Определение

Система векторов называется линейно независимой, если из равенства следует, что все коэффициенты равны нулю (то есть существует только тривиальное решение).

Пример.Составим линейную комбинацию из векторов,и

.

Здесь существует, только тривиальное решение. Эта линейная комбинация может равняться нулевому элементу, только если все коэффициенты равны нулю одновременно.

Два неколлинеарных вектора плоскости составляют базис векторов плоскости. Это означает, что каждый векторэтой плоскости однозначно разлагается по векторам

Некомпланарные векторы образуют базис векторов трёхмерного пространства, и любой векторпространства может быть единственным образом представлен в виде:.

Упражнение 18. Изобразить векторы базиса. Пространство.

Векторы ,иобразуют базис (показать, что векторы некомпланарны).

Изобразить эти векторы (в виде прямых) с помощью функций line и plot3.

Изобразить орты черным цветом, толщиной ‘LineWidth’, 4

Вычислить и изобразить орты векторов толщиной ‘LineWidth’,4

Упражнение выполнить, создав соответствующий скрипт.

Сразу ввести команды для оформления графика, написать комментарии к ним:

grid on % что выполняют эти команды?

hold on% что выполняют эти команды?

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z') %

axis square %

axis equal %

Упражнение 19. Изобразить векторы базиса. Плоскость.

Векторы p = {2,-3} иq = {1,2} образуют базис (показать, что векторы неколлинеарны). Найти разложение вектораs = {9,4} по базисуpиq:s =mp + nq. Изобразить векторыp,q, mp, nq,s, а также координатные оси Ox и Oy и ортыi,j.

Упражнение выполнить, создав соответствующий скрипт

Упражнение 20. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

На плоскости даны три вектора a = {3,-2},b = {-2,1},c = {7,-4}. Определить разложение каждого из этих трёх векторов, принимая в качестве базиса два других. Графическое окно разбить на четыре области. Во всех окнах изобразить координатные оси Ox и Oy, ортыi,j. В первой изобразить три вектора. В оставшихся трёх – геометрическую интерпретацию разложения каждого из этих трёх векторов по двум остальным. Векторы базиса представлять синим цветом, разлагаемый вектор красным.

Упражнение 21. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Письменно и используя графические средства MATLAB проверить векторы на компланарность и, если они некомпланарны, разложить вектор по трем некомпланарным векторам : , считаяортами прямоугольной декартовой системы координат, изобразить некомпланарные векторычерным цветом, толщиной ‘LineWidth’, 4, а также векторы и вектор.

(– коэффициенты разложения – неизвестные в соответствующей системе уравнений)

A) ,и,,

B) ,и,

C) ,и,.

Упражнение выполнить, создав соответствующие скрипты.

Упражнение 22. Линейная зависимость четырёх векторов.

Даны четыре вектора a= {2,1,0},b = {1,-1,2}, c = {2,2,-1} иd = {3,7,-7}. Определить разложение каждого из этих четырёх векторов, принимая в качестве базиса три остальных. Сделать геометрическую интерпретацию задачи на отдельных четырёх рисунках. Команда figure перед командами, отвечающими за графику, позволяет открывать новое графическое окно. На первом рисунке изобразить координатные оси, орты осей и четыре вектора. На оставшихся трёх – геометрическую интерпретацию разложений. Векторы базиса представлять синим цветом, разлагаемый вектор – красным.