3. Структурный фактор

Выражение (3) является лишь необходимым условием возникновения дифракционного максимума при отражении рентгеновских лучей от семейства параллельных плоскостей (hkl). Интенсивность отраженного луча зависит от величины структурного фактора S(hkl) для плоскостей (hkl), который может быть большим, малым или равным нулю. Структурный фактор зависит от форм-факторов атомов разного типа, имеющихся в кристалле, и их положений в элементарной ячейке. Базис большинства кристаллов является многоатомным. Поэтому вполне возможно, что усиленное брэгговское отражение от одной серии атомов находится в противофазе с рассеянием от других атомов базиса и будет ослабляться.

Выражение для структурного фактора при многоатомном базисе имеет вид

,

(13)

где f_j - атомный фактор рассеяния (форм-фактор) j-гo атома базиса, r_j - радиус-вектор j-того атома в элементарной ячейке, N - число атомов базиса.

Форм-фактор f зависит от порядкового номера атома Z. При малых значениях форм-фактор близок к Z, с увеличением величина f уменьшается.

В качестве примера рассмотрим дифракцию на кристалле CsCl. Этому кристаллу соответствует ПК решетка, базис состоит из двух атомов, атома Cs с координатами (0,0,0) и атома Cl с координатами , где а - постоянная решетки. Структурный фактор S равен

.

Мы учли, что векторы обратной решетки G_hkl для ПК прямой решетки определяются формулой

.

(14)

Если (h+k+l) - четное число, S(hkf) определяется суммой форм-факторов, то есть S=f_Cs + f_Cl, если (h+k+l) – нечетное число, то S(hkl)=f_Cs - f_Cl, то есть интенсивность дифракционного максимума будет ослаблена. Если бы форм-факторы Cs и Сl были одинаковы, то дифракционный максимум от плоскостей с индексами (h+k+l)=(2m-1) отсутствовал бы.

4. Построение Эвальда. Методы структурного анализа

Набор векторов обратной решетки, удовлетворяющих условию Лауэ (4) при заданном векторе падающей волны k, можно определить с помощью простого геометрического построения, предложенного Эвальдом (рис. 4).

Рис.4. Геометрическое построение Эвальда

Кружки в правой части рисунка - узлы обратной решетки кристалла. Направление вектора k совпадает с направлением падающего на кристалл рентгеновского луча. Вектор k закапчивается на произвольном узле обратной решетки. На рисунке показана проекция на плоскость сферы радиуса k = 2/ с центром в начале вектора k. Дифрагированный луч образуется, если эта сфера пересекает какой-нибудь другой узел обратной решетки. Сфера, показанная на рисунке, пересекает узел, связанный с концом вектора к вектором обратной решетки G. Дифрагированный луч распространяется в направлении вектора k’= k + G. Эго построение называется построением Эвальда.

Проведем в обратном пространстве волновой вектор падающей волны k так, чтобы он заканчивался в произвольном узле обратной решетки. Из начала вектора k, как из центра, опишем сферу радиуса k. При этом легко видеть, что для всех узлов решетки, попавших на поверхность сферы, выполняется условие Лауэ (4), в котором вектор k’ - вектор, соединяющий центр сферы с узлом обратной решетки, лежащим на ее поверхности. Построение Эвальда позволяет дать наглядную геометрическую интерпретацию различным экспериментальным методам, используемым для определения структуры кристалла.

В методе Лауэ используется неподвижный кристалл и пучок не монохроматического излучения, с длинами волн в интервале (_min, ). Соответствующие волновые векторы лежат в интервале (k, k_max) и имеют одинаковое направление. Если провести векторы k и k’ в один и тот же узел обратной решетки и построить соответствующие им сферы Эвалъда, касающиеся в выбранном узле обратной решетки, то все векторы обратной решетки, попавшие в область, заключенную между этими сферами, будут удовлетворять условию Лауэ для какой-либо длины волны в пучке и задавать направления дифракции (рис. 5). Полученная дифракционная картина обладает полной симметрией кристалла в заданном направлении. Метод Лауэ, как правило, используется для установления ориентации кристаллов с известной структурой, симметрия которых для различных направлений известна.

Рис.5. Схема метода Лауэ в пространстве обратной решетки. Кружки - узлы обратной решетки

В методе вращающегося кристалла используется монохроматическое излучение с заданной длиной волны  и вращающийся кристалл. Одновременно с поворотом прямой решетки в выбранной системе координат происходит поворот и обратной решетки. Поскольку направление k неизменно, то неизменно и положение сферы Эвальда. При вращении узлы обратной решетки описывают окружности, которые при пересечении со сферой Эвальда дают точки в обратном пространстве, указывающие направления дифракции.

Прост в реализации и широко используется на практике порошковый метод или метод Дебая-Шеррера, который с геометрической точки зрения аналогичен методу вращающегося кристалла, но в качестве образца используется поликристалл, состоящий из множества ма­леньких кристалликов, что эквивалентно набору вращений. Рассмотрим этот метод подробнее.