимации второго порядка, провести замену:

129

0 < m < M , u0 =1, uM = 0.

Оказывается, что схема (7) расходится даже в плане кусочно-постоянных коэффициентов:

Точное решение задачи (6), (8), удовлетворяющее условиям сопряжения, имеет вид:

Функция u(x) удовлетворяет условиям сопряженности в точке ξ , если в этой точке непрерывна температура (т.е. сама функцияu(x) и тепловые потоки

где q есть мощность, сосредоточенного источника (стока) тепла в точке

x = ξ.

Таким образом, физическая причина расходимости выписанной РС заключается в том, что она нарушает баланс (закон сохранения) тепла, приводя к появлению дополнительного источника (при q < 0 ) или стока (при q > 0 ) теп-

ла в точке x = ξ.

Схемы, нарушающие законы сохранения, называют неконсервативные или дисбалансными.

130

Замечание.

Метод экспериментальной проверки сходимости РС путем сгущения сетки, применяемый часто на практике в тех случаях, когда нет теоретических оценок качества схемы, может иногда привести к ошибочному выводу о сходимости РС на том основании, что при сгущении сетки обнаруживается стремление решения разностной задачи к некоторой предельной функции

u (x).

Рассмотренный выше пример показывает, что функция u (x) может сколь угодно сильно отличаться от решения u(x) исходной дифференциальной зада-

чи.

Поэтому методом сгущения сетки нужно пользоваться с большой осторожностью. Во всяком случае, это не заменяет исследование РС хотя бы на модельных примерах.

Пример 3.

Запишем теперь уравнение теплопроводности в виде

и затем приближать производные ∂u , ∂2u , ∂k подходящими разностными

∂x ∂x2 ∂x

соотношениями.

Теперь поступим иначе.

Введем в рассмотрение наряду с сеткой, к узлам которой отнесены значе-

ния umn (кружочки) вспомогательную сетку (крестики), к узлам которой отне-

сем значения W n 1 потока тепла при t = tn (жирная линия). (Рис. 14.1)

m±2

131

Главное, что мы достигли на этом пути – построение РС, удовлетворяющих условию консервативности. В самом деле, суммируя разностный аналог

интеграла, т.е. уравнение (10): (umn+1 −umn )h + (Wmn+1/ 2 −Wmn−1/ 2 )τ = 0 по индексам m и

тегральный закон сохранения.

Определение. Рассмотренный здесь способ конструирования РС, основанный на аппроксимации интегральных законов сохранения по элементарной ячейке разностной сетки, называется интегро-интерполяционным методом.

Оприменении консервативных РС в научной работе.

Вконце Лекции №13 были приведены отдельные результаты решения тестовой задачи (международный тест). Было показано, что с помощью использования неравномерных сеток оказалось возможным уточнить результаты расчетов, выполненных на гораздо более мощных ЭВМ. На практике при решении большой численной задачи дело обстояло значительно сложнее. Сетки 35×35 и 41×41, конечно, гораздо грубее сетки 81×81. Более того, при приме-

нении неравномерных сеток, шаги по пространственной координате в середине области становились чрезвычайно велики. Существовали также сеточные области, где разностные уравнения Пуассона на пятиточечном шаблоне, вследствие несоразмерности шагов по разным пространственным координатам, почти не аппроксимировало реальное уравнение Пуассона. И тем не ме-

133

нее, совокупный результат получился превосходным. Дело заключалось в следующем.

Наиболее важной и существенной характеристикой используемой автором численной схемы являлась ее полная консервативность. Иными словами, в РС выполнялись все законы сохранения: сохранение массы вещества и массы примеси; закон сохранения импульса, баланс кинетической и внутренне энергии жидкости. В частности перенос вещества вдоль траектории в РС не изменял кинетическую энергию жидкости, как это происходит и в дифференциальных уравнениям. Слагаемы в РС, отвечающие за вязкое трение, имели вид положительно определенной квадратичной формы (вязкое трение на практике может только диссипировать, т.е. уменьшать кинетическую энергию жидкости).

В результате построенная Разностная Схема обладала совершенно замечательными качествами с точки зрения устойчивости характеристик получаемой физической картины.

Как правило, сколько-нибудь надежные результаты двумерных и двумерных ассиметричных расчетов было принято получать на подробных сетках, например, узлах и более в двухфазной области.

При выполнении тестовых расчетов по упомянутой полностью консерва-

И это - с учетом неравномерности сетки. Результаты расчетов могли иногда иметь немонотонный характер. Но правильный физический эффект обнаруживался всегда, и это на протяжении двух десятилетий работы с РС!

Учитывая сравнительно низкое качество, имеющейся в СССР и в России вычислительной техники трудно представить, сколько лет было сэкономлено таким образом. И лишь в тех немногих вариантах, которые давали интересующий физический результат, после тестовых расчетов проводились уточняющие расчеты на более подробных сетках. Эти расчеты за более чем 20 лет работы всегда подтверждали основные физические закономерности, полученные на грубых сетках по полностью консервативной численной схеме.

134