Упражнение 12. Проверить свойства умножения вектора на число.

Даны векторы a=(4,2,3), b=(1,5,2) и числа α=4, β=3.

Использовать isequal.

5. Длина вектора

Длина вектора равна квадратному корню из суммы векторов его координат:

,

где k – номер элемента (координаты) вектора, n – общее число элементов в векторе.

Пока у нас будут встречаться геометрические векторы, заданные в декартовой системе координат в плоскости (n= 2 ) и в пространстве (n= 3).

При n=3, и.

При n=2, и.

Функция sum() позволяет суммировать все элементы вектора, оператор «.*» осуществляет поэлементное умножение векторов, в том числе и вектора самого на себя, функция sqrt() вычисляет корень из значения входного аргумента. Так же для вычисления длины можно использовать встроенную norm().

Орт вектора – единичный вектор, сонаправленный вектору.

Упражнение 13. Длина вектора, орт вектора. Пространство.

Длину вектора  = {3, 4, 5} вычислить по определению и с помощью встроенной функции, вычислить орт. Проверить является ли вычисленный вектор единичным. Изобразить оба вектора. Упражнение выполнить, создав соответствующий скрипт.

Упражнение 14. Длина вектора, орт вектора. Плоскость.

Длину вектора = {4,2} вычислить по определению и с помощью встроенной функции, вычислить орт. Проверить является ли вычисленный вектор единичным. Изобразить оба вектора. Упражнение выполнить, создав соответствующий скрипт.

Хороший стиль

На протяжении курса нам ещё не раз встретятся случаи, когда для вычисления той или иной величины в MATLAB уже имеется встроенная функция. Однако чем сложнее алгоритм, тем больше вероятность, что встроенная функция реализует его вариацию, либо слишком частный, либо слишком общий случай (последнее плохо сказывается на производительности). Поэтому в каждом конкретном случае следует чётко представлять себе, что должно быть на выходе и проверять работу функции на известных примерах. Писать свою реализацию имеет смысл только в том случае, когда встроенная вас не удовлетворяет.

6. Направляющие косинусы

   1. Пространство.

Пусть дан геометрический вектор . Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ox, Oy, Oz соответственно через α, β, γ. Три числа cos α,cos β, cos γ являются направляющими косинусами вектора. Направляющие косинусы вычисляются по формулам

, ,, где,

а значит, являются координатами орта .

Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице

.

2. Плоскость.

Пусть дан геометрический вектор . Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ox, Oy соответственно через α, β. Два числа cos α,cos β являются направляющими косинусами вектора. Направляющие косинусы вычисляются по формулам

, , где,

а значит, являются координатами орта .

Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице

.

Для непосредственного вычисления углов наклона вектора в градусах нужно использовать

acos(a./norm(a))*180/pi

Упражнение 16. Направляющие косинусы. Орт вектора. Пространство.

Вычислить в градусах углы наклона вектора =(3,4,5) к осям координат.

Проверить, что сумма квадратов направляющих косинусов вектора будет равна единице. Не забудьте перевести градусы обратно в радианы.

Упражнение 17. Направляющие косинусы. Орт вектора. Плоскость.

Вычислить в градусах углы наклона вектора =(2,4) к осям координат.

Проверить, что сумма квадратов направляющих косинусов вектора будет равна единице. Не забудьте перевести градусы обратно в радианы.

7. Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией векторов с коэффициентамибудем называть конечную сумму вида

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из ее коэффициентов отличен от нуля.

Определение.Векторыназываются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация из этих векторов, равная нулевому элементу:.

Простейшие примеры линейно зависимых векторов.

1. Вектор и его противоположный векторсоставляют линейно зависимую систему векторов.

Действительно, ,

таким образом, и система векторов,линейно зависима.

2. Коллинеарные векторы (уметь доказывать)

3. Компланарные векторы (уметь доказывать)

4. Любые n () геометрических вектора.

Пример.Составим линейную комбинацию из векторов,и.

. Задача найти коэффициенты линейной комбинации

Очевидно, что решением здесь будут коэффициенты .